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Unità di misura naturali massamomentoenergiaGeV Fattori di conversione esempio Utile per passare dalla larghezza di una particella o risnanza alla vita.

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Presentazione sul tema: "Unità di misura naturali massamomentoenergiaGeV Fattori di conversione esempio Utile per passare dalla larghezza di una particella o risnanza alla vita."— Transcript della presentazione:

1 Unità di misura naturali massamomentoenergiaGeV Fattori di conversione esempio Utile per passare dalla larghezza di una particella o risnanza alla vita media Utile per esprimere le sezioni durto in cm

2 quadrivettore esempi Notazioni relativistiche Tensore metrico Prodotto scalare Gradiente

3 ELETTROMAGNETISMO e NOTAZIONI RELATIVISTICHE le equazioni di Maxwell le equazioni di Maxwell carica e corrente di una particella puntiforme carica e corrente di una particella puntiforme carica e corrente di n particelle puntiformi quadrivettori eletromagnetismo

4 Lagrangiane classiche Lagrangiana della meccanica classica: energia cinetica – energia potenziale Un esempio: Lagrangiana dellelettromagnetismo Intensità dei campi in funzione dei potenziali

5 Quadrivettori Tensore antisimmetrico Lagrangian density dellelettromagnetismo,formalismo relativistico simbolo di Levi Civita, adimensionale

6 ANTISYMMETRIC TENSOR The two non homogeneos Maxwell equations, which are driven by the current and charge densities take a simple form. The current conservation is contained in this formula and is a direct consequence of the antisymmetry of F and of the commutativity of and.

7 Lelettrone è rappresentato da l campo fermionico Elettrodinamica quantistica: La Lagrangiana contiene la interazione fondamentale: Il ruolo delle Lagrangiane, nella fisica delle particelle La energia potenziale nella Lagrangiana definisce la teoria. Essa infatti specifica le forze in gioco. (Interaction Lagrangian ) il fotone è il quanto del campo ed è rappresentato dal potenziale vettore

8 Lagrangiana di un campo scalare reale (massa m, spin 0) è la sua Lagrangiana Si puo dimostrare che la : Si può anche dimostrare che soddisfa leq. delle onde Ogni campo che descrive una particella di massa m deve soddisfare questa relazione E un campo libero, quindi senza energia potenziale, o termine di interazione 1930 Klein e Gordon (KG) hanno ottenuto questa equazione sostituendo gli operatori nellequazione

9 Hamiltoniana associata con unaLagrangiana energia Esempio: costruiamo un campo scalare normalizzato ad un singolo quanto di energia definita e momento Sostituendo nellequazione dellenergia Per un singolo quanto con energia

10 In una teoria quantistica dobbiamo parlare di creazione e distruzione di particelle: Stato con particelle, tutte con energia e momento allo stesso isrante campo Passando da campo ad operatore crea i quanti associati al campo li distrugge Operatori creazione edistruzione Da ricordare: OGNI CAMPO QUANTISTICO PUO CREARE O DISTRUGGERE PARTICELLE. QUANDO LO FA,CE UN FATTORE ASSOCIATO CHE E LA FUNZIONE DONDA della PARTICELLA scritto in questo modo facilita le cose scritto in questo modo facilita le cose coefficiente operatore distruzione

11 ATTENZIONE Questo è stato un approcio euristico al problema della quantizzazione di un campo scalare Abbiamo solo visto che deve avere una certa forma e può essere interpretato in termini di creazione e distruzione di particelle con spin = 0, (scalare) con fattori che sono la funzione d onda In una trattazione completa avremmo dovuto procedere alla quantizzazione del campo sclare, così come si fa con il campo elettromagnetico (vettoriale), che porta all interpretazione del fotone come il quanto del campo elettromagnetico, che coincide con A.

12 Equazione di Schroedinger Densitá di probabilitá Densitá di corrente Si ottiene Particella libera Sorgenti e correnti in una teoria quantistica non relativistica: un esercizio Moltiplichiamo questa equazione per Moltiplichiamo la complessa coniugata di questa equazione per e sommiamo. Definiamo adesso

13 Invarianza per rotazione Costruiamo un campo complesso stessa massa m lagrangiana Un sistema di due campi scalari reali, stessa massa m lagrangiana Campi equivalenti Che implicazioni ha questo esempio? niente ha prefissato la direzione di Possiamo formare un campo complesso La lagrangiana non cambia: essa è proporzionale a trasfornmazione di gauge di prima specie è una costante reale è una costante reale

14 Consideriamo una rotazione infinitesima, per semplificare i conti COME VARIA LA LAGRANGIANA ? Dimostreremo che la variazione della Lagrangiana è =0, il che implica che la ESISTE una CORRENTE che SI CONSERVA ESISTE una CORRENTE che SI CONSERVA

15 : riscriviamo il secondo termine Qui il secondo termine serve solo a cancellare quella parte del primo termine dove opera sulla derivata della Lagrangiana per ogni variazione

16 le variazioni rispetto e, * e * sono tutte indipendenti.

17 Considerazioni sulla variazione della lagrangiana la variazione della lagrangiana può essre scritta come la derivata della quantità tra parentesi graffe la variazione della lagrangiana deve essere nulla la quantità tra parentesi graffe deve essere nulla questa quantità può essere interpretata come la divergenza di una corrente q quindi, una corrente che si conserva

18 Questo è un risultato generale che non dipende dai dettagli della particolare trasformazione che abbiamo usato La variazione della Lagrangiana può essere scritta come la derivata della quantità tra parentesi. Sappiamo che la variazione deve essere 0. Quindi la quantità tra parentesi si comporta come una corrente conservata, cioe la sua quadridivergenza è 0. indipendente dai parametri della trasformazione indipendente dai parametri della trasformazione

19 conservazione locale di carica Se scambiamo *, S cambia segno. Una teoria relativistica ha particelle con la stessa massa ma carica opposta: le antiparticelle. Se rappresenta u u u una particella di carica e, * r rappresenta lantiparticella di carica –e, allora S è interpretato come una densità di corrente di carica. Lequazione S = 0 d d d dice che il cambiamento della densità di carica S0(x) in una regione è uguale al flusso di corrente S (x) fuori dalla ragione. Quindi la carica si conserva localmente, e può essere usata per etichettare gli stati Niente di quello che abbiamo fatto ci dice che la carica deve essere necessariamente una carica elettrica. Vedremo le particelle hanno molte cariche, alcune delle quali possono essere messe in relazione a conservazione di corrente

20 trasformazioni di gauge Trasformazione di gauge di prima specie o trasformazione di gauge globale Se il parametro che descrive la trasformazione dipendesse dallo spazio x,y,z o dal tempo t, allora la trasformazione di gauge sarebbe di seconda specie o locale Trasformazione di gauge è un nome storico. Sarebbe molto più comprensible usare le espressioni trasformazioni locali o globali di fase ed invarianza di fase. const. const.

21 Il teorema di Noether Lequazione è molto generale. E un esempio di una proprietà basilare delle teorie quantistiche di campo: e cioè che se un sistema è invariante per una certa trasformazione questo porta necessariamente alla conservazione di qualche quantità fisica. teorema di Noether In un sistema descritto da una Lagrangiana, una qualsiasi trasformazione continua che lasci invariata lazione, porta necessariamente ad una corrente conservata S, con S = 0. E sempre possibile definire una carica che si conserva

22 invarianze e conservazione invarianza per rotazione conservazione momento angolare invarianza per traslazione conservazione momento (quantità di moto) invarianza per traslazione temporale conservazione energia

23 I mesoni K K 1 e K 2 sono come 1 e 2 K 0 e anti K 0 sono come e * La carica è la stranezza I K neutri sono un esempio pratico del sistema descritto Per i K, la conservazione della carica, cioè della stranezza, è rotta da una doppia interazione debole che trasforma K 0 in anti-K 0 e introduce una piccola degenerazione di livello: la differenza di massa tra K 1 e K 2

24 Anomalie e MODELLO STANDARD Lanalisi presentata è di tipo classico. Una simile analisi potrebbe essere fatta in teoria quantistica, generalmente con gli stessi risultati. Correzioni quantistiche radiative di ordine più elevato possono dare risultati diversi da 0 nella S, anche quando il risultato classico darebbe 0. Questi termini sono chiamati anomalie. Richiedere che le equazioni non contengano anomalie è una guida importante nel determinare la struttura della teoria, in particolare perché qualche volta le anomalie scompaiono se il modello ha certe simmetrie. Questo è quello che succede con il MODELLO STANDARD

25 Il campo mesonico di Youkawa: predizione del mesone (1935) sorgente interazione Introduciamo sorgente e interazione di un campo la Lagrangiana di interazione viene aggiunta alla lagrangiana del campo libero Lequazione delle onde diventa sorgente di Analogia con e.m.: sorgente di che consegue dall eq. di Euler Lagrange

26 Esempio semplice: una sorgente puntiforme, di forza g, nellorigine,indipendente dal tempo Risolveremo il problema con il metodo della trasformazione di Fourier. é indipendente dal tempo

27 Il campo mesonico di Youkawa: la predizione del mesone.(2) Trasformata di Fourier Trasformata inversa Si ricava tenendo conto che Sostituendo si ottiene Sostituendo si ottiene: Osservazione : se avessimo una sorgente dipendente dal tempo, il denominatore sarebbe: e apparirebbe come un propagatore, se una particella è scambiata in una interazione ottenendo infine

28 Valutiamo lintegrale. Poniamo: Questo integrale può essere calcolato, ottenendo Yukawa : è un campo mesonico che ha il nucleone come sorgente. Gli effetti del campo sono trasmessi da particelle (mesoni). Se le particelle hanno massa m, il campo ha un raggio dazione come si vede da questa equazione Youkawa interpretava come il campo mesonico del nucleone. nucleone. Il nucleone aveva una carica forte; il mesone, massa m,trasmetteva il campo. Il raggio dazione della forza forte è r~1/m Il campo mesonico di Youkawa

29 Linterazione di Youkawa Un nucleone interagisce con un altro nucleone sentendo il suo campo mesonico Hamiltoniana di interazione tra due nucleoni, il secondo descritto da Utilizziamo lespressione Lhaniltoniana di interazione possiamo scrivere iI potenziale Notare il ruolo della massa. Se la massa =0, questo diventa il potenziale elettrostatico Questo risultato ci porta alla interpretazione generale che in una teoria quantistica dei campi tutte le interazioni sono dovute a scambi di particelle. Le parole forza ed interazione sono intercambiabili. Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli elementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti Interazione nello spazio delle posizioni. Generalmente gli elementi di matrice sono dati nello spazio dei momenti. In generale la quantità che rappresenta la particella scambiata di massa m nello spazio dei momenti è il propagatore:

30 CONCLUDENDO Per nuclear forces con range ~ cm, l ipotesi di Youkawa predice un quanto spinless con una massa ~ 100MeV

31 Cosmic rays and nuclear emulsion Le emulsioni nucleari consistono essenzialmente in piccoli microcristalli di bromide dargento, sospesi in gelatina specialmente sensibilizzata (emulsione). Una particella carica ionizzante lascia una immagine latente nei cristalli che attraversa. Le lastre di emulsione vengono sviluppate e le tracce appaiono come una sequenza di granini dargento anneriti. mass GeV mean-life s mass GeV mean-life s 0 0,135 8, ,135 8, ,140 2, ,140 2, ,105 2, ,105 2, Il decadimento del è un processo a due corpi. Il ha la stessa energia cinetica (4,1 MeV), e quindi ~lo stessorange (600 m) nella emulsione. Il decadimento del è un processo a tre corpi, ed infatti lélettrone ha uno spettro di energia continuo. Due parole sui raggi cosmici I pioni sono generati nellatmosfera da collisioni nucleari di protoni cosmici. La vita media del pione è abbastanza breve da far decadere il pione in volo, nella stratosfera. Il pione neutro decade in 2 gamma e dá origine ad una cascata di coppie di elettroni. (La componente softdei raggi cosmici). Il mu vive 2200ns puó arrivare sulla superficie della terra. (la componente hard).

32 L esperimento di Pancini Piccioni Conversi

33 Linterazione di Yukawa leqauazione di KleinGordon e il propagatore sono trattati anche dal Perkins, paragrafi 2.2 e 2.3

34 Sommario delle Lagrangiane Vector field, mass=0 (elettromagnetismo) Real Scalar or Pseudoscalar field Campo reale di massa m e spin=0 Complex scalar or pseudoscalar field of mass m fotone fotone pione pione anti-K 0 K0K0K0K0 K1K1K1K1 K2K2K2K2

35 Le regole di Feynman Abbiamo inserito una corrente: = è la carica elettrica è la carica elettrica Il fattore è tale per cui il termine è un quadrivettore. Un elettrone di quadrimomento p emette un fotone e rincula con un quadrimomento p Interazione elettromagnetica

36 REGOLE DI FEYNMAN Scrivere il fattore appropriato per ogni veritice Mettere il propagatore di ogni linea interna di massa m e quadrimomento k, 1/(k 2 -m 2 ) Moltiplicare per le funzioni donda esterne: u fermione iniziale, anti-u fermione finale, 1 per bosoni scalare ed per i bosoni vettoriali


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