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Professore : Varriale Salvatore Alunni : Ventura, Iommelli, De Fusco, Bignardi, Avolio, Nettuno, Semioli e Bruno Progetto LAUREE SCIENTIFICHE 2011/2012.

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1 Professore : Varriale Salvatore Alunni : Ventura, Iommelli, De Fusco, Bignardi, Avolio, Nettuno, Semioli e Bruno Progetto LAUREE SCIENTIFICHE 2011/2012

2 Giuseppe Maria Militelli, artista vissuto nel secolo XVII, progettò e disegnò alcune tavole da gioco, organizzate secondo diversi schemi di scommessa, come per esempio: Il gioco delli sposi e spose Il gioco dellaquila gioco inventato da Giuseppe Maria Militelli nel XVII secolo

3 Secondo alcuni esperti i dadi come gioco dazzardo risalgono a millenni fa, quando gli uomini primitivi usavano gli astragali che sono ossa di tarso la cui forma è simile ad un tetraedro. Losso presentava tante facce a cui si conferivano valori differenti ed ogni faccia aveva un valore proprio come nel gioco dei dadi. La loro origine è Asiatica. Il gioco dazzardo in Grecia, come del resto a Roma, era vietato. I giochi dazzardo erano tuttavia numerosissimi, ma il più popolare resta comunque il gioco dei dadi. Nellantica grecia durante i banchetti gli esponenti delle classi nobiliarie facevano uso di strumenti di gioco molto simili a quello dei dadi. In molti musei vi sono testimonianze dellaccanimento dei romani per il gioco dei dadi. Il colpo di Afrodite era il tiro migliore in assoluto (cioè tre volte sei) mentre il colpo peggiore era il colpo da cane (tre volte uno).

4 I singoli punti apposti sulle sei facce del dado, a volte, potevano essere associati a simbologie particolari. Nel Quodvultdeus, Liber promissionum et praedictorum Dei i numeri sono quelli dellArca. Nel Roman de Brut di Wace si assiste ad una scena in cui i giullari, oltre a cantare e suonare i più vari generi della lirica, si cimentano nei giochi di scacchi, di tavole e di dadi. Lassociazione fra il gioco dazzardo e lamore (carnale) è stata resa celebre da Cecco Angiolieri nel noto sonetto: «Tre cose solamente mi so in grado / le quali posso non ben ben fornire: / ciò è la donna, la taverna e l dado; queste mi fanno l cuor lieto sentire». Con la poesia goliardica che il gioco viene posto in primo piano ed acquista autonomia poetica: nella terza sezione dei Carmina Burana la filosofia pseudo epicurea dei clerici vagantes coincide con la valorizzazione della felicità terrena.. La teoria della probabilità vera e propria ebbe origine nel XVII secolo dalle ricerche riguardanti vari giochi di sorte. Fino a quando molti scienziati e matematici riuscirono ad approfondire il problema, dominava il pensiero di Galileo Galilei e di Isaac Newton, detto determinismo meccanicistico secondo il quale, ogni fenomeno fisico nel mondo reale doveva seguire leggi matematiche. Nasceva così la convinzione che poche leggi governavano i fenomeni del mondo fisico e permettevano di prevedere ogni evoluzione futura dell'universo. (Dati) + (Leggi) = (Conoscenza) Pascal e Fermat sostenevano che, il meccanicismo deterministico non era una teoria perfetta perché certi fenomeni non si verificavano con certezza ma hanno una evoluzione casuale. (Dati)+(Leggi)=(Conoscenza incompleta) PascalFermat

5 Il calcolo delle probabilità ha trovato sempre nel gioco uno dei più noti terreni di applicazione, ciò ha determinato anche la prima interpretazione del termine "probabilità" da parte del matematico francese Pierre Simon Laplace. I primi studi che portarono successivamente a concetti legati alla probabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadi di Galileo Galilei (pubblicato nel 1656). In particolare, Galileo spiegò come mai, lanciando tre dadi, la probabilità di uscita delle somme 10 e 11 sia più probabile dell'uscita del 9 e del 12, nonostante che entrambi i risultati si ottengano da un uguale numero di combinazioni. Il problema della ripartizione della posta in gioco nel caso che un gioco d'azzardo debba essere interrotto, venne affrontato da Luca Pacioli, noto anche come Fra Luca dal Borgo, nella sua Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (pubblicata nel 1494) e successivamente da Tartaglia, per poi essere risolto da Pascal e Fermat. La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a Blaise Pascal e Pierre de Fermat. Pascal annunciò nel 1654 all'Accademia di Parigi che stava lavorando sul problema della ripartizione della messa in gioco. E in una lettera del 29 luglio dello stesso anno a Fermat propose la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni. Nel 1657 Christiaan Huygens scrisse il primo trattato sul calcolo delle probabilità, nel quale introduceva il concetto di valore atteso. Nel 1713 viene pubblicato postumo Ars conjectandi di Jakob Bernoulli, dove veniva dimostrato il teorema che porta il suo nome, noto anche come legge dei grandi numeri. Successivamente, de Moivre pervenne ad una prima formulazione, poi generalizzata da Pierre Simon Laplace del Teorema centrale del limite. La teoria delle probabilità raggiunse così basi matematicamente solide e, con esse, il rango di nuova disciplina. In essa esercita un ruolo centrale il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili e la probabilità è un numero intrinsecamente legato ad un evento.Pierre Simon LaplaceGirolamo Cardano Galileo Galilei1656Luca PacioliFra Luca dal Borgo1494TartagliaPascalFermatBlaise PascalPierre de Fermat lugliostesso anno1657Christiaan Huygensvalore atteso1713Jakob Bernoullilegge dei grandi numeriPierre Simon LaplaceTeorema centrale del limite

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7 (Regole del gioco) CON TRE DADI SI GIOCA, E SI PONE SUL GIOCO QUELLO, CHE SI CONCORDARÀ DAI GIOCATORI. TIRANDO PRIMA PER LA MANO: FATTO CHE SIA IL PUNTO, OGN'UNO TlRARÀ, O PAGARÀ CONFORME STÀ NOTATO NELLE TAVOLE. QUELLO, CHE SI PAGA SI AGIUNGE AL GIOCO. Il gioco è diviso in 20 scomparti nei quali sono rappresentate varie attitudini e condizioni degli sposi disposti: LA SPOSA DA LA DOTE. / IN MANO AL SPOSO LO SPOSO S'ADORMENTA. LA SPOSA ANNASA IL SPOSO. LA SPOSA PORTA BRAGHE. LO SPOSO HA' LA STANELLA. LA SPOSA HA' UN BEL CIMIERO. LO SPOSO VA' IN VOLANTE. LA SPOSA SI FA BELLA. LA SPOSA VA' A FESTINO, / E IL MARITO LA MENA. LO SPOSO VA' A GIOCARE. LA SPOSA NON LAVORA. LO SPOSO VA STRACCIATO. LA SPOSA HA' UNA GRAN FAME. LO SPOSO VENDE TUTTO. LA SPOSA SI LAMENTA. LO SPOSO È TUTTA RABBIA. LA SPOSA È MOLTO LOFIA. LO SPOSO VA CERCANDO. LI SPOSI VAN DISPERSI. E QUESTO È IL FIN DE SPOSI, (cacciati in strada con i figli) NON SI TIRA NE PAGA. In ciascun scomparto sono indicate le sorti del gioco.

8 Si gioca con tre dadi. Si forma inizialmente una posta e si paga o si vince ad ogni lancio. Se i numeri usciti sono tutti e tre uguali si vince la seguente posta 111Vince 1 denaro 222Vince 2 denari 333Vince 3 denari 444Vince 4 denari 555Vince 5 denari 666Vince tutta la posta

9 Se i numeri non sono tutti uguali si vince o si paga in relazione alla somma dei tre numeri usciti secondo le seguenti regole 6Vince 1 denaro 4713Vince 2 denari 5Vince 3 denari 17Non vince e non perde Paga 1 denaro 81214Paga 2 denari Se la somma è Si vince o si perde

10 La probabilità che, lanciando tre dadi, escano tre facce uguali, ad esempio tre 6, vale 1/216 = 0,0046. Infatti, il numero dei casi possibili è 216 (6*6*6) e cè un solo caso favorevole. Daltra parte, allo stesso risultato si perviene considerando il fatto che i risultati dei singoli dadi sono tra loro indipendenti e applicando regola di fattorizzazione per ottenere la probabilità dellevento congiunto tre facce uguali : (1/6)*(1/6)*(1/6). Il 9 si ottiene con le 5 combinazioni (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4) la combinazione (3,3,3) non è stata considerata perché solo se i tre valori dei dadi non sono uguali si considera la somma dei tre numeri, il 10 con le sei combinazioni (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4), l'11 con (1,4,6), (2,3,6), (2,4,5), (1,5,5), (3,3,5), (3,3,4) e il 12 con (1,5,6), (2,4,6), (2,5,5), (3,4,5), (3,3,6), anche qui il (4,4,4) non è stato considerato perché composto da 3 numeri uguali. Tuttavia, mentre una combinazione di tre numeri uguali può presentarsi in un solo modo, una con due numeri uguali tra loro può presentarsi in tre modi diversi, una combinazione con tre numeri diversi si può presentare in sei modi diversi.

11 Vince 1 denaro Se esceCon probabilità /216 Se esce Somma 6 Con probabilità / /216

12 Vince 2 denari Se esceCon probabilità /216 Se esce somma 4 Con probabilità /216 Se esce somma 7 Con probabilità / / / /216 Se esce somma 13 Con probabilità / / / / /216

13 Vince 3 denari Se esceCon probabilità /216 Se esce somma 5 Con probabilità / /216

14 Vince 4 denari Se esceCon probabilità /216 Vince 5 denari Se esce Tre 5Con probabilità /216

15 Vince lintera posta Se esceCon probabilità /216

16 Non vince e non perde nulla Se esce Somma 17 Con probabilità /216

17 Paga 1 denaro Se esce Somma 15 Con probabilità / /216 Se esce Somma 16 Con probabilità / /216 Se esce Somma 9 Con probabilità / / / / /216 Se esce Somma 10 Con probabilità / / / / / /216 Se esce Somma 11 Con probabilità / / / / / /216

18 Paga 2 denari Se esce Somma 14 Con probabilità / / / /216 Se esce Somma 12 Con probabilità / / / / /216 Se esce Somma 8 Con probabilità / / / / /216

19 Con quali probabilità si vince o si perde? Vincita casiProbabilità Vince 1 denaro10/2160,0463 Vince 2 denari40/2160,1852 Vince 3 denari7/2160,0324 Vince 4 denari1/2160,0046 Vince 5 denari1/2160,0046 Vince l'intera posta1/2160,0046 Non vince e non perde 3/2160,0139 Paga 1 denaro93/2160,4306 Paga 2 denari60/2160,2778

20 risultatoprobabilità Si vince60/216 Non si vince e non si perde 3/216 Si perde153/216

21 Abbiamo considerato prima il caso teorico analizzando tutte le possibilità che si potevano ottenere per vincere 1 denaro, 2 denari,… intera posta, perdere 1 denaro, 2 denari e non vincere o perdere e le relative probabilità. Abbiamo poi lanciato noi cento volte tre dadi riportando in una tabella le frequenze dei risultati ottenuti. Le frequenze relative ottenute sono molto diverse dalle probabilità precedentemente ricavate. Ciò è dovuto al fatto che 100 è piccolo rispetto a 216. In altre parole anche il giocatore più smaliziato non avrebbe intuito che la probabilità di perdere è molto più grande della probabilità di vincere sulla base di centinaia di osservazioni. Abbiamo, per completezza, utilizzando un foglio excel, simulato estrazioni facendo uso delloperatore CASUALE ( ) e delloperatore CONTA:SE. Le frequenze relative sono molto vicine alle probabilità calcolate.

22 3 valori uguali numero casi 3 valori 11 3 valori 21 3 valori 31 3 valori 41 3 valori 51 3 valori 61 Somme con almeno 2 numeri diversiNumero casi

23 risultatiprobabilitàfrequenza relativa con 100 lanci frequenza relativa con lanci 3 valori 10,00460,010,005 3 valori 20,00460,020, valori 30,00460,010, valori 40,00460,020, valori 50,00460,010, valori 60,00460,010,0049 somma 4 0,01390,010,0131 somma 5 0,02780,020,0272 somma 6 0,04170,040,0411 somma 7 0,06940,090,0723 somma 8 0,09720,10,0957 somma 9 0,11110,120,1129 somma 10 0,12500,110,1246 somma 11 0,12040,110,1212 somma 12 0,11570,160,1149 somma 13 0,09720,050,1011 somma 14 0,06940,040,0647 somma 15 0,04170,040,0405 somma 16 0,02780,020,0286 somma 17 0,01390,010,0131 totale 111

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25 La speranza matematica Poiché nei giochi dazzardo la vincita e la perdita dipendono esclusivamente dal caso, cioè sono conseguenza di eventi aleatori, si introduce il concetto di speranza matematica, per determinare la convenienza di un giocatore a partecipare ad un gioco. Si chiama speranza matematica Sm la somma algebrica dei prodotti delle somme che si possono vincere o perdere moltiplicate per le rispettive probabilità. Si consideri ad esempio un giocatore che partecipa ad un gioco nel quale può vincere una somma G (>0 ) con probabilità p e può perdere una somma R (>0) con probabilità (1-p). In tale contesto, la speranza matematica è Sm = G*p - R*(1-p). In pratica la speranza matematica rappresenta la vincita media,in ogni partita, di un giocatore che effettua un gran numero di partite. Infatti, per la legge dei grandi numeri, effettuando un numero elevatissimo di partite la somma algebrica delle somme G e R (via via ricevute e pagate) rapportata al numero di partite assume un valore molto vicino alla speranza matematica.

26 Gioco equo Perché un gioco sia equo è evidente che la speranza matematica deve risultare nulla. Infatti se la speranza matematica è positiva il gioco risulta vantaggioso per il giocatore; al contrario, se la speranza matematica è negativa il gioco è vantaggioso per gli avversari. Nel caso di un gioco con k esiti che conducono ad una vincita e l esiti che conducono ad una perdita la speranza matematica vale Sm = G 1 *p 1 + G k *p k + R 1 *q 1 + R l *q l Sm = G 1 *p 1 + … + G k *p k + R 1 *q 1 + … + R l *q l nella quale le G i indicano le somme relative alle vincite e p i le rispettive probabilità.; allo stesso modo le R j indicano le somme relative alle perdite e q j le rispettive probabilità. nella quale le G i indicano le somme relative alle vincite e p i le rispettive probabilità.; allo stesso modo le R j indicano le somme relative alle perdite e q j le rispettive probabilità. Nel caso in cui un giocatore deve pagare una posta per lingresso nel gioco indicando con Z tale prezzo da versare per partecipare al gioco, la speranza matematica sarà: Sm = G 1 *p 1 + G k *p k + R 1 *q 1 + R l *q l - Z Sm = G 1 *p 1 + … + G k *p k + R 1 *q 1 + … + R l *q l - Z

27 Sm: (120+ip)/ /216 - Z = (ip-93)/216 – Z Il gioco è equo quando la Sm è zero indicando con Z è la quota di ingresso nel gioco delli sposi e spose Sm = 1*10/216 (posso vincere 1 denaro con probabilità 10/216) + +2*40/216 (posso vincere 2 denari con probabilità 40/ *7/ *1/ *1/216 + intera posta*1/216 (posso vincere lintera posta solo con quindi con probabilità 1/216) + 0*3/216 (non vinco e non perdo in tre casi su 216) +(-1)*93/216 (perdo 1 denari con probabilità 93/216) + (-2)*60/216 (perdo 2 denari con probabilità 60/216) - Z

28 Se ci sono n giocatori che quindi versano ciascuno Z denari la posta iniziale sarà di n*Z denari; se il gioco fosse equo il primo giocatore che lancia dovrebbe avere una speranza matematica uguale a 0 quindi: (nZ - 93)/216 – Z = 0 quindi (n-216)*Z = 93. Quindi fissato Z come quota di ingresso ci dovrebbero essere un numero di giocatori pari a (93/Z) la qual cosa comporta che il numero di giocatori deve essere più grande di un numero maggiore di 216. Nei casi in cui, come avveniva di norma, il numero di giocatori è di poche decine, il gioco, rispetto al primo tiro del primo giocatore, non è equo. Inoltre, la posta totale non rimaneva costante durante tutto il gioco, ma già dopo il primo lancio di dadi la posta cambiava alterando la speranza matematica del secondo giocatore. Si continuava a giocare fin quando un giocatore non totalizzava tre 6 o la vincità non era superiore a quanto rimasto sul tavolo, oppure i giocatori non uscivano dal gioco.


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