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Metodi TVD ad alta risoluzione Gabriella Puppo. Sommario Metodi ibridi con flux limiters Confronto di diversi limitatori Algoritmi di ricostruzione Metodi.

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1 Metodi TVD ad alta risoluzione Gabriella Puppo

2 Sommario Metodi ibridi con flux limiters Confronto di diversi limitatori Algoritmi di ricostruzione Metodi basati su slope limiters

3 Metodi con flux limiter Per prevenire le oscillazioni introdotte dagli schemi di ordine elevato, costruiamo un metodo ibrido conservativo: Dove F 1 è un flusso numerico del primo ordine (qui useremo il flusso di Godunov entropico) e F 2 è un flusso numerico del secondo ordine (qui useremo il flusso di Lax-Wendroff).

4 Limiter Il limiter è una funzione Φ che dipende dal misuratore di regolarità : Notare che dipende dalla direzione delle caratteristiche

5 function hybrid.m La function hybrid.m implementa un metodo ibrido basato sulla tecnica del flux limiting. La function ha: - un blocco di inizializzazione (come per gli schemi già visti) - la costruzione dei due flussi numerici F 1 ed F 2 - il calcolo del limiter - la costruzione del flusso numerico ibrido - aggiorno la soluzione (come per gli schemi già visti) - impongo le condizioni al contorno (come per gli schemi già visti)

6 function [u,x,phi]=hybrid(u0,flux,flux1,t,cfl,limit,ab) % [u,x]=HYBRID(U0,FLUX,FLUX1,T,CFL,LIMITER) Calcola la soluzione del problema % u_t+(flux(u))_x=0 su [-1,1] con un metodo ibrido, basato sul % flusso di Lax Wendroff conservativo e il flusso di % Godunov entropico % FLUX e' la funzione di flusso, con derivata FLUX1 % U0 e' il vettore che contiene le condizioni iniziali,T e' % l'istante finale, CFL e' una stima di max|f'(u)| % LIMIT e' una variabile stringa, che definisce il limiter % usato nello schema ibrido. % I valori possibili sono: % LIMIT='mm' MinMod limiter % LIMIT='vl' Van Leer limiter % LIMIT='cs' constant limiter =0.5 % LIMIT='sb' Super Bee limiter % [u,x]=HYBRID(U0,FLUX,FLUX1,T,CFL,LIMITER,AB) Calcola la soluzione del %problema % u_t+(flux(u))_x=0 sull'intervallo AB=[A,B] % Le condizioni al contorno sono contenute nella variabile globale % BC. I valori possibili sono: % BC='p' Condizioni al contorno periodiche % BC='f' Condizioni al contorno free-flow % LANDA0 (global) e' lo scalare t.c. dt=LANDA0*h/CFL

7 global bc landa0 if nargin < 7 ab=[-1,1]; end n=length(u0)-2; a=ab(1); b=ab(2); h=(b-a)/n; dt=landa0*h/abs(cfl); nt=fix(t/dt)+1; % arrotonda (T/DT) all'intero immediatamente superiore dt = t/nt; landa=dt/h; Blocco di inizializzazione

8 for kt = 1:nt % Calcola il flusso di Godunov e quello di LW f1=fl_godunov(u0,flux,flux1); [f2,ai]=fl_lw(u0,flux,flux1,landa); % Calcola il flusso ibrido phi=limiter(u0,ai,limit); for i=1:n+1 f(i)=f1(i)+phi(i)*(f2(i)-f1(i)); end % Calcola la soluzione for i=2:n+1 u(i) = u0(i) - landa*(f(i)-f(i-1)); end …. (condizioni al contorno) end Calcolo della soluzione:

9 Ho bisogno di: - una function che calcoli il flusso di Lax Wendroff - una function che calcoli il flusso di Godunov - una function che calcoli il limiter, in modo upwind, cella per cella.

10 function [f2,ai]=fl_lw(u0,flux,flux1,landa) % Calcola il flusso numerico con il metodo di Lax Wendroff % [F2,AI]=FL_LW(U0,FLUX,FLUX1,LANDA) % F2 = flusso calcolato; % AI = velocita' caratteristica ai bordi della cella % U0 = soluzione numerica % FLUX, FLUX1 = flusso e derivata del flusso % LANDA = parametro di griglia n=length(u0)-2; fl=feval(flux,u0); for i=1:n+1 uimez(i)=(u0(i)+u0(i+1))/2; % Calcola la media di U end ai=feval(flux1,uimez); % Calcola il flusso di Lax-Wendroff: memorizza f(i+1/2) in f2(i) for i=1:n+1 f2(i)=(fl(i+1)+fl(i))/2 -landa/2*ai(i)*(fl(i+1)-fl(i)); end Flusso di Lax-Wendroff: function fl_lw.m

11 function f1=fl_godunov(u0,flux,flux1) % Calcola il flusso numerico con il metodo di Godunov % [F1]=FL_GODUNOV(U0,FLUX,FLUX1) % F1 = flusso calcolato; % U0 = soluzione numerica % FLUX, FLUX1 = flusso e derivata del flusso n=length(u0)-2; % Flusso di Godunov f1 fl=feval(flux,u0); fl1=feval(flux1,u0); for i=1:n+1 s = (fl(i+1) - fl(i))*(u0(i+1)-u0(i)); if s >= 0 f1(i) = fl(i); else f1(i) = fl(i+1); end Flusso di Godunov: function fl_godunov.m

12 % entropy fix: corregge il flusso se c'e' una rarefazione % transonica if fl1(i) 0 % trova il valore di u per il quale f'(u)=0 if u0(i) >= u0(i+1) us=fzero(flux1,[u0(i+1),u0(i)]); else us=fzero(flux1,[u0(i),u0(i+1)]); end f1(i) = feval(flux,us); end anche qui devo aggiungere lentropy fix

13 function limiter.m La function limiter.m ha la seguente struttura: - Calcola lindicatore di regolarità in modo upwind - Calcola il limitatore scegliendo da una lista di limitatori E importante evitare denominatori nulli

14 function phi=limiter(u,ai,stringa) % PHI=LIMITER(U,STRINGA) calcola il limitatore PHI % per la funzione di griglia U di tipo STRINGA % AI = f'(u_(i+1/2)): il segno di AI determina quali % punti vengono introdotti nello stencil % STRINGA = mm (minmod) % = cs (costante) % = vl (Van Leer) % = sb (Super bee) n=length(u)-2; Inizializzazione

15 Calcolo dellindicatore di regolarità: for i=2:n+1 if i==2 du_meno=u(i)-u(i-1); du_piu=u(i+1)-u(i); elseif i==n+1 du_meno=u(i)-u(i-1); du_piu=u(i+1)-u(i); else if ai(i) >= 0 du_meno=u(i)-u(i-1); du_piu=u(i+1)-u(i); else du_meno=u(i+1)-u(i); du_piu=u(i+2)-u(i+1); end

16 if stringa=='mm' if du_meno*du_piu <= 0 phi(i)=0; elseif abs(du_meno) 10.^(-12) phi(i) = du_meno/du_piu; else phi(i) = 1; end elseif stringa=='cs' phi(i)=0.5; elseif stringa=='vl' if du_meno*du_piu <= 0 phi(i)=0.0; else phi(i)=2*abs(du_meno)/(abs(du_piu)+abs(du_meno)); end Limitatori Van Leer e MinMod

17 Infine, aggiungo lo script script_hybrid.m che lancia i programmi % Questo script fa partire il metodo ibrido % conservativo per equazioni non lineari % PHI e' il limitatore clear global bc landa0 bc='p'; landa0=0.9; n=100; ab=[-2,2]; t=4; limiter='mm'; cfl=2; f=inline('x'); f1=inline('1+0*x'); [u,x,phi]=hybrid(u0,f,f1,t,cfl,limiter,ab); figure plot(x,u0,'g','Linewidth',2) hold on plot(x,u,'b','Linewidth',2) Risolvo un problema di linear advection con unonda quadra come dato iniziale, con il limitatore MinMod

18 Se uso il metodo di Lax Wendroff, ottengo con le oscillazioni che mi aspetto

19 Se uso il metodo di Godunov da solo: che presenta una forte diffusione numerica

20 Il metodo ibrido con il limitatore MinMod fornisce questo risultato: che è decisamente meglio.

21 Con il limitatore di van Leer ottengo: Notare che la diffusione numerica qui è diminuita

22 Infine con il limitatore Super Bee ottengo:

23 Esercizi Rifare i test precedenti usando una funzione sinusoidale, e calcolare lerrore in norma 1 e in norma infinito per i diversi limitatori Rifare i test precedenti usando lequazione di Burgers e una soluzione iniziale di tipo sinusoidale.

24 Algoritmi di ricostruzione Un algoritmo di ricostruzione permette di passare dai valori della soluzione definita per punti su una griglia ad una funzione definita su tutto un intervallo. Consideriamo funzioni polinomiali a tratti, usando le medie di cella della soluzione come dati di interpolazione.

25 Struttura dei programmi Per visualizzare il comportamento dellinterpolazione polinomiale a tratti: - assegno dei dati U i su una griglia rada, costituita da N intervalli I i ; - calcolo il polinomio di interpolazione su ogni intervallo I i ; - costruisco una griglia fitta su ogni intervallo I i, dove valuto il polinomio di interpolazione; - visualizzo i risultati.

26 Interpolazione costante a tratti Interpolazione costante a tratti di una funzione regolare. Notare le discontinuità ai bordi delle celle.

27 Aumentando il numero di nodi della griglia, linterpolante si avvicina alla soluzione, e i salti ai bordi delle celle diventano più piccoli.

28 Con una griglia ancora più fitta, ottengo

29 Andamento dellerrore Lerrore diminuisce linearmente, infittendo la griglia: N = 5 err = N = 10 err = N = 20 err = N = 40 err =

30 Landamento dellinterpolante segue le oscillazioni della soluzione, senza aumentarle, anche nel caso di una soluzione discontinua:

31 Interpolazione lineare a tratti Interpolazione lineare a tratti di una funzione regolare. Notare laumento delle oscillazioni.

32 Aumentando il numero di nodi della griglia, linterpolante si avvicina rapidamente alla soluzione, e i salti ai bordi delle celle diventano molto più piccoli.

33 Andamento dellerrore N = 5 err = N = 10 err = N = 20 err = N = 40 err = Lerrore diminuisce quadraticamente, infittendo la griglia: Inoltre, lampiezza delle oscillazioni introdotte dallinterpolante diminuisce rapidamente, se la soluzione è regolare.

34 Quando la soluzione presenta delle discontinuità, linterpolazione lineare a tratti può essere molto oscillatoria.

35 Interpolazione quadratica a tratti Anche in questo caso, ottengo dei buoni risultati se la soluzione è regolare

36 Se invece la soluzione contiene delle singolarità, linterpolante quadratico a tratti introduce delle oscillazioni spurie.

37 Listato dello script per gli algoritmi di ricostruzione script_ricostruzione.m % questo script lancia la routine di ricostruzione u=inline('sin(pi*x)'); %u=inline('sin(pi*x)+sin(5*pi*x)'); %u=inline('cos(pi*x).*sign(x)'); grado=2; n=10; ab=[-1,1]; err=ricostruzione(u,grado,n,ab)

38 Listato della function di ricostruzione function errore=ricostruzione(u,grado,n,ab) % ERRORE=RICOSTRUZIONE(U,GRADO,N,AB) % Disegna il grafico della ricostruzione polinomiale a tratti % di grado GRADO della funzione U(X) sull'intervallo AB, % suddiviso in N sottointervalli uguali, e stima l'errore % ERRORE in norma infinito.

39 a=ab(1); b=ab(2); h=(b-a)/n; x=linspace(a-h/2,b+h/2,n+2); err=zeros(n,1); ux=feval(u,x); figure % Disegna i punti di interpolazione plot(x(2:n+1),ux(2:n+1),'r*') hold on % Costruisce la griglia su cui calcolare la ricostruzione dx=h/10; xx=a;

40 for j=2:n+1 i=1; xx=x(j)-h/2; while x(j)-h/2 -100*eps <= xx & xx <= x(j)+h/ *eps if grado==0 % interpola con un polinomio costante a tratti ug(i)=ux(j); elseif grado==1 ug(i) = (ux(j+1)-ux(j-1))/(2*h)*(xx-x(j))+ux(j); elseif grado==2 dd=ux(j+1)-2*ux(j)+ux(j-1); ug(i) = ux(j) +(ux(j+1)-ux(j-1))/(2*h)*(xx-x(j))... +dd/h^2*(xx-x(j)).^2 -dd/24; end xg(i)=xx; xx=xx+dx; i=i+1; end

41 uexa=feval(u,xg); plot(xg,uexa,'g','Linewidth',2) plot(xg,ug,'Linewidth',2) err(j)=norm(ug-uexa,inf); end axis([a,b,min(ux)*1.2,max(ux)*1.2]) errore=norm(err,inf);

42 Esercizi Calcolare landamento dellerrore per linterpolante quadratico a tratti per linterpolazione di una funzione regolare. Studiare il comportamento delle oscillazioni spurie presenti nellinterpolazione di funzioni con gradini, raffinando la griglia. Costruire un interpolante lineare a tratti con limitatore di pendenza

43 Metodi semidiscreti Costruzione di un metodo semidiscreto del secondo ordine Calcolo dei valori estrapolati al bordo Calcolo dei flussi numerici Integrazione nel tempo tramite metodo Runge-Kutta

44 Metodo semidiscreto del secondo ordine Nel metodo semidiscreto del secondo ordine, risolvo il sistema di equazioni alle derivate ordinarie con il metodo di Heun: Per iniziare, identifico le medie di cella ottenute al passo precedente con il valore iniziale dello schema Runge Kutta

45 Applico un passo di ricostruzione: Calcolo il flusso numerico: Calcolo la soluzione intermedia: Calcolo i nuovi valori al bordo Calcolo il nuovo flusso numerico

46 Infine, calcolo la soluzione al nuovo passo temporale, utilizzando entrambi i flussi numerici calcolati precedentemente Quindi devo scrivere: - una function che calcoli le pendenze, usando un limitatore - una function che calcoli il flusso numerico utilizzando i due valori estrapolati al bordo - una function che implementi il metodo

47 function sigma=slope(u,stringa) % SIGMA=SLOPE(U,STRINGA) calcola la pendenza SIGMA % per la funzione di griglia U con il limitatore di tipo STRINGA % STRINGA = mm (minmod) % = cs (costante) % = vl (Van Leer) % = sb (Super bee) Questa function calcola le pendenza per la ricostruzione lineare a tratti function slope.m function slope.m

48 n=length(u)-2; for i=2:n+1 du_meno=u(i)-u(i-1); du_piu=u(i+1)-u(i); if stringa=='mm' if du_meno*du_piu <= 0 sigma(i)=0; elseif abs(du_meno)< abs(du_piu) sigma(i) = du_meno; else sigma(i) = du_piu; end elseif stringa=='cs' sigma(i)=0.5*(u(i+1)-u(i-1)); end % I valori al bordo vengono scelti uguali ai loro vicini sigma(1)=sigma(2); sigma(n+2)=sigma(n+1);

49 function fl_god__semidis function fl_god__semidis function f1=fl_god__semidis(up,um,flux,flux1) % Calcola il flusso numerico con il metodo di Godunov % [F1]=FL_GODUNOV(UP,UM,FLUX,FLUX1) % per i metodi semidiscreti % F1 = flusso calcolato; % UP = soluzione numerica in i+1/2 da destra % UM = soluzione numerica in i+1/2 da sinistra % FLUX, FLUX1 = flusso e derivata del flusso % Flusso di Godunov f1

50 flp=feval(flux,up); flm=feval(flux,um); fl1p=feval(flux1,up); fl1m=feval(flux1,um); s = (flp - flm).*(up-um); n=length(up)-2; for i=1:n+1 if s(i) >= 0 f1(i) = flm(i); else f1(i) = flp(i); end

51 % entropy fix: corregge il flusso se c'e' una rarefazione % transonica if fl1m(i) 0 % trova il valore di u per il quale f'(u)=0 if um(i) <= up(i) us=fzero(flux1,[um(i),up(i)]); else us=fzero(flux1,[up(i),um(i)]); end f1(i) = feval(flux,us); end

52 function [u,x]=semidiscrete(u0,flux,flux1,t,cfl,limit,ab) % [u,x]=SEMIDISCRETE(U0,FLUX,FLUX1,T,CFL,LIMITER) % Calcola la soluzione del problema % u_t+(flux(u))_x=0 su [-1,1] con un metodo semidiscreto, basato sul % flusso numerico di Godunov entropico e una ricostruzione % lineare a tratti con slope limiter. % Integra nel tempo con il metodo di Heun. % FLUX e' la funzione di flusso, con derivata FLUX1 % U0 e' il vettore che contiene le condizioni iniziali,T e' % l'istante finale, CFL e' una stima di max|f'(u)| % LIMIT e' una variabile stringa, che definisce il limiter % I valori possibili sono: % LIMIT='mm' MinMod limiter % LIMIT='cs' constant limiter =0.5 function semidiscrete.m function semidiscrete.m

53 % Le condizioni al contorno sono contenute nella variabile globale % BC. I valori possibili sono: % BC='p' Condizioni al contorno periodiche % BC='f' Condizioni al contorno free-flow % LANDA0 (global) e' lo scalare t.c. dt=LANDA0*h/CFL global bc landa0 if nargin < 7 ab=[-1,1]; end n=length(u0)-2; a=ab(1); b=ab(2); h=(b-a)/n; dt=landa0*h/abs(cfl); nt=fix(t/dt)+1; % arrotonda (T/DT) all'intero immediatamente superiore dt = t/nt; landa=dt/h; Blocco di inizializzazione

54 for kt = 1:nt % Calcola i valori estrapolati al bordo, memorizzando i in i+1/2 sigma=slope(u0,limit); um=u0+sigma*h/2; %soluz in i+1/2 da sinistra up(1:n+1)=u0(2:n+2)-sigma(2:n+2)*h/2; %soluz in i+1/2 da destra up(n+2)=up(n+1); % up e um hanno le stesse dimensioni % Calcola il flusso di Godunov per i valori al bordo f1=fl_god_semidis(up,um,flux,flux1); % Calcola la soluzione intermedia for i=2:n+1 u(i) = u0(i) -landa*(f1(i)-f1(i-1)); end Calcolo del primo flusso di Runge -Kutta … aggiunge le condizioni al bordo …

55 % Calcola i valori estrapolati al bordo sigma=slope(u,limit); um=u0+sigma*h/2; %soluz in i+1/2 da sinistra up(1:n+1)=u0(2:n+2)-sigma(2:n+2)*h/2; %soluz in i+1/2 da destra up(n+2)=up(n+1); % up e um hanno le stesse dimensioni % Calcola il flusso di Godunov per i valori al bordo f2=fl_god_semidis(up,um,flux,flux1); Applica la ricostruzione alla soluzione intermedia e calcola il secondo flusso di Runge-Kutta

56 % Assembla il flusso globale ftot=0.5*(f1 + f2); % Calcola la soluzione al passo n+1 for i=2:n+1 u(i) = u0(i) -landa*(ftot(i)-ftot(i-1)); end … condizioni al contorno… u0=u; % aggiorna u0 per il prossimo passo end x=linspace(a-h/2,b+h/2,n+2); Infine assembla il flusso globale e aggiorna la soluzione

57 Script script_semidis.m % Questo script fa partire il metodo semidiscreto % conservativo per equazioni non lineari % PHI e' il limitatore clear global bc landa0 bc='p'; landa0=0.9; Per lanciare il metodo semidiscreto, utilizzo questo script: Inizializzazione:

58 ab=[-2,2]; t=4; limiter='mm'; n=200; cfl=1; f=inline('x'); f1=inline('1+0*x'); [u,x]=semidiscrete(u0,f,f1,t,cfl,limiter,ab); figure plot(x,u0,'g','Linewidth',2) hold on plot(x,u,'b','Linewidth',2) title('Metodo ibrido') Per risolvere un problema di convezione lineare, con un dato iniziale ad onda quadra

59 ux=inline('1+0.5*sin(pi*x)'); cfl=1.5; ab=[-2,2]; t=4; limiter='mm'; f=inline('0.5*x.^2'); f1=inline('x'); [u,x]=semidiscrete(u0,f,f1,t,cfl,limiter,ab); figure plot(x,u0,'g','Linewidth',2) hold on plot(x,u,'b','Linewidth',2) Per risolvere lequazione di Burgers con dato iniziale di tipo inline

60 Linear advection, metodo semidiscreto con MinMod, T=4

61 Eq. di Burgers, metodo semidiscreto con MinMod, T=0.5 Anche londa transonica viene colta bene

62 Eq. di Burgers, metodo flux limiter con MinMod, T=0.5 Il metodo con flux limiter non e entropico.

63 Esercizi Considerare un problema di linear advection, con dato iniziale regolare. Calcolare lerrore usando il metodo flux limiter e il metodo semidiscreto, con gli stessi parametri computazionali. Quale metodo da lerrore piu piccolo? Considerare un problema di linear advection, con dato iniziale a gradino. Calcolare la soluzione usando il metodo flux limiter e il metodo semidiscreto, con gli stessi parametri computazionali. Quale metodo ha una risoluzione migliore?


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