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1 E-Learning e modelli matematici in 3D E-Learning e modelli matematici in 3D Tutto ebbe inizio da... Nicla Palladino.

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1 1 E-Learning e modelli matematici in 3D E-Learning e modelli matematici in 3D Tutto ebbe inizio da... Nicla Palladino

2 I modelli matematici Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del 900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo. Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perchè forniscono concretezza ad un risultato e sono accessibili allesperimento. Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria.

3 E-Learning e modelli matematici in 3D3 Come riutilizzare quei vecchi modelli dellOttocento …? Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D. Come renderle facilmente reperibile ? The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate, but the means we use for threading through the consequent maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-rigged ships. Vannevar Bush, As we may think, 1945 Come riusarle nel contesto dellE-Learning ?

4 E-Learning e modelli matematici in 3D4 Perché LE-Learning LE-Learning si sta affermando … … è vietato opporsi … …. Ma qualcuno potrebbe chiedersi perché. Proviamo a dare una risposta…..

5 E-Learning e modelli matematici in 3D5 - decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione enattiva - le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto -Ipercomplessità tecnologica - reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser ci diventa inessenziale de-territorializzazione Perché LE-Learning E-LEARNING

6 E-Learning e modelli matematici in 3D6 Obiettivo: Da questi concetti (decostruzione e apprendimento inattivo) nasce lidea dello sviluppo di tool per contestualizzare le antiche collezioni di modelli matematici nelle didattiche dellE-Learning, in cui la conoscenza su uno specifico campo del sapere (la geometria delle quadriche) viene impartita secondo le specifiche dellE-Learning.

7 E-Learning e modelli matematici in 3D7 Capitolo Primo: L'E-Learning I Learning Object Un Learning Object per la classificazione delle quadriche La rappresentazione di oggetti 3D nel Web Semantico Capitolo Secondo: Algoritmi di approssimazione 3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici Estensione di un LMS con unapplet 3D

8 E-Learning e modelli matematici in 3D8 Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Entropia Mediatore didattico Studente Learning Management System Ontologia Instructor

9 E-Learning e modelli matematici in 3D9 Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Ontologia : Dominio di conoscenza. Instructor : Esperto nel dominio di conoscenza. Scrive lOntologia. Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: Filtra la conoscenza che permea lambiente esterno, popola lontologia con le risorse didattiche. Learning Management System: Piattaforma per la didattica a distanza. Implementa lontologia preparata dallinstructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti.

10 E-Learning e modelli matematici in 3D10 Per la costruzione di Learning Object complessi, è necessario che il materiale didattico sia riusabile. Learning Object LE-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consenta laccessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti.

11 E-Learning e modelli matematici in 3D11 Learning Object Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object; I Learning Object sono gli strumenti che popolano gli ambienti di apprendimento; I Learning Object sono rappresentati con metadata; Esistono diversi standard per rappresentare i metadata. I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.

12 E-Learning e modelli matematici in 3D12 Definizione: Un Learning Object è unentità -digitale o non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante lapprendimento supportato dalla tecnologia. D.A.Wiley, The Instructional Use of Learning Objects, pp , AIT Editions, Learning Object

13 E-Learning e modelli matematici in 3D13 Definizioni: Asset: file Learning Object: la più piccola unità di apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica. A. Vanni -F. Formato, Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno Sviluppo cognitivo e qualità della formazione, Ravello, Ottobre I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi 1) asset 2) altri Learning Object più semplici Learning Object

14 E-Learning e modelli matematici in 3D14 Strutture molecolari dotate di diversi gradi di granularità Learning Object

15 E-Learning e modelli matematici in 3D15 Content Provider Learning Service Provider Learning Community LE-Learning in the large Modelli di E-Learning

16 E-Learning e modelli matematici in 3D16 LE-Learning coinvolge tre tipologie di attori: I fornitori di contenuto (Content provider) Possono essere le università o le aziende che fanno formazione. Cè la tendenza ad organizzarsi in comunità virtuali distribuite. Esempi: MIT OCW Repository di learning object prodotti al MIT MURL -Multi University virtual Research Laboratory -http://murl.microsoft.com/ -Repository multimediale di seminari e corsi on-line -The Geometry Center Modelli di E-Learning

17 E-Learning e modelli matematici in 3D17 Modelli di E-Learning I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider) I learning service provider possono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per lE-Learning agli utenti finali Esempi: Global Virtual University -Stanford, Oxford, Cambridge distributed virtual university GRID –Arendal servizi di e-learning per la climatologia globale Sfera servizi di E-Learning just in time per i contractor di Wind

18 E-Learning e modelli matematici in 3D18 Sono lestensione del core business delle università tradizionali new universities = old universities + learning community Esempi: OCW : estende il MIT ai paesi dellamerica latina BathMath: comunità di docenti di matematica di UniNa Modelli di E-Learning Comunità di apprendimento Comunità di pratica (Community of Practice) sostituiscono la formazione professionale

19 E-Learning e modelli matematici in 3D19 E opportuno dotare il sistema di un dispositivo di filtraggio, che permetta agli studenti di accedere solo a Learning Object buoni. Questi filtri sono chiamati Web Reccommender, e si dividono in due categorie: Filtri di informazione (information filter) e Filtri collaborativi (collaborative filter) Modelli di E-Learning

20 E-Learning e modelli matematici in 3D20 I filtri informativi I filtri collaborativi Content Provider Learning Service Provider Learning Community Information Filter I filtri collaborativi selezionano i LO in base ai loro contenuti e alle caratteristiche comuni di un gruppo di utente. Content Provider Learning Service Provider Learning Community Collaborative Filter I filtri informativi selezionano i LO in base ai loro contenuti.

21 E-Learning e modelli matematici in 3D21 I filtri collaborativi A e B sono entrambi interessati allargomento T. Supponiamo che A e B abbiano esplorato inizialmente lo stesso insieme di risorse S, con la differenza che A ha visto i Learning Object S A e B ha visto i Learning Object S B, con A e B Learning Object inizialmente non condivisi. Si comparano le pagine A, B e S. Se sono simili, allora MIT OCW TopologyAtlas Polito Mathworld MURL Il giardino di Archimede BatMat Pisa Medialab CS Princeton Harvard CSCI CAVE Stanford S A B Chaos on the web Yale FractGeo A = S B B = S A

22 E-Learning e modelli matematici in 3D22 Problemi principali per il riutilizzo dei LO: Ricerca dellinformazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore); Estrazione dellinformazione: ad oggi, lestrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione manuale e la lettura dei documenti; Manutenzione dellinformazione: aggiornare documenti è unattività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi. Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.

23 E-Learning e modelli matematici in 3D23 Nel World Wide Web linformazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con Metadati. Soluzione: il Web Semantico Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché i metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto. T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998 Nel Web Semantico linformazione diventa machine-processable.

24 E-Learning e modelli matematici in 3D24 Il Web Semantico: lRDF LRDF è codificato in XML. La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è lRDF (Resource Description Framework). E un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i Metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,…

25 E-Learning e modelli matematici in 3D25 Quadrica Piano Tangente Intersezione C det(Quadrica) det=0 det>0 C immaginaria C reale non degenre C degenre C 2 rette reali C 1 retta C 2 rette immaginarie det<0 Cono Reale Cono Immaginario Ellissoide Cilindro Iperbolico Cilindro Parabolico Cilindro Ellittico Iperboloide Ellittico Iperboloide Iperbolico det 0 Paraboloide Ellittico Paraboloide Iperbolico Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche 3x 2 +4y 2 +2xy+9z 2 -1=0 det=-99<0 Iperboloide ellittico

26 E-Learning e modelli matematici in 3D26 3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0

27 E-Learning e modelli matematici in 3D27 Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica usando un robot che sonda informazioni di tipo locale: tipo di punti, molteplicità, limitatezza … NellE-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e lapprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente. Un Learning Object

28 E-Learning e modelli matematici in 3D28 NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed allaccuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale. È controllata dai gradi (h e k), dai punti di controllo (p ij )e dai pesi (w ij ). dove le N i,h e N j,k sono le funzioni di base B–Spline definite da: con sui vettori dei nodi U=(u 0,…,u p ) e V=(v 0,…,v q ); i p ij sono i punti di controllo, e i w ij sono i pesi. Valgono le relazioni p=m+h+1 e q=n+k+1 Una superficie NURBS ha equazione parametrica u,v [0,1]

29 E-Learning e modelli matematici in 3D29 NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: Assegnati m n punti Q ij =(a ij, b ij, c ij ) R 3, e m n pesi r ij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS di gradi h e k, con punti di controllo opportuni p ij =(x ij, y ij, z ij ) R 3, pesi associati w ij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u 0,…,u p ) e V=(v 0,…,v q ), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Q ij e la superficie NURBS S(u,v) determinata: per opportuni valori s i e t j dei parametri.

30 E-Learning e modelli matematici in 3D30 Lalgoritmo Per risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline. Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R 2 è con u [0,1] parametro della rappresentazione parametrica; p i =(x i, y i ) R 2, i=0,…,n sono i punti di controllo; N i,h (u) sono le funzioni di base B-Spline sul vettore dei nodi U=(u 0,…,u m ). Vale poi m=n+h+1.

31 E-Learning e modelli matematici in 3D31 Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni m n costituita dai punti Q ij da approssimare, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Q i,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti P i,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati p i,j. Lalgoritmo

32 E-Learning e modelli matematici in 3D32 Lalgoritmo Ad ogni approssimazione, lalgoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare N T NP=N T Q dove Dato un insieme di n punti Q i =(a i,b i ) R 2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo p i =(x i,y i ) R 2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Q i e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u 0,…,u n+h+1 ) per opportuni valori t j del parametro.

33 E-Learning e modelli matematici in 3D33 Passo 1. Si costruisce un'opportuna parametrizzazione (t 0,t 1,…,t n ) Passo 2. Si costruisce il vettore dei nodi U=(u 0,u 1,…,u n+h ) Passo 3. Si costruisce la matrice dei coefficienti N=(N j,h (t i )) i,j=0,…,n-1 Passo 4. Si calcola il prodotto N T N Passo 5. Si applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice N T N ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che N T N=LL T. Passo 6. Si calcolano i prodotti N T a ed N T b Passo 7. Si risolvono i sistemi finali LL T x=N T a e LL T y=N T b mediante forward e back substitution. Lalgoritmo

34 E-Learning e modelli matematici in 3D34 Risultati dellalgoritmo File di input Gradi della NURBS 3 Dimensioni della griglia 5 Punti da approssimare (-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8) PesiTutti uguali ad 1

35 E-Learning e modelli matematici in 3D35 Risultati dellalgoritmo

36 E-Learning e modelli matematici in 3D36 Risultati dellalgoritmo

37 E-Learning e modelli matematici in 3D37 Il Learning Object per la classificazione delle quadriche

38 E-Learning e modelli matematici in 3D38 Resource Discovery Un Learning Object composto da un insieme di asset; Ad esempio questo Learning Object 3D, in cui il robot deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO; Problema: Si può cambiare il LO riusando una superficie in rete?

39 E-Learning e modelli matematici in 3D39 Resource Discovery Soluzione: 1) Si definisce un linguaggio di query basato sul web semantico –RDF di un sampling set; 2) Si determina uno shape descriptor della query basato sul sampling set: nel nostro caso lo shape descriptor di un sampling set è la NURBS generata con lalgoritmo di approssimazione. Si definisce un grado di similarity tra lo shape descriptor del sampling set S e lo shape descriptor S della risorsa sul web. Per esempio (Kazdhan 2004) R(S,S) = Raster(R S ) EDT S (S) + Raster(R S ) EDT S (S)

40 E-Learning e modelli matematici in 3D40 Resource discovery e web semantico RDF LO RDF LO RDF LO RDF LO RDF LO RDF LO Shape descriptor Shape descriptor Resource broker 3D repository Learning Object


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