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Decadimento Decadimento. 2 Decadimento - : Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità,

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Presentazione sul tema: "Decadimento Decadimento. 2 Decadimento - : Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità,"— Transcript della presentazione:

1 Decadimento Decadimento

2 2 Decadimento - : Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di neutroni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a trasformare un neutone in un protone Decadimento + : Nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tendono a trasformare un protone in un neutrone

3 3 Cattura elettronica Un nucleo ricco di protoni può catturare un elettrone atomico e trasformare un protone in un neutrone Stesso effetto di un decadimento + Lelettrone viene tipicamente catturato dalla shell K che è caratterizzata da una funzione donda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo Nota: La cattura elettronica ha un Q-valore più alto del decadimento + e quindi più energia cinetica a disposizione delle particelle nello stato finale Ci sono casi in cui la differenza di massa tra (Z,A) e (Z-1,A) è troppo piccola per consentire il decadimento +, ma la cattura elettronica può invece avvenire

4 4 Dal modello a goccia (1) Dalla formula della massa di un nucleo, per A fissato si vede una dipendenza parabolica da Z: che ha un minimo per:

5 5 Dal modello a goccia (2) Nuclei con A dispari: Il parametro vale 0 e quindi M(A,Z) ha un solo valore Fissato A esiste un solo isobaro stabile con Z=Z 0

6 6 Dal modello a goccia (3) Nuclei con A pari M(A,Z) assume due valori diversi per nuclei pari-pari e dispari-dispari Possono esserci fino a 3 isobari stabili per i nuclei pari-pari Tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili Uniche eccezioni sono: 2 H, 6 Li, 10 B e 14 N in cui le parabole sono disposte come in figura b) nuclei pari-pari nuclei dispari-dispari

7 7 Dal modello a goccia (4) Nuclei con A pari Caso particolare in cui A=14

8 8 Teoria elementare di Fermi Modello del 1934 basato sulla teoria di Fermi delle interazioni deboli Si usa la seconda regola doro di Fermi per calcolare il rate di decadimento: Ipotesi: La hamiltoniana di interazione è un operatore che agisce sui campi fermionici mediante assorbimento o emissione di fermioni Linterazione è a corto raggio dazione (interazione a contatto) Spiegato nella teoria elettro-debole dallalto valore di massa dei mesoni W che mediano linterazione debole

9 9 Densità degli stati finali (1) Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi Il numero di stati in cui lelettrone ha quantità di moto compresa nellintervallo tra p e e p e +dp e e il neutrino nellintervallo compreso tra p ν e dp v è dato da: Integrato su tutte le possibili direzioni della quantita di moto ( d =4 ) Integrato su tutte le possibili coordinate allinterno del volume di normalizzazione ( d 3 x=V ) Il volume della celletta di quantizzazione vale h 3

10 10 Densità degli stati finali (2) Si introduce lenergia E f a disposizione nello stato finale: dove si è trascurata lenergia cinetica di rinculo del nucleo Da cui per E e fissato:

11 11 Densità degli stati finali (2) Il termine di densità degli stati finali determina la forma dello spettro beta, cioè la distribuzione delle energie degli elettroni (positroni) emessi Sostituendo Si ricava:

12 12 Densità degli stati finali (3) La densità degli stati finali per i quali lelettrone ha una quantità di moto compresa tra p e e p e +dp e quando lenergia totale è compresa tra E f e E f +dE f è quindi: che in caso di massa nulla del neutrino si riduce a: m =0 m >0 End point: E f =E e p max =(E f 2 -m e 2 c 4 )

13 13 Campo coulombiano del nucleo Deformazione dello spettro beta dovuta allinterazione dell'elettrone (positrone) con il campo coulombiano del nucleo. L'effetto è diverso per il decadimento -, in cui il potenziale è attrattivo, e per il decadimento +, in cui il potenziale è repulsivo La distribuzione di momento degli elettroni (positroni) diventa: F(Z D,E e ) è la funzione di Fermi che è stata calcolata e tabulata ed è apprezzabilmente dievrsa da 1 solo per Z D (numero di protoni nel nucleo figlio) grandi o energie piccole

14 14 Grafico di Fermi-Kurie (1) Se si riscrive la distribuzione di momento degli elettroni emessi come: Nel caso di massa nulla del neutrino si ha: che mostra una dipendenza lineare da E e La retta, in caso di massa nulla del neutrino interseca lasse x nel punto E e =E f Questo modo di presentare i dati sperimentali è il grafico di Fermi-Kurie La conferma sperimentale dell'andamento previsto costituisce il primo successo della teoria di Fermi.

15 15 Grafico di Fermi-Kurie (2) La misura della distribuzione vicino allend-point (E max ) della distribuzione, fornisce un metodo per misurare la massa del neutrino. La misura più precisa è stata fatta studiando il decadimento del Trizio: Nuclei semplici, correzioni facili da valutare Energia disponibile nello stato finale è piccola (530 keV) -> aumenta la sensibilità della misura

16 16 Elemento di matrice (1) Elemento di matrice per un decadimento : Ni è la funzione donda che descrive il nucleone genitore allinterno del nucleo prima del decadimento e e n sono le funzioni donda dellelettrone e del neutrino Nf è la funzione donda che descrive il nucleone figlio allinterno del nucleo dopo il decadimento Lintegrale è esteso al volume del nucleo Nella teoria di Fermi si fa lipotesi che linterazione avvenga a contatto, per cui lhamiltoniana di interazione vale: dove g è la costante di accoppiamento che ha dimensioni [energia x volume] e misura lintensità dellinterazione Lelemento di matrice risulta quindi:

17 17 Elemento di matrice (2) Dallipotesi di raggio dazione nullo per H int, segue che elettrone e neutrino sono particelle in moto libero dopo il decadimento Si trascura linterazione coulombiana dellelettrone con il nucleo, che è stata inclusa nel fattore di Fermi Il volume di integrazione (il nucleo) ha un raggio di qualche fermi e le energie dellelettrone sono dellordine del MeV, quindi p r<<1 e si può approssimare: Quindi, al primo ordine, lelemento di matrice si riduce allintegrale delle funzioni donda dei nucleoni coinvolti nel decadimento:

18 18 Rate di decadimento La probabilità di transizione per unità di tempo per emissione di elettroni con quantità di moto compresa tra p e e p e +dp e dalla seconda regola doro di Fermi vale quindi: che in caso di massa del neutrino nulla o trascurabile diventa:

19 19 Vita media (1) La vita media è data da: dove 0 - p max è il range di energie dellelettrone nello stato finale Per calcolare lintegrale coviene instrodurre le variabili: da cui: e quindi:

20 20 Vita media (2) Lintegrale che compare nella formula della vita media dipende solo dal limite superiore di integrazione p max, o 0 Si pone: E quindi: La vita media risulta essere il prodotto di: Una costante (m e c 2 ) 5 /2 3 ħ(ħc) 6 = MeV -2 fm -6 s -1 Il quadrato della costante di accoppiamento, dimensioni: MeV 2 fm 6 Il quadrato dellelemento di matrice adimensionale M if La funzione adimensionale f(Z D, 0 ) che dipende dalla carica del nucleo e del limite superiore di integrazione 0 =p max /m e c

21 21 Costante di accoppiamento Il rapporto G=g/(ħc) 3 è la costante di Fermi che ha le dimensioni di [Energia -2 ] Dal decadimento beta del neutrone si misura: Dalla misura della vita media del muone si ricava: che è detta costante universale di Fermi Si conclude che laccopiamento del campo debole con i leptoni non è esattamente uguale a quello con i quark Lorigine di questa differenza è dovuta al mixing dei sapori dei quark attraverso langolo di Cabibbo Laccoppiamento debole tra quark u e d vale g cos C

22 22 f(Z D, 0 ) I valori della funzione f(Z D, 0 ) sono stati calcolati e tabulati Risulta molto sensibile allenergia dellend-point

23 23 Legge di Sargent In decadimenti in cui lenergia disponibile E f è >> m e c 2, si ha: 0 =p max /m e c>>1 e F(Z, )1. Si può quindi approssimare: E quindi (essendo p max c E max =E f ): Questa approssimazione ci dà la legge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dellenergia a disposizione nello stato finale Questo è uno dei motivi alla base delle diverse vite medie dei decadimenti dei nuclei

24 24 Legge di Sargent Legge di Sargent che dice che la vita media è inversamente proporzionale alla quinta potenza dellenergia a disposizione nello stato finale

25 Valore di log-ft Si possono usare le misure della vita media dei nuclei per ricavare il valore di g|M if | che contiene linformazione sulla struttura nucleare E conveniente introdurre il valore ft (ft-value) definito come il prodotto di f(Z, 0 ) e del tempo di dimezzamento t 1/2 = ln2 25 Può essere interpretato come la vita media corretta per gli effetti nucleari (Z) e per lenergia a disposizione ( 0 ) Il valore di ft varia tra un minimo di 10 3 s e un massimo di s, per cui di solito si usa il log-ft value che è il logaritmo il base 10 del ft-value

26 26 Spin nel decadimento beta Gli spin dellelettrone (positrone) e del neutrino possono essere paralleli o anti-paralleli. Spin di e antiparalleli (S=0) -> transizioni di Fermi Elettrone e neutrino sono in uno stato di singoletto Spin di e paralleli (S=1) -> transizioni di Gamow- Teller Elettrone e neutrino sono in uno stato di tripletto Entrambi i tipi di transizione possono avvenire Un singolo decadimento beta può essere una mistura dei due se sono rispettate le regole di selezione relative alla conservazione del momento angolare e della parità

27 27 Momento angolare Un ragionamento semiclassico ci dice che il momento angolare orbitale dellelettrone e del neutrino è dato da: dove b è il parametro di impatto e R il raggio del nucleo Si ricava: dato che R è dellordine di qualche fm e p e è al più dellordine di qualche MeV/c I decadimenti con l =0 si chiamano permessi, quelli con l >0 proibiti NOTA: questa non è un vera e propria regola di selezione: decadimenti con l >0 sono possibili, anche se improbabili: le funzioni donda dellelettrone e del neutrino: possono essere viste come uno sviluppo in serie nel numero quantico l Il valore log-ft dipende dal modulo quadrato di M if, quindi ogni unità di l porta un fattore di soppressione del rate di decadimento dellordine di

28 28 Parità Per transizioni permesse ( l =0) la parità del nucleo deve rimanere immutata, visto che f = i (-1) l Lelemento di matrice al primordine si annulla se la parità del nucleo cambia Transizioni in cui cambia la parità del nucleo devono essere quindi descritte dai termini successivi dello sviluppo: Il primo termine corrisponde a transizioni con l =1 e cambio di parità -> decadimenti primo-probiti (first-forbidden) Soppresse di un fattore vita media più lunga di un fattore 10 4 Il termine successivo corrisponde a transizioni con l =2 senza cambio di parità -> decadimenti doppio-probiti (double-forbidden)

29 29 Regole di selezione Transizioni permesse: Il momento angolare orbitale della coppia elettrone-neutrino è 0, lo spin è 1/2, quindi il momento angolare totale portato via della coppia elettrone neutrino può essere J=0 o J=1 Quindi nei decadimenti beta permessi, la variazione di momento angolare tra nucleo padre e figlio sarà J=0 o J= 1 Transizioni permesse di Fermi (S=0, ): Le transizioni permesse lasciano immutati il momento angolare e la parità del nucleo Transizioni permesse di Gamow-Teller (S=1, ): Le transizioni beta permesse lasciano immutata la parità del nucleo, ma cè un cambio di momento angolare: Il caso 0 0 è escluso perché non cè momento angolare da portare via

30 30 Esempi di transizioni permesse Pura transizione di Gamow-Teller Pura transizione di Fermi Transizioni miste ( J=0, ma J i 0) Il rate di decadimento e l'elemento di matrice M if dipendono da: overlap dalle funzioni donda dei nucleoni nel nucleo. principio di esclusione di Pauli che impedisce che il nuovo nucleone vada in uno stato già occupato

31 31 Transizioni super-permesse Transizioni super-permesse: Se le funzioni donda nel nucleo dei nucleoni genitore e figlio si overlappano perfettamente, il probabilità di decadimento diventa grande Caso in cui il protone e il neutrone coinvolti nel decadimento hanno gli stessi numeri quantici I valori ft per questo tipo di decadimento sono simili a quelli del decadimento del neutrone libero Sono tipicamenti decadimenti + (eccezione il decadimento del 3 H in 3 He) Esempio: 14 O 14 N pn 1p 1/2 1p 3/2 14 N 1s 1/2 pn 1p 1/2 1p 3/2 14 O 1s 1/2

32 32 Permesse e super-permesse Distribuzioni di log-ft (logf dalla teoria + logt 1/2 misurato) per transizioni permesse e super-permesse: La larghezza della distribuzione di log-ft allinterno di una classe è dovuta alla variazione dellelemento di matrice M if Esempio: 14 C 14 N (transizione permessa di Gamow-Teller pura) t 1/2 =5730 anni log-ft = 9.04 ( >> dei valori tipici dei decadimenti permessi )

33 33 Transizioni proibite La transizione con il valore di l più basso che non viola le regole di selezione determina il rate di decadimento e il valore di log-ft Per transizioni proibite ( l >0) lelemento di matrice M if dipende dal momento dellelettrone Ha effetto anche sulla forma dello spettro dellelettrone emesso Un grafico di Fermi-Kurie non-lineare è unindicazione che una certa transizione è di tipo proibito

34 34 Esempi di transizioni proibite 40 K : t 1/2 = anni,f =10 18 s I nucleoni un-paired nel 40 K si sommano a J P =4 -, mentre gli stati base del 40 Ar e 40 Ca sono 0 + -> decadimento triplo-probito Il decadimento nel più basso stato eccitato del 40 Ar (J P =2 + ) per cattura elettronica è primo proibito, ma lo spazio delle fasi è molto piccolo perché il Q-valore è di soli MeV 137 Cs 137 Ba : J=2, f = s pn 1f 7/2 1d 3/2 40 Ar 1f 7/2 1d 3/2 pn 40 K pn 1f 7/2 1d 3/2 40 Ca


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