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Algebra lineare G. Puppo. Algebra lineare zNumero di condizionamento zSistemi triangolari zFattorizzazione LU zSoluzione di sistemi lineari in Matlab.

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Presentazione sul tema: "Algebra lineare G. Puppo. Algebra lineare zNumero di condizionamento zSistemi triangolari zFattorizzazione LU zSoluzione di sistemi lineari in Matlab."— Transcript della presentazione:

1 Algebra lineare G. Puppo

2 Algebra lineare zNumero di condizionamento zSistemi triangolari zFattorizzazione LU zSoluzione di sistemi lineari in Matlab zEffetto del numero di condizionamento

3 Numero di condizionamento zPer calcolare il numero di condizionamento, Matlab usa listruzione cond(a,p), dove: zp = 1 è per la norma 1 zp = 2 è per la norma 2 (default) zp = inf è per la norma infinito

4 Andamento del numero di condizionamento Costruiamo un programma che calcoli il numero di condizionamento al variare di N per matrici N per N assegnate. In particolare il programma deve: zavere un ciclo su N zcalcolare le matrici richieste per ogni N zcalcolare il numero di condizionamento corrispondente per ogni matrice, in ognuna delle norme 1, 2 e inf zstampare un grafico con i risultati

5 function plot_con(nmax) %Calcola il numero di condizionamento per le matrici %RAND(N), con N=1:NMAX, confrontando su un grafico %i risultati ottenuti in norma 1, norma 2, e norma inf for n=1:nmax a=rand(n); con1(n) = cond(a,1); con2(n) = cond(a,2); coninf(n) = cond(a,inf); end plot(log10(con2)) hold on plot(log10(con1),'g') plot(log10(coninf),'m')(log10(

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7 Proviamo altre matrici... zCambiamo le matrici calcolate nella function plot_con zSostituiamo a rand(n) le matrici tridiagonali, fornite dalla function tridiag(n) zSostituiamo le matrici di Hilbert, hilb(n), che hanno un condizionamento ~exp(n).

8 Matrice tridiagonale tridiag(n)

9 Matrici di Hilbert La scala verticale è logaritmica

10 Sistemi triangolari inferiori Scrivo una function che calcola la soluzione del sistema Ax=b, nel caso in cui A è triangolare inferiore. In una function che deve essere utilizzata da diversi utenti è bene controllare che i dati forniti siano coerenti. In questo caso controllo che: - A sia quadrata - A sia triangolare inferiore - A sia non singolare - Il vettore b abbia le dimensioni giuste

11 Controllo che la matrice A sia ben impostata function x=tri_inf(a,b) %TRI_INF(A,B) Risolve il sistema triangolare inferiore AX=B. % Se A non e' quadrata, o A non e' triangolare inferiore, % stampa un messaggio di errore % Controlla le dimensioni di A: [n,m] = size(a); if m ~= n display('A non e'' quadrata') return end for i=1:n for j=(i+1):n if a(i,j) ~=0 display('A non e'' triangolare inf') return end

12 Termino il controllo dei dati % Controlla le dimensioni di B if length(b) ~= n display('B non e'' compatibile') return end % Controlla se A e' singolare: for i=1:n if abs( a(i,i)) < eps*norm(b) display('A e'' quasi singolare') return end

13 Finalmente, risolvo il sistema: %Risolve il sistema x(1) = b(1)/a(1,1); for i=2:n sum=b(i); for j=1:(i-1) sum = sum - a(i,j)*x(j); end x(i) = sum/a(i,i); end La formula ricorsiva è: Lalgoritmo corrispondente è:

14 Risolvo un sistema triangolare superiore. Controllo che A sia ben impostata: function x=tri_sup(a,b) %TRI_SUP(A,B) Risolve il sistema triangolare superiore AX=B. % Se A non e' quadrata, o A non e' triangolare superiore, % stampa un messaggio di errore % Controlla le dimensioni di A: [n,m] = size(a); if m ~= n display('A non e'' quadrata') return end for i=1:n for j=1:i-1 if a(i,j) ~=0 display('A non e'' triangolare sup') return end

15 Controllo che B sia compatibile e che A non sia singolare % Controlla le dimensioni di B if length(b) ~= n display('B non e'' compatibile') return end % Controlla se A e' singolare: for i=1:n if abs( a(i,i)) < eps*norm(b) display('A e'' quasi singolare') return end

16 Risolvo il sistema: %Risolve il sistema x(n) = b(n)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 sum=b(i); for j=i+1:n sum = sum - a(i,j)*x(j); end x(i) = sum/a(i,i); end La formula ricorsiva è: E lalgoritmo corrispondente è:

17 Calcola la fattorizzazione LU di una matrice function [l,u] = elleu(a) %ELLEU(A) Calcola la fattorizzazione LU di A, senza pivoting %Sintassi: [L,U]=ELLEU(A) % esce con un messaggio di errore, se trova un pivot < % EPS*NORM(A) nor=norm(a); % Controlla le dimensioni di A: [n,m] = size(a); if m ~= n display('A non e'' quadrata') return end

18 Calcola la fattorizzazione LU, riscrivendo su A: l=-eye(n); for k=1:n-1 if abs(a(k,k)) < eps*nor display('Pivot troppo piccolo') return end m(k+1:n,k) = -a(k+1:n,k)/a(k,k); a(k+1:n,k+1:n) = a(k+1:n,k+1:n)+m(k+1:n,k)*a(k,k+1:n); end

19 …infine, immagazzina i risultati nelle matrici L e U: % Immagazzina i risultati nelle matrici l e u: l = -m; u = zeros(n); for i=1:n for j=i:n u(i,j) = a(i,j); end

20 Risoluzione di un sistema lineare Con le tre functions appena costruite, posso risolvere un sistema lineare. Devo impostare una matrice quadrata A e un vettore B di termini noti. Per risolvere il sistema Ax=B, devo: >> [l,u]=elleu(a); >> y=tri_inf(l,b); >> x=tri_sup(u,y) zCalcolare la fattorizzazione LU; zRisolvere il sistema triangolare inferiore Ly=b; zRisolvere il sistema triangolare superiore Ux=y;

21 Esempio Risolvo il sistema Ax=b, per: >> a=[2 -1 0; ; ]; >> a a = >> b=ones(3,1);

22 Calcola la fattorizzazione LU: >> [l,u]=elleu(a) l = u = Osservo che: >> l*u ans =

23 Risolvo i due sistemi triangolari >> y=tri_inf(l,b) y = >> x=tri_sup(u,y) x = Osservo che >> a*x'-b ans = 1.0e-015 * Quindi, il residuo è piccolo, anche se non è zero. La soluzione è accettabile

24 Provo un altro esempio con a=hilb(5), b=ones(5,1). Ottengo: >> a=hilb(5); >> b=ones(5,1); >> [l,u]=elleu(a); >> y=tri_inf(l,b); >> x=tri_sup(u,y); >> norm(a*x'-b) ans = e-014 Quindi il residuo è aumentato, infatti: >> cond(a) ans = e+005

25 Leffetto del numero di condizionamento si vede meglio con questo esempio: >> a=hilb(5); >> x=ones(5,1); >> b=a*x; >> [l,u]=elleu(a); >> y=tri_inf(l,b); >> x1=tri_sup(u,y); Scelgo b, in modo da conoscere la soluzione esatta, x. Calcolo la soluzione x1 risolvendo il sistema lineare. In aritmetica esatta, avrei x-x1=0. In aritmetica floating point: >> norm(x-x1')/norm(x) ans = e-012 La differenza ||x-x1|| è molto più grande del residuo

26 Risoluzione di sistemi lineari con Matlab Matlab risolve il sistema lineare Ax=b con il comando: x=A\b. Se A è quadrata, questo comando implica i seguenti passi: - Calcola la fattorizzazione LU con pivoting sulle colonne - Risolvi i due sistemi triangolari Se A è rettangolare (sistemi sovradeterminati), Matlab calcola la soluzione nel senso dei minimi quadrati, cioè: - Calcola la fattorizzazione QR con pivoting sulle colonne - Risolve il sistema triangolare superiore Se il condizionamento di A è elevato, stampa un messaggio di warning, ma calcola ugualmente la soluzione.

27 Risoluzione di sistemi lineari con Matlab 2 Nella versione 7, è stata inserita una nuova function per risolvere sistemi lineari con struttura particolare x=linsolve(a,b)

28 Esempio >> a=[2 -1 0; ; ]; >> b=ones(3,1); >> x=a\b x = Attenzione! Matlab usa sia / che \ ma i due operatori hanno un effetto diverso. Provare per credere!

29 Attenzione! Matlab calcola una soluzione anche quando il sistema non ammette soluzione. Nellesempio seguente, a è singolare: >> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> b=[1; 1; 0]; >> x=a\b; Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e-018. >> norm(a*x-b) ans = RCOND è il reciproco del numero di condizionamento: se RCOND è piccolo, la matrice è mal condizionata.

30 Fattorizzazione LU Matlab calcola la fattorizzazione LU di una matrice con il comando: [l,u] = lu(a) Oppure posso usare tre argomenti in output:: [l,u,p]=lu(a) In questo caso, l=L, u=U, p=P. In questo caso, l contiene anche gli scambi di riga effettuati. Se la fattorizzazione è PA = LU, allora l=P -1 L.

31 Esempio >> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> [l,u]=lu(a) l = u = Notare che l contiene la matrice triangolare L con le righe scambiate, cioè l=P -1 L

32 Per forzare la soluzione di un sistema tramite fattorizzazione LU, devo quindi dare i comandi : >> [l,u]=lu(a); >> y=l\b; >> x=u\y;

33 Fattorizzazione QR Matlab esegue la fattorizzazione A=QR mediante il comando: >> [q,r]=qr(a); >> x=r\q'*b; >>[q,r] = qr(a) Per forzare la soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione QR devo quindi dare i comandi:

34 Esercizio

35 Effetto del numero di condizionamento zVariazione del residuo per matrici mal condizionate zEffetto del condizionamento sulla precisione della soluzione numerica zStima del rango

36 Variazione del residuo per matrici mal condizionate Scrivo un programma che calcoli, per n da 1 a 100: - a=hilb(n) - b=rand(n,1) - risolve il sistema a*x=b - calcola la norma del residuo a*x-b - calcola il condizionamento di a - stampa un grafico con il condizionamento ed il residuo in funzione di n Vorrei studiare come varia il residuo r = ||Ax-b||, in funzione del condizionamento della matrice A. Scelgo come matrice mal condizionata la matrice di Hilbert, mentre per b assegno un vettore di numeri casuali

37 %Esegue un grafico del residuo, in funzione di n, %per sistemi lineari del tipo Hilb(n)*x=rand(n,1) nmax=100; for n=1:nmax a=hilb(n); b=rand(n,1); x=a\b; c(n)=cond(a); r(n)=norm(a*x-b) end plot(log10(c)) hold on plot(log10(r+eps),'m') Script res_hilb.m

38 Ottengo questi risultati

39 Effetto del condizionamento sulla precisione della soluzione Scrivo un programma che calcoli, per n da 1 a 100: - a=hilb(n) - xexa=ones(n,1) (xexa=soluzione esatta) - b=a*xexa (b = termine noto corrispondente a xexa) - risolve il sistema a*x=b (x=soluzione approssimata) - calcola lerrore relativo fra x e xexa - calcola il condizionamento di a - stampa un grafico con il condizionamento e lerrore relativo Imposto un problema Ax=b di cui conosco la soluzione esatta. Risolvo numericamente il problema, calcolando la soluzione stimata y. Quindi calcolo lerrore ||x-y||. Mi aspetto errori grandi se uso per A una matrice mal condizionata, come, di nuovo, la matrice di Hilbert.

40 Script hilb_exa.m % Calcola la differenza fra soluzione esatta e soluzione % approssimata, per i sistemi lineari hilb(n)*x=b % e ne stampa il grafico, confrontando con il condizionamento nmax=100; for n=1:nmax a=hilb(n); xexa=ones(n,1); b=a*xexa; x=a\b; c(n)=cond(a); err(n)=norm(x-xexa)/norm(xexa); end plot(log10(c)) hold on plot(log10(err+eps),'m')

41 Ottengo questi risultati

42 Stima del rango di una matrice Per stimare il rango di una matrice posso: Per matrici mal condizionate il secondo metodo è più affidabile. La tolleranza assegnata ha un ruolo fondamentale zCalcolare la fattorizzazione LU e contare gli elementi U(i,i) che hanno modulo maggiore di una tolleranza assegnata zCalcolare la fattorizzazione QR e contare gli elementi R(i,i) che hanno modulo maggiore di una tolleranza assegnata

43 Listato della function rango.m function r=rango(a,tol) % Calcola il rango della matrice A, usando % il metodo QR % Sintassi: R=RANGO(A) Calcola il rango di A. Usa EPS % se |r(i,i)| r(i,i)=0 % R=RANGO(A,TOL) Calcola il rango di A, % se |r(i,i)| r(i,i)=0 Questa function può essere chiamata in due modi: rango(a) usa una tolleranza di default: TOL=EPS*NORM(a,1) rango(a,tol) usa la tolleranza TOL fissata in input

44 Questa possibilità di scelta è implementata con la function NARGIN, che conta il numero di argomenti in input: if nargin < 2 tol=eps*norm(a,1); end Quindi, se NARGIN ritorna il valore 1, la function RANGO calcola la tolleranza, TOL=EPS*NORM(A,1) altrimenti TOL non viene calcolata, ma viene usato il valore assegnato in input

45 function r=rango(a,tol) % Calcola il rango della matrice A, usando % il metodo QR % Sintassi: R=RANGO(A) Calcola il rango di A. Usa EPS % se |r(i,i)| r(i,i)=0 % R=RANGO(A,TOL) Calcola il rango di A, % se |r(i,i)| r(i,i)=0 if nargin < 2 tol=eps*norm(a,1); end [q,rr]=qr(a); r=0; [m,n]=size(a); for i=1:n if abs(rr(i,i))>tol r=r+1; end

46 Provo ora a calcolare il rango delle matrici di Hilbert. Uso le seguenti istruzioni: for i=1:100 r(i)=rango(hilb(i)); end >> plot(r) Notare che tutte le matrici di Hilbert sono non singolari, quindi dovrei avere r(i)=i

47 Rango delle matrici di Hilbert, con TOL=EPS*NORM(A,1)

48 Rango delle matrici di Hilbert, con TOL=1e-40 Ora tutte le matrici hanno rango pieno

49 Apparentemente, i risultati ottenuti con TOL=1e-40 sono più corretti di quelli ottenuti con TOL=EPS*NORM(A,1). Calcoliamo però qual è laccuratezza della fattorizzazione QR che stiamo calcolando, per esempio per HILB(50): >> a=hilb(50); >> [q,r]=qr(a); >> norm(q*r-a) ans = e-016 Quindi non ha senso usare un valore di TOL più basso di circa 1e-16, perché la matrice R non è abbastanza accurata


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