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Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02 1 Calamite e magnetismo I primi materiali noti con proprietà magnetiche sono le magnetiti. Ogni.

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1 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Calamite e magnetismo I primi materiali noti con proprietà magnetiche sono le magnetiti. Ogni magnete è composto da due poli magnetici (esperimento della limatura di Fe). Dividendo il magnete in pezzi sempre più piccoli, si hanno sempre dipoli magnetici, e per quanto si sa non esistono in natura monopoli magnetici. Ciò ha come conseguenza che cioè che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è nullo (legge di Gauss per i campi magnetici). Tale legge vale per qualsiasi superficie chiusa, anche se essa comprende soltanto una parte del magnete.

2 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Magnetismo terrestre La Terra è un enorme magnete, e dal punto di vista magnetico può essere approssimabile ad un grosso dipolo orientato lungo la direzione MM (lasse di rotazione è RR, ed i due assi formano un angolo di 11.5°). Il momento di dipolo magnetico terrestre vale = J/T ed incrocia la superficie terrestre nella Groenlandia (polo Nord geomagnetico) ed in Antartide (polo Sud geomagnetico). Il polo Nord geomagnetico è in realtà un polo Sud magnetico. Per la misura della direzione di B si usano le bussole (magneti ruotanti attorno ad un asse verticale). Sulla superficie terrestre il campo B differisce da quello teorico di un dipolo ideale a causa di disomogeneità nella composizione della superficie e del mantello, ed è soggetto a variazioni a corto e lungo periodo (ogni milione di anni inverte polarità).

3 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Magnetismo ed elettroni Lelettrone ha due momenti intrinseci: un momento angolare di spin S ed un momento di dipolo magnetico (di spin) s. In fisica quantistica, si dimostra che la relazione tra i due è: s = - e S / m dove e = C e m = Kg. Lo spin S non è misurabile direttamente, ma sono misurabili le sue componenti lungo un asse, e tali componenti sono quantizzate. Cioè si ha S z = m s h / (2 ) dove m s = 0.5 è il numero quantico magnetico di spin e h= Js è la costante di Planck. Anche s non è misurabile direttamente, ma sono misurabili le sue componenti lungo un asse, e tali componenti sono quantizzate. Si ha s,z = - e S z / m = e h / (4 m) = B dove B = e h / (4 m) è detto magnetone di Bohr. Un elettrone immerso in un campo B ext possiede unenergia potenziale U = - s ° B ext Inoltre un elettrone atomico possiede anche un momento angolare orbitale L orb al quale è associato il momento di dipolo orbitale orb dato da: orb = - e L orb / 2m In presenza di un campo magnetico esterno, inoltre, si ha anche lenergia potenziale U orb data da: U orb = orb ° B ext

4 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Modello dellelettrone a spira Supponiamo che un elettrone percorra unorbita circolare di raggio r >> r a (dove r a è il raggio atomico – modello a spira) ruotando a velocità costante v in senso antiorario. Tale situazione è equivalente a quella di una spira di raggio r percorsa dalla corrente i = e / T dove T è il periodo dellorbita. Pertanto ed il momento orbitale è Per quanto riguarda il momento angolare orbitale, invece, L orb = m r v cioè il che mostra come la relazione tra orb e L orb è: In presenza di un campo magnetico esterno non uniforme B ext, ipotizzando per semplicità che gli angoli tra B ext e la verticale siano uguali su tutta lorbita, si vede che agisce una forza risultante F il cui modulo vale dF = i dL x B ext per ogni elemento infinitesimo di orbita dL. La componente orizzontale di F è bilanciata dalla forza centrifuga e la componente verticale di F è diretta verso lalto o verso il basso a seconda del verso dellorbita. Elettrone che gira in senso orario Elettrone che gira in senso antiorario

5 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Sostanze magnetiche In questa trattazione ci si limiterà a considerare materiali omogenei ed isotropi. Inserendo una sostanza in una zona di spazio in cui è presente campo magnetico B, si hanno tre differenti comportamenti: 1.Il materiale è (debolmente) respinto ( ) con una forza F B 2 dal campo magnetico B– tali sostanze sono dette diamagnetiche (es.: Bi, Cu, H 2 O, N liq.,...) 2.Il materiale è (debolmente) attratto ( ) con una forza F B 2 dal campo magnetico B – tali sostanze sono dette paramagnetiche (es.: Al, Na, O 2 liq.,...) 3.Il materiale è fortemente attratto ( ) con una forza F B dal campo magnetico B – tali sostanze sono dette ferromagnetiche (es.: Fe, Co, Ni,...) Le sostanze della terza categoria sono genericamente dette sostanze magnetiche. Si consideri un solenoide con il vuoto allinterno: il coefficiente di induzione è L 0 ed il campo magnetico è B 0 = 0 n i. Se linterno del solenoide viene riempito con un materiale magnetico, si nota che il coefficiente di induzione diventa L= r L 0 ed il campo magnetico diventa anche è B B 0 Si ha r per i materiali paramagnetici e r >> e dipendente dalla corrente i per i materiali ferromagnetici.

6 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Suscettività magnetica Si definiscono le seguenti grandezze, la relazione tra le quali è data da: =permeabilità magnetica 0 =permeabilità magnetica del vuoto r =permeabilità magnetica relativa m =suscettività magnetica Nei materiali diamagnetici m < 0 Nei materiali paramagnetici m > 0 Nei materiali ferromagnetici m >> 0 MaterialeValore di m Diamagnetico Acqua Rame Paramagnetico Sodio Alluminio Ferromagnetico Ferro Mu-metal

7 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Diamagnetismo Si usa il modello dellelettrone a spira. In assenza di campo magnetico esterno B ext, gli atomi hanno momento magnetico totale nullo (lo spin ed il momento magnetico orbitale si compensano). Inoltre, il numero degli elettroni rotanti in senso orario uguaglia quelli rotanti in senso antiorario. Se viene applicato un campo magnetico esterno non uniforme B ext (p.es. divergente) crescente. Al crescere di B ext, viene indotto sullelettrone un campo elettrico E ind diretto in senso orario. Leffetto sullelettrone rotante in senso antiorario è di unaccelerazione i nella spira aumenta orb (diretto ) aumenta per cui lelettrone assume un momento netto (diretto ). Leffetto sullelettrone rotante in senso orario è di una decelerazione i nella spira diminuisce orb (diretto ) diminuisce per cui lelettrone assume un momento netto (diretto ). Per quanto riguarda latomo nel suo complesso, nel caso della rotazione antioraria si ha unaccelerazione i nella spira aumenta la forza netta (diretta ) aumenta si ha una forza netta verso lalto (diretta ). Nel caso della rotazione oraria si ha una decelerazione i nella spira diminuisce la forza netta (diretta ) diminuisce si ha una forza netta verso lalto (diretta ). In tutti i casi, nonostante la semplicità del modello, si vede come si sia sviluppato un momento magnetico opposto a B ext. Elettrone che gira in senso orario Elettrone che gira in senso antiorario

8 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Paramegnetismo Anche qui si usa il modello dellelettrone a spira. In questo caso, lo spin ed il momento magnetico orbitale degli atomi si sommano per dare. In assenza di campo magnetico esterno B ext, i momenti sono orientati a caso q quindi il momento complessivo è nullo. Se viene applicato un campo magnetico esterno B ext crescente, essi si orientano allineandosi con B ext, per cui il materiale acquista un momento magnetico complessivo non nullo orientato parallelamente a B ext. Tale momento complessivo, in teoria, per un volume di materiale contenente N atomi dovrebbe valere N. Tuttavia a causa dellagitazione termica è molto minore di tale valore. Si definisce magnetizzazione il momento magnetico complessivo per unità di volume La legge di Curie dice che la magnetizzazione è direttamente proporzionale al campo magnetico esterno B ext ed inversamente alla temperatura T: Tale relazione è in realtà valida soltanto per valori bassi di B ext.

9 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Ferromagnetismo In alcuni elementi (tra i quali Fe, Cb, Ni, …) si ha accoppiamento di scambio (lo spin degli atomi interagisce con quello degli atomi vicini provocando un allineamento persistente dei dipoli atomici secondo rigidi parallelismi (domini magnetici: sottili regioni nelle quali lallineamento dei dipoli cambia bruscamente passando da un dominio allaltro e nei quali il campo magnetici è molto intenso). Lagitazione termica degli atomi contrasta questo allineamento, ma fintanto che non viene superato un valore termico di soglia (T c, detto temperatura di Curie: per il Fe T c = 1043 K), lallineamento persiste. Per T > T c invece laccoppiamento di scambio sparisce e la sostanza diventa paramagnetica. In condizioni normali i domini hanno orientazioni diverse ed il campo magnetico complessivo è praticamente nullo. Ma un materiale ferromagnetico posto in un campo magnetico esterno B ext sviluppa un forte momento dipolare magnetico nella direzione di B ext. Le dimensioni dei domini magnetici possono variare da qualche decimo di micron (ad es. nella magnetite m) fino a qualche mm (ad es. nellematite 1 mm). Ad altissime temperature (centinaia di gradi °C, cioè oltre la temperatura di Curie), i domini magnetici possono variare la loro orientazione allineandosi con la direzione del campo magnetico esterno B ext (per es. quello terrestre). Raffreddandosi, tali materiali fossilizzano la direzione di magnetizzazione nei domini magnetici (magnetizzazione termopermanente). In questo modo (usando le tecniche di datazione fossile), è stato possibile documentare la variazione della direzione del campo magnetico terrestre nei secoli scorsi.

10 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Magnetizzazione ed isteresi magnetica Nellanello di Rowland (toroide di Fe nelle cui spire circola la corrente i P ed in cui B = 0 n i P ), detto B0 il campo magnetico in assenza di Fe, si ha B >> B 0 cioè B = B 0 + B M dove B M è il contributo del Fe, proporzionale alla magnetizzazione M. Landamento di B M in funzione del campo magnetico senza Fe è crescente (e simile alla curva di magnetizzazione delle sostanze paramagnetiche). B M,max è il massimo valore possibile di B M. Per il Fe, il 70% degli atomi è magnetizzato per B 0 ~10 -3 T. Aumentando il campo magnetico B 0 da zero (punto a) fino ad un certo valore (punto b) e poi ritornando al valore nullo, le curve di magnetizzazione non si sovrappongono ma appare una magnetizzazione residua (punto c). Tale fenomeno è noto con il nome di isteresi magnetica, e la curva bcdeb è chiamata ciclo di isteresi. Il fenomeno può essere spiegato qualitativamente pensando che lorientazione dei domini non è perfettamente reversibile, per cui si dice che il materiale conserva memoria dellaumento di B 0 a cui è stato sottoposto. Tale memoria è essenziale per limmagazzinamento delle informazioni nelle memorie dei calcolatori. Può essere rimossa riscaldando il materiale oltre il punto di Curie.

11 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Campi magnetici indotti: legge di Ampère-Maxwell La legge dellinduzione di Faraday stabilisce che la variazione del flusso del campo magnetico induce un campo elettrico indotto. Si può dimostrare che è vero anche il contrario: la variazione del flusso del campo elettrico induce un campo magnetico indotto. Tale meccanismo è insito nella legge dellinduzione di Maxwell: Si consideri un condensatore C durante la fase di carica. Sul piatto di destra il campo elettrico E è entrante ed aumenta nel tempo. Lungo il percorso circolare chiuso di raggio r (spira), E aumenta E aumenta viene indotto un campo B lungo la spira. Tale campo viene indotto anche se la spira passa per un punto esterno al condensatore (punto 2), e permane finchè E varia. Si noti la differenza di verso tra il campo magnetico B generato da un campo elettrico E variabile entrante (senso orario) ed il campo elettrico E generato da un campo magnetico B variabile entrante (senso antiorario), evidenziata nel segno meno presente soltanto nella legge di Faraday. Ricordando infine la legge di Ampère, si può notare come le leggi di Ampère e quella di Maxwell forniscono due modi possibili per generare un campo magnetico: attraverso una corrente oppure attraverso un campo elettrico variabile nel tempo. Tali due leggi possono essere conglobate nella legge di Ampère-Maxwell:

12 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Corrente di spostamento La grandezza è dimensionalmente uguale ad una corrente, e viene denotata convenzionalmente come corrente di spostamento ed indicata con i s. La legge di Ampère-Maxwell può quindi essere riscritta come Nellesempio del condensatore C, la corrente reale (di conduzione) che carica C modifica il campo elettrico E tra le armature (perché fa variare la d.d.p. tra di esse). La corrente di spostamento i s, invece, è associata alla variazione del campo elettrico. La carica sulle armature di area A vale q = 0 A E. La corrente di conduzione vale i = dq / dt = 0 A dE / dt. La corrente di spostamento vale i s = 0 d E / dt = 0 d(A E) / dt. Cioè i s = 0 d E / dt = 0 A dE / dt i La corrente di conduzione e la corrente di spostamento sono pertanto equivalenti in valore assoluto e quindi si può pensare alla corrente (fittizia) di spostamento come alla continuazione della corrente di conduzione (reale) attraverso linterruzione del conduttore tra i piatti del condensatore, esplicitata tramite la presenza del campo elettrico. Il campo magnetico indotto dalla corrente di spostamento è calcolabile allo stesso modo di quello generato dalla corrente di conduzione, e la sua intensità vale (r= distanza dal centro della spira fittizia generatrice del campo):

13 Lezione n. 11Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A Equazioni di Maxwell È possibile riepilogare le equazioni sin qui viste. Tali equazioni sono le quattro equazioni fondamentali dellelettromagnetismo, note come equazioni di Maxwell. Da esse è possibile ricavare praticamente tutti i concetti relativi allelettromagnetismo. Le ultime due, in particolare, dimostrano come campi elettrici e magnetici siano interconnessi tra loro per cui è lecito parlare di elettromagnetismo.


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