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Automi Cellulari Def. formale di AC e di AC unidimensionale Stati, spazio cellulare e intorni unidimensionali Regole di evoluzione per AC unidimensionali.

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1 Automi Cellulari Def. formale di AC e di AC unidimensionale Stati, spazio cellulare e intorni unidimensionali Regole di evoluzione per AC unidimensionali Esempi Parte II

2 Def. formale di AC Un Automa Cellulare è una quadrupla A = : S m S, con m = # X, è la funzione di transizione locale dellautoma elementare. X è la relazione di vicinanza; S è linsieme finito degli stati dellautoma elementare; E d è linsieme delle celle identificate dai punti a coordinate intere in uno spazio euclideo d-dimensionale;

3 Caratteristiche degli AC In un passo di calcolo la funzione di transizione :S m S viene applicata ad ogni cella (o sito) dellAutoma Cellulare simultaneamente Lo spazio ed il tempo sono discreti Lo spazio è costituito da un insieme di punti a coordinate intere Il tempo si misura in passi di calcolo Inizialmente lAC si trova in uno stato arbitrario

4 Def. formale di AC unidimensionale Un Automa Cellulare unidimensionale è una quadrupla A = E 1 è lo spazio cellulare unidimensionale dellAC S è linsieme finito degli stati dellautoma elementare; X è la relazione di vicinanza unidimensionale; : S m S, con m = # X, è la funzione di transizione locale dellautoma elementare.

5 Def. di AC unidimensionale Crutchfield, 2000 La configurazione s t di un AC unidimensionale, al tempo t, è un array unidimesionale di N celle (o siti) Al tempo t, ogni cella si trova nello stato s t i A={0,1,…,k-1}per i=0,1,…,N-1 cosicché s t A N t i = s t i-r,…, s t i,… s t i+r è il vicinato dell i-esima cella Se N è un numero finito bisogna specificare il comportamento ai margini dellarray. Nel seguito considereremo condizioni periodiche al bordo

6 Ancora sulla def. di AC unidimensionale La lista di tutti i possibili vicinati con i corrispondenti nuovi stati per la cella centrale è chiamata tabella di aggiornamento dellAC Loperatore di aggiornamento globale : A N ->A N applica in parallelo a tutti i vicinati dellarray unidimensionale è la funzione di transizione (aggiornamento) locale: S t+1 i = ( t i )

7 Lo spazio cellulare unidimensionale Sito 0Sito 1 Sito N-1 Spazio cellulare di N celle (o siti) Spazio cellulare di N celle con condizioni periodiche al bordo Sito N-1 Sito 0 Sito 1

8 Gli stati delle celle Consideriamo, per il momento, AC unidimensionali in cui ogni cella può assumere o lo stato 0 o lo stato 1 Disegniamo in bianco gli stati 0 e in blu gli stati 1 10111100110 Chiamiamo k il numero di stati che può assumere una cella; nel nostro caso abbiamo: K=2

9 Intorni Il vicinato viene spesso chiamato intorno Consideriamo, per il momento, intorni formati dalla cella centrale, dalla vicina di sinistra e da quella di destra Chiamiamo d il numero di celle dellintorno; nel nostro caso: d=3 Chiamiamo r il raggio dellintorno; nel nostro caso: r=1

10 Esempio di Intorno r=1 (d=3) 10111100110 Cella Centrale Vicina Destra Vicina Sinistra Intorno r=1 (d=3) Possiamo allora scrivere la relazione di vicinanza: X = [-1, 0, 1] Cioè, fissato un sistema di riferimento con origine nella cella centrale, il vicinato sarà composto dalla vicina sinistra (posizione –1 rispetto alla cella centrale), dalla cella centrale stessa (posizione 0) e dalla vicina destra (posizione 1 rispetto alla cella centrale)

11 Sistema numerico binario Il sistema numerico decimale utilizza solo i simboli 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 per rappresentare i numeri Il sistema numerico binario utilizza solo i simboli 0 e 1 Il numero binario 101 equivale al numero decimale 5 Il numero binario 1111 equivale al numero decimale 15 Il numero decimale 23 equivale al numero binario 10111

12 Cambiamento di base: decimale -> binario Si utilizza l algoritmo di divisione euclidea Sia n un numero decimale: Si divide n per 2 e si considera il resto r Se il quoziente q è diverso da 0 si pone n=r e si ritorna al punto precedente Se il quoziente è 0 ci si ferma Il numero binario n 2 corrispondente al numero decimale n è il numero composto dai resti delle divisioni presi al contrario

13 Esempio decimale -> binario Prendiamo n = 25 25 = 12 * 2 + 1(q = 12 0; r = 1) 12 = 6 * 2 + 0(q = 6 0; r = 0) 6 = 3 * 2 + 0(q = 3 0; r = 0) 3 = 1 * 2 + 1(q = 1 0; r = 1) 1 = 0 * 2 + 1(q = 0; r = 1) Dunque: 25 2 = 11001

14 Cambiamento di base: binario -> decimale Se consideriamo il numero n = 12569 diciamo che la cifra 9 occupa la posizione 0, la cifra 6 la posizione 1,…, la cifra 1 la posizione 4 Lo stesso vale per i numeri binari; se n 2 =1110001 diciamo che 1 è nella posizione 0, 0 è nella posizione 1, e così via Per convertire un numero binario n 2 nel numero decimale n si sommano le cifre di n 2 ognuna moltiplicata per 2 elevato alla posizione della cifra

15 Esempio binario -> decimale Prendiamo n 2 = 11001 Osserviamo che la cifra più a sinistra occupa la posizione 0, la penultima cifra la posizione 1 e così via Avremo dunque: n = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 8 + 1 = 25

16 Regole di evoluzione per AC a stati discreti Nel caso di AC a stati discreti la funzione di transizione si può esprimere tramite una tabella Supponiamo che il nostro AC abbia k=2 ed r=1 (ECA Elementary Cellular Automata); tutti i possibili intorni saranno i seguenti: 001000010101 010101011111

17 Osservazione sugli intorni 000 10 = 0(Intorno 0) 000 010 10 = 2(Intorno 2) 010 100 10 = 4(Intorno 4) 010 110 10 = 6(Intorno 6) 011 111 10 = 7(Intorno 7) 111 001 10 = 1(Intorno 1) 010 011 10 = 3(Intorno 3) 101 101 10 = 5(Intorno 5) 101

18 Esempio di funzione (o regola) di transizione La regola di transizione può, allora, essere pensata come una tabella che fornisce il nuovo stato della cella centrale a partire dagli stati del vicinato 111 0 Intorno 7 011 0 Intorno 6 101 1 Intorno 5 010 1 Intorno 4 101 0 Intorno 3 010 1 Intorno 2 010 1 Intorno 1 000 0 Intorno 0

19 Spazio delle regole di un AC unidimensionale k=2, r=1 Le regole di transizione, come nellesempio precedente, sono stringhe di 8 bit (essendo 8 gli intorni distinti) Esse rappresentano numeri binari. Ad esempio: 00110110 10 = 54 Con 8 bit si possono rappresentare i numeri binari da 00000000 10 = 0 a 11111111 10 =255 Esistono, dunque, 256 regole di transizione per AC unidimensionali k=2, r=1

20 Ricapitoliamo In un AC unidimensionale k=2, r=1 (d=3) esistono: k d = 2 3 = 8 intorni distinti (K d ) d = (2 3 ) 3 = (8) 3 = 256 regole di transizione Questo vuol dire che se consideriamo un AC con k=3 ed r=2 (d=5) avremo: 3 5 = 243 intorni distinti (3 5 ) 5 = (243) 3 = 14.348.907 regole di transizione

21 Applicazione della regola 00110110 10 = 54 10111100110100111001 Step 0: 01000011001111000110 Step 1: 11110000110000101001 Step 2: 00011111001010111110 Step 3: 00100000111101000001 Step 4:

22 Evoluzione spazio temporale Asse dello spazio Asse del tempo O LAC evolve nel tempo attraverso lapplicazione ripetuta della regola di transizione

23 Simulazione 1 Simulazione 1: regola 00110110 10 = 54 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

24 Simulazione 2 Simulazione 2: regola 10010110 10 = 150 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

25 Simulazione 3 Simulazione 3: regola 01111000 10 = 120 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

26 Simulazione 4 Simulazione 4: regola 01011010 10 = 90 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

27 Simulazione 5 Simulazione 5: regola 10001100 10 = 140 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

28 Simulazione 6 Simulazione 6: regola 00111110 10 = 62 200 celle configurazione iniziale casuale al 50% 200 step

29 Classificazione di Wolfram Wolfram ha classificato gli AC unidimensionali in base al loro comportamento dinamico Classe 1 Levoluzione porta ad uno stato omogeneo Classe 2 Levoluzione genera strutture stabili semplici e separate o strutture periodiche Classe 3 Levoluzione genera configurazioni caotiche Classe 4 Levoluzione genera strutture complesse localizzate, spesso durevoli nel tempo Reference: S. Wolfram, Universality And Complexity in Cellular Automata, Physica D, 10 (January 1984) 135, reperibile allindirizzo www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca


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