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Lezione 7 formalismo di Dirac. correnti =+ corrente conservazione della corrente.

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Presentazione sul tema: "Lezione 7 formalismo di Dirac. correnti =+ corrente conservazione della corrente."— Transcript della presentazione:

1 Lezione 7 formalismo di Dirac

2 correnti =+ corrente conservazione della corrente

3 la corrente si conserva correnti

4 Corrente e Densità di Probabilità lequazione di KG ammette soluzioni ad energia negativa e densità di probabilità negativa lequazione di Dirac ammette soluzioni ad energia negativa, ma la densità di probabilità è positiva un esempio è una particella libera di momento p. vedremo che si arriva all equazione che lega densità di probabilità e corrente in questo caso, con delle semplici manipolazioni dell equazione di Dirac vedremo anche che è ragionevole interpretare una particella libera come una corrente

5 esempio: è ragionevole interpretre una particella libera come una corrente equazione di Dirac particella libera di momento p. densità di probabilità corrente Usando le regole di anticommutazione opera su unonda piana di momento p.. opera su unonda piana di momento p.. lequazione di Dirac diventa Hermitiana coniugata sommiamo queste due equazioni

6 contrariamente a quanto accadeva con lequazione di KG, lequazione di Dirac ammette solo corrente e densità di probabilità positive

7 spinori a 2 componenti rappresentazione specifica delle :ridefinizione soluzioni per particelle libere Equazione di Dirac Separando le variabili che scritta esplicitamente diventa

8 massa nulla le due equazioni si separano elicità m=0, fermioni relativisici L soluzione a enegia positiva sinistrorsa R soluzione a enegia positiva destrorsa La separazione tra fermioni destrorsi e sinistrorsi è un punto tecnico molto importante nel Modello Standard

9 cosa si impara? esistono soluzioni per p0 possono essere intercambiate con L - R m=0, le due equazioni si separano; le particelle sono destrorse (R) o sinistrorse (L) elicità misura la componente di spin lungo la direzione del moto della particella. L left-handed positive energy solution. R right-handed positive energy solution. Se uno stato left-handed ha p0>0, allora L >> R m m0, le due soluzioni non si separano. (troveremo nella lagrangiana un termine di massa interazione L R)

10 separiamo la dipendenza da spazio e tempo u soddisfa la stessa equazione nello spazio dei momenti che abbiamo scritto, dato che implicitamente si era assunto che si lavorava con autovalori dellenergia in genere si usa per una soluzione generale ed u quando si vuole fattorizzare il tempo dobbiamo normalizzare; la scelta convenzionale per la normalizzazione è: possiamo scrivere una soluzione dellequazione di Dirac nella forma notare che ha le dimensioni di una massa, o di una energia, nelle unità naturali un fattore di questo tipo deve essere espresso in termini delle masse ed energie disponibili

11 Particelle e antiparticelle Tratteremo le antiparticelle come se fossero particelle arrivano in coppia: se cè una particella cè anche la sua antiparticella se sono fermioni sono descritte dalla soluzione dellequazione di Dirac i vertici hanno la forma

12 fermioni destrorsi e sinistrorsi fermioni destrorsi e sinistrorsi Definiamo gli operatori è sempre utile separare la parte alta e bassa della funzione donda. scegliamo una rappresentazion e delle matrici in cui per esempio u soluzione della equazione di Dirac Sono operatori di proiezione Gli operatori PARITA

13 ELICITA e PARITA Lelicità di un fermione massivo può essere cambiata da una trasformazione di Lorentz,perchè si può andare nel sistema a riposo e ruotare. Quindi lelicità non è un numero quantico La natura però, ed il modello standard trattano fermioni destrorsi e sinistrorsi in modo diverso e la connessione tra destra, sinistra e massa è sottile La parità opera così: Il momento angolare si trasforma come: quindi lo spin si trasforma come Se la natura fosse invariante per trasformazione di parità esisterebbero sempre le due soluzioni. Ma in natura la parità non si conserva. Non esistono neutrini destrorsi. quindi in queste equazioni cè un cambiamento di segno Nel caso degli elettroni, esistono sia eR e eL, ma solo eL può interagire con il

14 Conservazione della parità (elicità)nelle interazioni elettromagnetiche se linterazione ha la forma della corrente,(e.g. interazione elettromgnetica ) lelicità (parità) si conserva se linterazione ha la forma della corrente,(e.g. interazione elettromgnetica ) lelicità (parità) si conserva

15 corrente Valgono le seguenti relazioni Dato che Applicando le quali si ottiene conservazione elicità (parità) nelle interazioni elettromagnetiche relazioni utili

16 termine di massa Esprimiamo in termini di stati destrorsi e sinistrorsi Il termine di massa della Lagrangiana ha la forma il termine di massa è equivalente ad un flip in elicità

17 in una interazione in cui i termini in LL ed RR sono ugualmente probabili, come nella interazione e.m., si conserva la parità e la corrente ha la forma ma se per una ragione qualsiasi abbiamo solo stati LL, allora c solo il termine V-A interction vettore quadri-vettore assiale quadri-vettore assiale

18 Linterazione debole Linterazione debole è un esempio di interazione V-A ( Vettoriale –Assiale). E questo perchè in natura esistono solo neutrini sinistrorsi L Nel caso esistessero invece solo neutrini destrorsi, linterazione sarebbe del tipo V+A

19 come interagisce una qualsiasi funzione donda (particella) con una funzione donda (particella) sinistrorsa L ? in una qualsiasi corrente formata con e L, solo la componente L può interagire con L, anche se la componente R ( su, top) di esiste e corrisponde ad uno stato fisico. top bottom in natura, effettivamente, solo e L interagiscono con i neutrini. e R non interagiscono con i neutrini NON CONSERVAZIONE DELLA PARITA NELLE INTERAZIONI DEBOLI

20 La Lagrangiana di Dirac

21 Negative Energy Solution: Feynman prescriptions negative energy particle solution propagating backward in time = positive energy antiparticle solution propagating forward in time è plausibile ?? the emission (absorption) of an antiparticle of 4-momentum p is physically equivalent to the absorption ( emission) of a particle of 4-momentum -p

22 scattering center Non Relativistic Quantum Mechanic (NRQM) Trajectory for second order scattering in NRQM Space-Time plot scattering di un + da un potenziale, in una teoria perturbativa di secondordine Trajectory for second order scattering in RQM Relativistic Quantum Mechanic RQM In RQM dobbiamo ammettere anche particelle che vanno indietro nel tempo In RQM dobbiamo ammettere anche particelle che vanno indietro nel tempo DICE FEYNMAN: quindi oltre al grafico NRQM, cè anche un grafico RQM negative-energyy positive-energyy

23 DICE FEYNMAN: Una particella con energia negativa che procede in avanti è equivalente alla sua antiparticella con energia positiva che procede allindietro nel tempo Una particella con energia negativa che procede in avanti è equivalente alla sua antiparticella con energia positiva che procede allindietro nel tempo il potenziale assorbe una coppia + - a t 2 + viene dal passato il potenziale emette una coppia + - a t 1 + procede verso il futuro Quindi la soluzione a energia negativa di una equazione donda che descrive una certa particella è usata per descrivere la sua antiparticella con energia positiva, scambiando opportunamente stati finale e iniziale In questo modo situazioni che coinvolgono più di una particella ( come la creazione di coppie) possono essere trattate con la funzione donda di una singola particella Non si può creare una singola p pp particella carica. Le particelle sono create in coppie particella-antiparticella e le traiettorie nello spazio tempo sono continue

24 the electromagnetic current of a positive energy + is palusibly given by the probability current for positive energy solution multiplied by the charge (Q=e + ) probability current for positive- energy + Quando un sistema emette un pione negativo di energia positiva, la sua energia totale decresce di E e la sua carica elettrica decresce di (-e) This is equivalent to have the system-charge increased of (+e) This charge increase could equally well be caused by the absorption of a positive pion, but to be equivalent to the negative pion emission, the positive pion will have to have negative energy ( The system loose energy in the emission)

25 gli ingredienti le notazioni dellequazione di Dirac, per esprimere la struttura dello spin le notazioni dellequazione di Dirac, per esprimere la struttura dello spin limposizione della gauge invariance che ci dice di cominciare con una Lagrangiana di particella libera e di riscriverla con il formalismo delle derivate covarianti limposizione della gauge invariance che ci dice di cominciare con una Lagrangiana di particella libera e di riscriverla con il formalismo delle derivate covarianti lidea di simmetrie interne lidea di simmetrie interne


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