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Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA1 Lalgebra di Boole.

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Presentazione sul tema: "Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA1 Lalgebra di Boole."— Transcript della presentazione:

1 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA1 Lalgebra di Boole

2 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA2 Il libro di Boole

3 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA3 Proprietà degli operatori booleani (assiomi)

4 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA4 Proprietà degli operatori booleani (assiomi) (2)

5 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA5 Un modello: algebra delle classi

6 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA6 Diagrammi di Venn Visualizzazione grafica delle operazioni nel modello di Algebra di Boole consistente nell'algebra degli insiemi. T è l'universo della nostra struttura di insiemi, cioè è l'insieme contenente tutti gli elementi possibili. A e B sono due insiemi di punti

7 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA7 Verifica grafica di teoremi (1) dal confronto con la figura relativa a A B si ricava ~A ~B= ~ (A B) dal confronto con la figura relativa a A B si ricava ~A ~B= ~ (A B)

8 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA8 Verifica grafica di teoremi (2) Graficamente poi sono ovvie le relazioni ~ = T ~ T = X ~X= T X ~X= X T= T X T= X

9 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA9 Il nostro modello di Algebra di Boole Lalgebra di Boole con cui lavoriamo ha un supporto A costituito da due soli elementi 0 ed 1: A = {0,1}. Le operazioni interne di questa algebra sono definite dalle seguenti tabelle delle operazioni che corrispondono alle operazioni logiche di OR ed AND e NOT Esse soddisfano i 4 postulati dellalgebra di Boole, come si può verificare per induzione perfetta cioè semplicemente verificando per tutti i possibili valori delle variabili, operazione macchinosa ma semplice concettualmente. Ad es. la commutatività di : a b = b a va verificata nei 4 casi possibili a=b=0, a=0 b=1, a=1 b=0, a=b=1. Per a=b=0 si ha a b = 0 b a=0 e quindi a b = b a Per a=b=1 si ha a b = 1 b a=1 e quindi a b = b a Per a=1 b=0 si ha a b = 1 b a=1 e quindi a b = b a e così via.

10 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA10 Lalgebra degli interruttori Somma: Il collegamento tra ingressi ed uscita è stabilito quando almeno uno degli interruttori è chiuso. Prodotto: Il collegamento è stabilito quando entrambi gli interruttori sono chiusi Negazione: Un interruttore chiuso va nello stato aperto, uno aperto passa allo stato chiuso.

11 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA11 Algebra delle porte OR: Uscita ad 1 se almeno uno degli ingressi è ad 1 AND: Uscita ad 1 se entrambi gli ingressi sono ad 1 NOT: Uscita a 0 se lingresso è ad 1, uscita ad 1 se lingresso è a 0

12 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA12 Variabili e costanti booleane

13 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA13 Espressioni booleane

14 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA14 Semplificazione della scrittura delle espressioni

15 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA15 Semplificazioni dei simboli

16 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA16 Scheda riassuntiva relazioni e teoremi dell'algebra di Boole postulatiduali P1x y = y xx y = y x commutatività P2(x y) z = (x y) z = distributività (x z) (y z) P3x 0 = xx 1 = x elementi neutri P4x ~x = 1x ~x = 0 complemento teoremi teoremi duali x 1 = 1x 0 = 0 x x = xx x = x idempotenza x y x z = x (y z)(x y) (x z)=x y z associativa x y x ~y = x(x y) (x ~y) = x x x y = xx (x y) = x assorbimento (x y) (x ~y) = x(x y) (x ~y) = x

17 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA17 Analogie tra operatori aritmetici e logici (1)

18 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA18 Analogie tra operatori aritmetici e logici (2)

19 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA19 Analogie tra operatori aritmetici e logici (3)

20 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA20 Analogie tra operatori aritmetici e logici (4)

21 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA21 Analogie tra operatori aritmetici e logici (5)

22 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA22 Teoremi di De Morgan

23 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA23 Teoremi di De Morgan (2)

24 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA24 Tabella di verità

25 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA25 Assegnazione di una funzione booleana

26 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA26 Numero di righe di una tabella di verità Il numero di righe di una tabella di verità evidentemente si ricava elencando tutte le possibili combinazioni delle variabili dingresso. Poichè i valori che le variabili possono assumere sono 0 o 1, occorre calcolare il numero di combinazioni di 0 ed 1 su n posti. Se ne può dare una dimostrazione induttiva che risulta anche costruttiva, cioè ci fornisce un algoritmo per costruire la tabella di verità completa, mediante raddoppio iterato della stessa. nel caso n = 1, il numero di combinazioni di 0 ed 1 su un posto è 2 se il numero di combinazioni nel caso n è m, nel caso n+1 è 2m Il numero combinazioni cercato è quindi = 2 n n volte

27 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA27 Numero di funzioni ad n variabili Di questo risultato possiamo renderci conto mediante il seguente schema grafico, che è anche una dimostrazione costruttiva. Nel caso n = 2 graficamente si ha Le possibili funzioni booleane distinte di n variabili sono: elementi x y f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f colonne

28 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA28 Numero di funzioni ad n variabili Di questo risultato possiamo renderci conto mediante il seguente schema grafico, che è anche una dimostrazione costruttiva. Nel caso n = 2 graficamente si ha: colonne x y f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f Le possibili funzioni booleane distinte di n variabili sono: elementi

29 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA29 Le 16 funzioni di 2 variabili (operatori binari) e loro proprietà [ ] 0 costante[ ] (b)|(a) OR [ ] (a&b) AND[ ] (~a&~b) NOR [ ] (a&~b) variaz. and[ ] (~a&~b)|(a&b) XNOR [ ] (a) identità [ ] (~b) not identità [ ] (~a&b) variaz. and[ ] (~b)|(a) Implicazione b a [ ] (b) identità [ ] (~a) not identità [ ] (~a&b)|(a&~b) XOR[ ] (~a)|(b) a b [ ] (~a)|(~b) NAND[ ] 1 costante Sono commutativi gli operatori per cui f(x,y)=f(y,x). Sono associativi se f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z)). Solo nel caso di associatività ha senso la definizione di porte a più ingressi, come per gli operatori and, or, xor, nand, or, xnor.

30 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA30 Teoremi e formule utili (1) teoremiteoremi duali x + 1 = 1 x 0 = 0 x + x = x x x = x idempotenza x y + x z = x (y + z) (x + y) (x + z)=x + y z distributiva x y + x ~y = x (x + y) (x + ~y) = x consenso x + x y = x x (x + y) = x assorbimento (x + y*) y = x y x y* + y = x + y (x + y)(x*+ z)(y + z) = (x + y)(x*+ z) x y + x*z + y z = x y +x*z consenso in formato Mat: ( x&y)|(~x&z)|(y&z) = (~x&z)|(x&y); x + x*y = x + y e più in generale (x + y)(x*+ z) = x z + x*y

31 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA31 Prodotti e somme di variabili nelle tabelle di verità

32 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA32 Forme canoniche SOP e POS

33 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA33 La forma canonica SOP realizza la funzione da cui è ricavata Ognuna delle clausole P i costituisce una funzione logica che, per le proprietà dellAND vale 1 se e solo se le variabili assumono la configurazione degli ingressi da cui è stato ricavato quel prodotto. Ad es. dalla riga della funzione con variabili x,y,z,t,v,w si ricava il prodotto: questo vale 1 se e solo se gli ingressi x,y,z,t,v,w valgono rispettivamente La funzione logica ottenuta mediante OR di tutte le clausole P i, per le proprietà dellOR a più ingressi dunque varrà 1 per quei valori delle variabili e solo per questi, e dunque solo per le righe in cui la funzione da realizzare vale 1.

34 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA34 La forma canonica SOP realizza la funzione da cui è ricavata (2) x y z w …..tfPiPi PjPj PkPk PlPl P i +P j +P k +...+P k =f ….

35 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA35 Completezza funzionale di un set di operatori binari Con lo sviluppo in forma POS o SOP risulta dimostrato che AND - OR - NOT sono un set funzionalmente completo. Si può dimostrare che: gli unici operatori che da soli risultano funzionalmente completi sono NAND e NOR gli unici operatori che da soli risultano funzionalmente completi sono NAND e NOR. Sistemi completi sono AND - OR - NOT NAND NOR AND - NOT OR - NOT AND - XOR OR - XOR

36 Settembre 2002IFTS2002 Acq. Dati Remoti: INFORMATICA36 Proprietà della porta XOR Il connettivo XOR è commutativo ed associativo x y = x y* + x*y = (x + y)(x*+ y*) (x y)* = x y* = x* y = x y x*y* = (x*+ y)(x + y*) x x = 0 x x* = 1 x 1 = x* x 0 = x x (y z) = x y x z x +y = x y x y = x x*y x (x + y) = x*y x x y = x y*


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