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Introduzione alla fisica Grandezze fisiche Misura ed errori di misura. Unità di misura Richiami di matematica e geometria Percentuali, potenze, notazione.

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1 Introduzione alla fisica Grandezze fisiche Misura ed errori di misura. Unità di misura Richiami di matematica e geometria Percentuali, potenze, notazione scientifica, proporzioni, conversioni, equazioni di 1 o grado. Angoli, superfici e volumi Rappresentazione grafica di relazioni tra grandezze fisiche Vettori ed operazioni coi vettori

2 Grandezze fisiche Una grandezza fisica è definita quantitativamente attraverso un metodo operativo di misura, che permetta il confronto tra la grandezza in esame e una grandezza omogenea di riferimento (campione) Definizione operativa di una grandezza fisica: Espressione di una grandezza fisica: Numero + unità di misura Rapporto tra la grandezza e il campione di riferimento Misura diretta: Misura indiretta: Confronto diretto con il campione (es. misura di lunghezza con un metro graduato) Misura di una grandezza legata a quella da misurare attraverso una relazione nota (es. misura di tempo con una clessidra)

3 Grandezze fisiche fondamentali e unità di misura Tutte le grandezze fisiche possono essere espresse in funzione di un insieme limitato di grandezze fondamentali Un sistema di unità di misura definisce le grandezze fisiche fondamentali e i corrispondenti campioni unitari (unità di misura) Sistema Internazionale (S.I.) Grandezza fisica Unità di misura Lunghezza[L]metro (m) Tempo[t]secondo (s) Massa[M]chilogrammo (kg) Intensità di corrente[i]ampere (A) Temperatura[T]grado Kelvin (K)

4 Grandezze fisiche derivate Le rimanenti grandezze fisiche sono derivate a partire dalle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche Alcuni esempi: Superficie (lunghezza) 2 [L] 2 m 2 Volume (lunghezza) 3 [L] 3 m 3 Velocità (lunghezza/tempo) [L][t] -1 m·s -1 Accelerazione (velocità/tempo) [L][t] -2 m·s -2 Forza (massa*accelerazione) [M][L][t] -2 kg·m·s -2 Densità (massa/volume) [M][L] -3 kg·m -3 Pressione (forza/superficie) [M][L] -1 [t] -2 kg·m -2 ·s

5 Errori di misura Errori casuali (statistici): Strumenti di alta sensibilità forniscono risultati differenti su misure ripetute, a causa di perturbazioni ed effetti accidentali di cui losservatore non può tenere conto. Errori casuali avvengono sia in eccesso sia in difetto rispetto al valore vero Errori sistematici: Avvengono sempre o in eccesso o in difetto rispetto al valore vero. Sono causati da errori di misura, da strumenti mal tarati, dalluso di modelli errati o da perturbazioni importanti di cui non si è tenuto conto La misura di una grandezza fisica è sempre affetta da errore Limiti strumentali : Uno strumento permette la misura della grandezza con unincertezza legata alla sua sensibilità Errore: stima di quanto la grandezza misurata si discosta dal valore vero

6 Istogramma delle frequenze Istogramma delle frequenze per la rappresentazione di misure ripetute l 1, l 2, l 3, l 4,..... Esempio: Misura di una lunghezza 2,122,132,142,152,162,17 cm 2,18 l1l1 2,15 cm l2l2 2,14 cm l3l3 2,16 cm l4l4 2,12 cm l5l5 2,14 cm l6l6 2,15 cm l7l7 2,13 cm l8l8 2,15 cm l9l9 2,17 cm l 10 2,14 cm l 11 2,15 cm l 12 2,16 cm l 13 2,14 cm l 14 2,15 cm l 15 2,15 cm l 16 2,16 cm l 17 2,14 cm l 18 2,15 cm l 19 2,13 cm l 20 2,14 cm Numero di misure

7 Valore medio e deviazione standard Valor medio: Scarto quadratico medio (deviazione standard): 2,122,132,142,152,162,17 cm 2, Numero di misure l = 2,146 cm = 0,012 cm l l+ l- Nel nostro esempio: l = l ± = (2,15 ± 0,01) cm Approssimando:

8 Distribuzione gaussiana Listogramma di frequenze di un numero elevato di misure ripetute affette solo da errori casuali segue una curva tipica a campana (distribuzione gaussiana) l l+ l- l+2 l-2 l-3 l+3 (~68% dellarea sotto la curva ) (~95%) (~99%) Distribuzione stretta piccola errore piccolo Distribuzione larga grande errore grande

9 Percentuali 1% = 1/100 = 0,01 n % = n/100 = 0,01·n 20% di una quantità x : Le percentuali sono comode per esprimere variazioni (diminuzioni o aumenti) di una quantità nota: Aumento dell8% di una quantità x: Diminuzione del 15% di P: 3% di 150 = 3150/100 = 0,03150 = 31,5 = 4,5 (adimensionale!) 200% di 1000 euro = 200/ = 2000 euro (attenzione alle dimensioni!) (raddoppiare = aumentare del 100% = passare al 200 %) Per mille : 1 = 1/1000 = 0,001 = 0,1% Parte per milione : 1 ppm = 1/ = 0, = 0,0001% Es.:

10 Errore percentuale Errore percentuale: (adimenzionale!) Esempi: Nota: In mancanza di errore questo si intende sullultima cifra significativa! l = 6,8 m l = (6,8±0,1) m l = 6,80 m l = (6,80±0,01) m Data una misura espressa nella forma: m = 1 kg ± 10 g = (1 ± 0,01) kg m = 100 kg ± 100 g = (100 ± 0,1) kg

11 Potenze a b =a·a·a·.... (b volte) a=base b=esponente Operazione di elevamento a potenza: Proprietà delle potenze: a 0 =1 Esempi: (-2) 3 = -8;(-8) 1 / 3 = 3 -8 = = =1/10 3 = 0,001 a n ·a m = a n+m (a n ) m = a n·m a n ·b n = (ab) n a n /a m = a n-m 10 3 ·10 5 = 10 8 (1000·100000= ) (10 2 ) 3 = 10 2 ·10 2 ·10 2 = /10 4 = =10 2 ( /10000 = 100) 3 2 ·10 2 =(3·10) = 2 4/2 = 2 2

12 Potenze di si legge 'dieci alla sesta' è uguale a 1 moltiplicato per 10 6 : 10 6 = 1* = es. 3,5 * 10 6 = ( si sposta la virgola a destra di 6 posti ) si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a 1 diviso per 10 6 : = 1/ = 0, es. 3,5 * = 0, ( si sposta la virgola a sinistra di 6 posti )

13 Notazione scientifica In notazione scientifica un numero si esprime come prodotto di una cifra compresa tra 0,1 e 10 x una potenza di 10 5,738 · 10 3 Esempi: 800 = 8· = 4,765·10 3 0,00097 = 9,7·10 -4 l = m = 3,45· m = 3,45·10 5 m l = 0,00038 m = 3,8·0,0001 m = 3,8·10 -4 m Massa della Terra = kg = 5,98·10 24 kg Massa di un elettrone = 0, kg = 9,11· kg La notazione scientifica è utile per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli Es.:

14 Multipli e sottomultipli Multipli e sottomultipli di una unità di misura possono essere espressi usando prefissi: PrefissoSimboloFattore di moltiplicazione teraT10 12 gigaG10 9 megaM10 6 kilok10 3 ettoh10 2 decada10 1 PrefissoSimboloFattore di moltiplicazione decid10 -1 centic10 -2 millim10 -3 micro nanon10 -9 picop km = 10 3 m 1 Mm = 10 6 m 1 Gm = 10 9 m 1 dm = m 1 cm = m 1 mm = m Es: 1 m 1 m = m 1 nm = m 1 pm = m (1 mm = 1/1000 m = 1/10 3 m = m)

15 Equazioni Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membri Moltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri verificata per particolari valori di una variabile incognita ax + b = 0 x = -b/a il risultato non cambia Es 1: Es 2:

16 Equazioni di primo grado Esempio: La variabile incognita compare elevata alla prima potenza: x 1 = x

17 Proporzioni a : b = c : d a · d = c · b Es 1: Conversione tra unità di misura: Se N = lire X=30000·0,000516=15,48 euro Es 2: Se un corridore percorre a velocità costante 19,2 m in 2 s, quanto impiega a percorrere 100 m? Prodotto dei medi = Prodotto degli estremi:

18 Superfici e Volumi 1 m 2 = (1 m) 2 = (10 2 cm) 2 = 10 4 cm 2 = cm 2 1 m 3 = (1 m) 3 = (10 2 cm) 3 = 10 6 cm 3 = cm 3 1 cm 2 = (1 cm) 2 = (10 -2 m) 2 = m 2 = m 2 1 cm 3 = (1 cm) 3 = (10 -2 m) 3 = m 3 = m 3 1 litro = 1 dm 3 = (1 dm) 3 = (10 -1 m) 3 = m 3 = (10 1 cm) 3 = 10 3 cm 3 cerchiosfera quadrato cubo cilindro parallelepipedo c=2 r r A= r 2 r S=4 r 2 V=(4/3) r 3 P=4lA=l 2 S=6l 2 V=l 3 l l S S V = S·l = r 2 ·l V = S·l l l Equivalenze tra unità di misura:

19 Equivalenze - Conversioni Es.2 6,57 l = 6,57 dm 3 = 6,57 (10 -1 m) 3 = 6,57·10 -3 m 3 sapendo che 1 litro = 1 dm 3 litro m 3 A 3 mm A = (3 mm) 2 = 3 2 mm 2 = 9 mm 2 = 9 (10 -3 m) 2 = 9·10 -6 m 2 Es.1 mm 2 m 2 Es.3 1h3320 s 1h = 60 ·60 s = 3600 s 33= 33·60 s = 1980 s 20 = 20 s 1h3320 = = ( ) s = = 5600 s Es.4 km/h m/s 1 km/h = 1000 m/3600 s = 0,28 m/s 120 km/h = 120*1000 m/3600 s = 33.6 m/s

20 Angoli s R Unità di misura: gradi, minuti, secondi 1 o =60' 1'=60'' Es: 35 o 41'12'' radianti Angolo giro 360 o o 3/2 piatto 180 o retto 90 o /2 60 o /3 45 o /4 30 o /6 Angolo giro = 360 o = 2 R/R = 2 rad R=1 arco rad se R=1 Es.: angolo retto Arco: rad

21 Conversione gradi radianti 1 rad : x gradi = 2 : 360 o o 28 o rad?2 : 360 o = x : 28 o = 3,1415

22 Triangoli rettangoli a b c Triangolo rettangolo Teorema di Pitagora Triangolo rettangolo isoscele d l l 45 o Triangolo equilatero 60 o ll h l/2

23 Funzioni e loro rappresentazione grafica Una funzione analitica può essere rappresentata in modo grafico con una curva su un sistema di assi cartesiani nel piano (x,y) O ordinate ascisse y x Una funzione è una relazione tra due variabili x e y: y=f(x) Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x. Es.: y = x y = 2x 4

24 Relazioni tra grandezze fisiche: proporzionalità lineare diretta La relazione tra due grandezze fisiche può essere rappresentata in modo grafico nel piano cartesiano (x,y): s = v·t Proporzionalità diretta O s (km) t (h) ordinate ascisse ts 1 h 2 h 3 h 5 km 10 km 15 km retta Es.: s direttamente proporzionale a t

25 Proporzionalità quadratica diretta Proporzionalità quadratica O t (s) s (m) parabola 12 1/2 2 Es.: ts 1 s 2 s 0.5 m 2 m a = 1 m/s 2 s quadraticamente proporzionale a t

26 Proporzionalità inversa pV = nRT O V (m 3 ) Iperbole equilatera p (Pa) p inversamente proporzionale a V Es.: con nRT = costante Vp 1 m 3 2 m 3 3 m 3 4 Pa 2 Pa 4/3 Pa cost = 4

27 Retta 1 o grado Iperbole proporz.diretta proporz.inversa y raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza s = vt PV=k P=k/V = cT f = c = c/f F = ma V = RI t s V P RettaIperbole Esempi di funzioni in fisica

28 Parabola 2 o grado Fraz. quadr. proporz.dir.quadr. proporz.inv.quadr. y quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a un quarto s = ½ a t 2 F g = Gm 1 m 2 /r 2 E k = ½ m v 2 F e = Kq 1 q 2 /r 2 t s Parabola r F proporz.inv.quadr Esempi di funzioni in fisica

29 Grandezze scalari e vettoriali modulo verso punto di applicazione v direzione Grandezze scalari: caratterizzate da un numero Grandezze vettoriali: Es: tempo, temperatura, massa caratterizzate da un modulo, una direzione e un verso. Es: spostamento, velocità, accelerazione modulo del vettore v : v = | v | Es: |v| = 100 m/s Vettori uguali Vettori opposti

30 Somma di due vettori Metodo grafico (regola del parallelogramma) a b c c = vettore risultante di a e b Es: spostamento da A a C passando per B A B C AB + BC = AB + AD = AC D a + b = c

31 Differenza tra due vettori Metodo grafico (regola del parallelogramma) a – b = c a c c b b + c = a a c b -b a – b = a + ( -b ) = c

32 Componenti di un vettore x v x = |v| cos v y = |v| sen v x 2 + v y 2 = = v 2 cos 2 + v 2 sen 2 = = v 2 (cos 2 +sen 2 ) = v 2 v y vyvy vxvx o Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali v x e v y

33 Trigonometria di base O 1 1 R=1 cos sen cos sen 0o0o o = /6 1/2 45 o = /4 60 o = /3 1/2 90 o = / o = o = 3 /2 0 A B C AC = CB·sen sen 2 +cos 2 =1 AB = CB·cos AC = AB·tg AC 2 +AB 2 =CB 2 (sen 2 +cos 2 )=CB 2 y x

34 Somma e differenza di vettori v1v1 v2v2 o y v 1x v 1y v 2x v 2y v3v3 v 3x v 3y v 3 = v 1 + v 2 v 3x = v 1x + v 2x v 3y = v 1y + v 2y Somma di vettori Differenza di vettori v 3 = v 1 - v 2 v 3x = v 1x - v 2x v 3y = v 1y - v 2y

35 Prodotto scalare b a b'b' ab = |a||b|cos = |a|b' b' = |b|cos : componente di b lungo a = 0 o a b = ab cos = ab b a = 90° a b = ab cos = 0 b a = 180° a b = ab cos = – ab a b Es.:

36 Prodotto vettoriale a b c b"b" c = a b Modulo di c : |c| = |a||b|sen = |a|b b: componente di b ortogonale ad a b Direzione di c: ortogonale ad a e b Verso di c: verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b a b b''


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