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MATLAB. …oggi… Indipendenza lineare, basi, sottospazi Indipendenza lineare, basi, sottospazi Autovalori, autovettori Autovalori, autovettori Fattorizzazione.

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Presentazione sul tema: "MATLAB. …oggi… Indipendenza lineare, basi, sottospazi Indipendenza lineare, basi, sottospazi Autovalori, autovettori Autovalori, autovettori Fattorizzazione."— Transcript della presentazione:

1 MATLAB

2 …oggi… Indipendenza lineare, basi, sottospazi Indipendenza lineare, basi, sottospazi Autovalori, autovettori Autovalori, autovettori Fattorizzazione QR Fattorizzazione QR Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt Esercizi vari Esercizi vari

3 sono linearmenti indipendenti se m=n e i vettori sono l.i. => formano una base di R n Vettori l.i.

4 Esempio - 1 v1 = [1 0 2]; v2 = [2 1 1]; v3 = [1 2 0]; A = [v1 v2 v3] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l.i. e formano una base per R 3

5 Esempio – 2 (I parte) v1 = [ ]; v2 = [ ]; v3 = [ ]; v4 = [ ]; A = [v1 v2 v3 v4] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l.d.

6 Esempio – 2 (II parte) Per trovare una c.l. nulla a coefficienti nn tutti nulli t.c. Per trovare una c.l. nulla a coefficienti nn tutti nulli t.c. troviamo una soluzione non nulla del sistema omogeneo Ak = 0 troviamo una soluzione non nulla del sistema omogeneo Ak = 0 rref(A)

7 Basi Dopo aver verificato che i vettori sono una base di R3 esprimere come c.l. dei Dopo aver verificato che i vettori sono una base di R 3 esprimere come c.l. dei v1 = [1 1 0]; v2 = [0 1 1]; v3 = [1 0 1]; v = [1 1 1]; A = [v1 v2 v3] rank(A) il rango è 3 => i vettori sono l.i. i coefficienti lineari della combinazione si trovano: k=A\v

8 sono l.i. rank(A)=m sono l.i. rank(A)=m W = span(v 1,v 2,…,v m ) W = span(v 1,v 2,…,v m ) dim W = rank(A) dim W = rank(A) per trovare una base del s.s. B W si considerano i vettori l.i. che costituiscono la matrix A per trovare una base del s.s. B W si considerano i vettori l.i. che costituiscono la matrix A per esprimere un vettore w come c.l. dei vettori della base, si forma la matrix B avente per colonne le componenti di tali vettori e si risolve il sistema Bk=w per esprimere un vettore w come c.l. dei vettori della base, si forma la matrix B avente per colonne le componenti di tali vettori e si risolve il sistema Bk=w se i vettori sono l.d. => i coefficienti di una loro combinazione lineare non nulla si trovano risolvendo il sistema Ak=0 se i vettori sono l.d. => i coefficienti di una loro combinazione lineare non nulla si trovano risolvendo il sistema Ak=0 …ricapitolando…

9 Esercizi - 1

10 Esercizi - 2

11 Vettori ortogonali I vettori non nulli si dicono ortogonali se: I vettori non nulli si dicono ortonormali se sono ortogonali e inoltre Se m=n si dice che tali vettori ortonormali formano una base canonica (ortonormale) di R n

12 Matrici ortogonali Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali Una matrice si dice ortogonale se le sue colonne formano vettori fra loro ortonormali le colonne (le righe) di A formano una b.c. di R n

13 Vettori ortogonali in MATLAB Per verificare, mediante MATLAB, se 2 vettori v 1, v 2 sono ortogonali Se il prodotto del vettore riga v1 col vettore colonna v2 e 0 => i vettori sono ortogonali Per calcolare la norma di un vettore v1*v2==0 norm(v)

14 Autovalori e autovettori Per trovare gli autovalori e autovettori di A ava= eig(A) [V D] = eig(A) ava -> vettore colonna degli autovalori di A D -> matrice diagonale contenente gli autovalori di A V -> matrice le cui colonne sono gli autovettori di A relativi agli autovalori in D

15 Esempio diagonalizzabile => diagonalizzabile => esiste una base di R n formata da autovettori di A esiste una base di R n formata da autovettori di A A simmetrica => A diagonalizzabile A simmetrica => A diagonalizzabile in questo caso eig dà una matrix V ortogonale in questo caso eig dà una matrix V ortogonale il comando eig restituisce vettori ortonormali il comando eig restituisce vettori ortonormali [V D] = eig(A) V*V

16 Esercizi Data la matrix Data la matrix dire se è diagonalizzabile e trovare la matrix P che la diagonalizza Trovare una base di autovettori di R 3 formata da autovettori di A. E una base ortonormale? Trovare una base di autovettori di R 3 formata da autovettori di A. E una base ortonormale?

17 Fattorizzazione QR Una matrice invertibile può essere fattorizzata come A = QR Q è ortogonale (è lortogonalizzazione delle colonne di A) R è triangolare superiore. Si può usare la stessa fattorizzazione anche per matrici non quadrate.

18 Esempio Trovare la fattorizzazione QR della matrice clear A=[9 6 2 ; ; ]; [Q,R]=qr(A) Q*R=A % test Q*Q % è = I

19 Esercizi Sia data la matrix A 1) è diagonalizzabile? 2) se si scrivere una base ortonormale di R 3 3) A è invertibile? 4) se si scrivere la fattorizzazione QR di A

20 Algoritmo di Gram-Schmidt Siano n vettori l.i. di R n Esistono R n tali che 1.span( )=span( ) 2. siano a due a due ortonormali

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