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I SISTEMI DI PRIMO GRADO. ANALIZZIAMO LA SEGUENTE SITUAZIONE PROBLEMATICA Sei di loro hanno preso la pizza margherita gli altri la pizza al prosciutto.

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Presentazione sul tema: "I SISTEMI DI PRIMO GRADO. ANALIZZIAMO LA SEGUENTE SITUAZIONE PROBLEMATICA Sei di loro hanno preso la pizza margherita gli altri la pizza al prosciutto."— Transcript della presentazione:

1 I SISTEMI DI PRIMO GRADO

2 ANALIZZIAMO LA SEGUENTE SITUAZIONE PROBLEMATICA Sei di loro hanno preso la pizza margherita gli altri la pizza al prosciutto. Quanto costano le diverse pizze? Un gruppo di 15 amici al ristorante pagano per le pizze che hanno ordinato 78

3 IMPOSTAZIONE PROBLEMA Per risolvere il problema posso scrivere lequazione in due incognite (x e y) 6x+9y=78 è una proposizione aperta verificata da molte coppie: S={(13,0),(10,2),…}

4 Ad esempio al tavolo vicino sei amici hanno ordinato le stesse pizze 5 margherite e una al prosciutto pagando 26. Si può impostare lequazione in due incognite (x e y) 5x+y=26 Proposizione aperta verificata da diverse coppie: S={(1,21),(3,11),…} Posso ricercare se esiste una coppia soluzione della prima e della seconda equazione collegando tra loro le equazioni Ottenendo un sistema di primo grado Costituito da due equazioni in due incognite Occorre unaltra informazione.

5 I SISTEMI DI PRIMO GRADO I SISTEMI DI PRIMO GRADO TEORIA METODI DI RISOLUZIONE MAPPA

6 I SISTEMI TEORIA METODI DI RISOLUZIONE RISOLUZIONE DEI PROBLEMI EQUAZIONI COME FUNZIONI EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA INSIEME DELLE SOLUZIONI Sistema determinato Sistema indeterminato Sistema impossibile Confronto Sostituzione Riduzione Cramer SchemaMAPPA

7 TEORIA Un equazione in due incognite (x e y) come 5x+y=26 è una proposizione aperta verificata da uninfinità di coppie: S={(5,1),(6,-4),…} Le equazioni come funzioni Le equazioni in geometria analitica Insieme delle soluzioni

8 EQUAZIONI COME FUNZIONI … … y = 2x-3 y = 2x-3 x 2x-32x … x … f(x)=2x-3

9 EQUAZIONI IN GEOMETRIA ANALITICA puntoretta coppia di realiequazione la coppia (a,b) verifica lequazione 2x-3=y il punto P(a,b) alla retta di equazione 2x-3=y

10 INSIEME DELLE SOLUZIONI Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono. Linsieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito dallintersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione. A seconda del suo insieme soluzione un sistema può essere:

11

12 Sistema determinato

13 Sistema indeterminato

14 METODI DI RISOLUZIONE Elenco dei metodi di risoluzione: Metodo del confronto Metodo di sostituzione Metodo di riduzione Metodo di Cramer Metodo grafico

15 Con un esempio vediamo il metodo del confronto, analizzando il sistema: Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio: Lincognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e potremo quindi scrivere: e risolverla come unequazione in una incognita. Il valore di y trovato verrà sostituito in una delle due equazioni. Basterà una semplice operazione per trovare poi il valore di x. Metodo del confronto

16 Metodo di sostituzione Con un esempio spieghiamo il metodo di sostituzione analizzando il sistema: Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due variabili, x ad esempio: Scrivendo nellaltra equazione al posto di y lespressione prima calcolata, svolgeremo lequazione in x. Una volta calcolato il valore di x sostituiremo di nuovo il suddetto valore nellequazione esplicitata in y.

17 Metodo di riduzione Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il seguente sistema: In questo sistema lincognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad unequazione in y. Moltiplicando per -5 lequazione in y (per ottenere il monomio +5y, opposto a quello dellaltra equazione) applicheremo lo stesso metodo e avremo unequazione in x. Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle incognite in questo sistema.

18 Metodo di Cramer Questo non è un modo di risoluzione ma un modo schematico di rappresentare le soluzioni. Questo metodo utilizza il principio di riduzione, ma per capirlo analizziamo lesempio: Applichiamo quindi il metodo di riduzione; se vogliamo eliminare x moltiplichiamo la prima equazione per a e la seconda per a. Otterremo il sistema: Utilizzando il metodo di riduzione avremo lequazione: continua…

19 Ripetiamo loperazione per eliminare y trovando la seconda equazione: Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente modo: e quindi Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice: E con questo ricaviamo il : (La linea indica la moltiplicazione) Poi cerchiamo il sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli della prima colonna) con i termini noti dellequazione:

20 Ora per faremo la stessa cosa sostituendo però ai coefficienti di y (seconda colonna) con i termini noti e lasciando quelli di x nella prima colonna: Avremo quindi: Bisognerà poi discutere sul valore del per poter dar la soluzione.

21 Schema DETERMINATOINDETERMINATO Rette incidentiRette corrispondenti IMPOSSIBILE Rette parallele (Cliccando su una delle tre possibilità la si può visualizzare graficamente)

22 Sistemi lavoro.ESEMPIO NUMERICO - Foglio1!A1ESEMPIO NUMERICO

23 FINE!


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