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Progetto DiGi Scuola Polinomi … che rompicapo scomporli!!! Realizzato da: Prof.ssa Giuseppina Lippiello.

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1 Progetto DiGi Scuola Polinomi … che rompicapo scomporli!!! Realizzato da: Prof.ssa Giuseppina Lippiello

2 Percorso formativo Introduzione Lalgebra e la sua origineLalgebra e la sua origine Prodotti notevoli Triangolo di Tartaglia Scomposizione di un polinomio in fattoriScomposizione di un polinomio in fattori

3 Introduzione Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: Obiettivi generali del progetto DiGi ScuolaObiettivi generali del progetto DiGi Scuola Obiettivi specifici del moduloObiettivi specifici del modulo START

4 Introduzione Obiettivi generali del progetto DiGi Scuola DiGi Scuola è un progetto promosso dal Ministero per le Riforme e l'Innovazione nella Pubblica Amministrazione, in collaborazione con il Ministero della Pubblica Istruzione che si propone di sviluppare ed impiegare Contenuti Didattici Digitali (learning object) a supporto della didattica, al fine di introdurre le nuove tecnologie nel processo formativo e di apprendimento per creare un ponte fra la didattica tradizionale e le nuove generazioni.

5 Introduzione Obiettivi generali del progetto DiGi Scuola Ridurre la dispersione scolastica, migliorando il rendimento degli studenti. Creare un mercato elettronico dei contenuti digitali per la didattica. Promuovere lo sviluppo dell'industria italiana di contenuti didattici digitali di qualità, adottando elevati standard tecnologici e linee guida pedagogico-didattiche. Introdurre metodologie didattiche innovative al servizio dei docenti, prevedendo piani di formazione.

6 Introduzione Obiettivi specifici del modulo Lidea del progetto Polinomi … che rompicapo scomporli!!! deriva dal fatto che le operazioni di scomposizione di un polinomio in fattori sono la "bestia nera" degli studenti poiché fattorizzare un polinomio può non sempre risultare immediato. Il progetto vuole essere uno strumento per interessare e coinvolgere gli allievi in un percorso di apprendimento facilitato dalle tecnologie utilizzate dagli studenti stessi come accesso a fonti di studio al fine di diventare essi stessi protagonisti del processo di evoluzione del mondo scolastico.

7 Cononoscere i prodotti notevoli Conoscere le varie tecniche di scomposizione di un polinomio Introduzione Obiettivi specifici del modulo SAPERE Misurabile con prove pratiche Sapere operare con i prodotti notevoli Sapere scomporre un polinomio utilizzando il metodo appropriato SAPER FARE Misurabile con prove teoriche

8 Introduzione Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: Obiettivi generali del progetto DiGi Scuola Obiettivi specifici del modulo END

9 Lalgebra e la sua origine Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: Il termine algebra Gli albori dellalgebra Il padre dellalgebra Ulteriori sviluppi dellalgebraUlteriori sviluppi dellalgebra START

10 Lalgebra e la sua origine Il termine algebra La parola Algebra viene dall'arabo al-jabr che, tradotto in latino, diventa restauratio ovvero ristabilimento dell'equilibrio (di un'equazione quando si porta un termine da un membro all'altro, appunto cambiando segno). الجبر

11 Lalgebra e la sua origine Il termine algebra In Spagna, durante la dominazione araba, quasi tutte le botteghe di barbiere, nella loro insegna, recavano la scritta al-jabr. Il motivo non era quello che i barbieri fossero tutti laureati in Matematica (in Algebra) ma, ovviamente, un altro.

12 Lalgebra e la sua origine Il termine algebra In Spagna, durante la dominazione araba, i barbieri fornivano anche le prime prestazioni medico - infermieristiche. Si occupavano quindi della restauratio, ma del corpo umano …

13 Lalgebra e la sua origine Il termine algebra … in altre parole, i barbieri facevano anche gli aggiusta – ossa. Da qui, la loro insegna algebrica.

14 Lalgebra e la sua origine Il termine algebra Non è certo facile dare una definizione generale di algebra. In un primo significato lalgebra può essere vista come una generalizzazione dellaritmetica, nata dalla necessità di rendere generali i procedimenti da eseguire.

15 Lalgebra e la sua origine Il termine algebra Nel corso dei secoli sono state ledefinizioni più diverse di algebra: Al-Karaji (X-XI sec): determinazione di incognite a partire da premesse conosciute. As-Samawal (XII sec): operare su [quantità] incognite per mezzo di tutti gli strumenti aritmetici, come laritmetica sulle (grandezze) note. Omar Khayyam (XI-XII sec): Io dico che lAlgebra è unarte scientifica. Gli oggetti di cui si occupa sono numeri assoluti e grandezze misurabili che, sebbene in sé sconosciute, sono collegate con cose note per cui è possibile la determinazione delle quantità incognite. Matematici indiani: algebra come Vijaganita, titolo di unopera di Bhaskara, che significa scienza di calcolo con le incognite. F. Viète ( ): Unequazione è dunque uneguaglianza (comparatio) tra una grandezza incognita (incerta) e una grandezza nota (certa).

16 Lalgebra e la sua origine Gli albori dellalgebra Il nostro modo di indicare i numeri, di operare con essi e, in generale, di fare i calcoli, non risale agli antichi greci, per quanto abbiano fatto della matematica uno degli ambiti dei loro studi, ma agli arabi, che diffusero le cifre indiane.

17 Lalgebra e la sua origine Gli albori dellalgebra I simboli dellalgebra ed il modo che oggi utilizziamo e che con un po' di allenamento, ci possono apparire ovvi e naturali sono in realtà frutto di un lavoro di rielaborazione per molti secoli.

18 Lalgebra e la sua origine Gli albori dellalgebra I Babilonesi, (II millennio a.C.) che sotto molti aspetti sono considerati i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le procedure risolutive di vari problemi.

19 Lalgebra e la sua origine Gli albori dellalgebra Presso i Greci l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore nel periodo ellenistico (III secolo d. C.), soprattutto a opera di un matematico di Alessandria, Diofanto (243 – 330 d.C), che per primo elaborò un sistema di simboli adatti a rappresentare, mediante segni speciali, la variabile, alcune sue potenze, la sua inversa, qualche operazione.

20 Lalgebra e la sua origine Gli albori dellalgebra Con Diofanto ebbe inizio l'algebra sincopata (dal greco synkopé = tagliare, ridurre ), una specie di stenografia che sta tra il linguaggio naturale e il simbolismo moderno. Essa usa generalmente le parole, intercalando qua e là delle abbreviazioni per rendere più agile e spedito landamento del ragionamento e dei calcoli. Esempio di scrittura algebrica sincopata, dall'Algebra di R Bombelli ( ), pubblicata a Bologna nel 1579

21 Lalgebra e la sua origine Gli albori dellalgebra A questo punto è utile sottolineare che, secondo alcune fonti, lo sviluppo dellgebra passò attraverso diversi stadi: primitivo o retorico in cui non si faceva uso nè di simboli nè di numeri, ma tutto (operazioni, proprietà, relazioni) si esprimeva solo attraverso parole; intermedio o sincopatico in cui si faceva uso di alcune abbreviazioni; simbolico in cui tutto si espimeva per mezzo di simboli.

22 Lalgebra e la sua origine Il padre dellalgebra Il vocabolo algebra deriva dal titolo dellopera più importante scritta dal matematico Mohammed ibn- Musa al-Khowârizmî, vissuto a Bagdad nel IX sec. d.C.: il trattato Al-jabr wa'l muq â balah pervenuto a noi sia in una versione latina (Liber algebrae et almucabola) sia araba.

23 Lalgebra e la sua origine Il padre dellalgebra Nella versione araba del trattato, a differenza di quella latina, compare anche una prefazione in cui al- Khowârizmî loda il profeta Moametto ed il califfo al- Mamun, che fondò a Bagdad una Casa del sapere (Bait al-hikma), nella quale confluirono scienziati e filosofi dalla Siria, dallIran e dalla Mesopotamia, e che lo invitò affidandogli lincarico di comporre una breve opera per mezzo (delle regole) di completamento e riduzione.

24 Lalgebra e la sua origine Il padre dellalgebra La parola al-jabr significaristabilire, ovvero ristabilire lequilibrio in unequazione scrivendo in un suo membro un termine che era stato eliminato dallaltro membro, mentre la parola al muqâbala significasemplificazione, come quando si sommano i termini simili o si sottraggono termini uguali da entrambi i membri dellequazione.

25 Lalgebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dellalgebra Il passaggio dall'algebra sincopata allalgebra simbolica, nella quale il calcolo con i numeri viene sostituito dal calcolo con le lettere, ha richiesto un lungo cammino e il contributo di numerosi matematici.

26 Lalgebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dellalgebra Notevoli passi avanti vennero fatti molti secoli dopo da due matematici italiani, Luca Pacioli (XV secolo) e Raffaele Bombelli (XVI secolo). Questo cammino si concluse nella seconda metà del Cinquecento con il francese Francois Viète. Ritratto di Francois Viète

27 Lalgebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dellalgebra Viète ebbe per primo l'intuizione di "operazione astratta", ne codificò la notazione simbolica e arrivò a formulare il cosiddetto calcolo letterale attuale.

28 Lalgebra e la sua origine Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: END Il termine algebra Gli albori dellalgebra Il padre dellalgebra Ulteriori sviluppi dellalgebra

29 Prodotti notevoli Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: Quadrato di un binomio Quadrato di un polinomio Somma per differenza Cubo di un binomio Altri prodotti notevoli START

30 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio Laggetivo notevole deriva dal verbo notare che, tra laltro significa: mettersi in mostra, richiamare su di sè lattenzione. Generalmente viene attribuito ad una cosa degna di nota come lo sono i prodotti notevoli. Perché notevoli?

31 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: significato algebrico (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 = = a 2 +2ab+b 2 (a+b) 2 =

32 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: la regola Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: il quadrato del 1° monomio il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° il quadrato del 2° monomio (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2

33 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: significato geometrico (a + b)(a + b) 2 ab a2a2 b2b2 abab abab (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

34 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: esempi (2a+b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(+b)+(+b) 2 = 4a 2 + 4ab + b 2 (2a - b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(-b)+(-b) 2 = 4a 2 - 4ab + b 2 (3a+2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(+2b) + (+2b) 2 = 9a 2 +12ab+4b 2 (3a -2b) 2 = (3a) 2 + 2(3a)(-2b) +(-2b) 2 = 9a 2 -12ab+4b 2 (-3a -2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(-2b)+(-2b) 2 = 9a 2 +12ab+4b 2 (-3a+2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(+2b)+(+2b) 2 = 9a 2 -2ab+4b 2

35 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: approfondimenti Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sullimmagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

36 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: esercizi Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

37 Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: significato algebrico (a+b+c) 2 = = (a+b+c) (a+b+c) = = a 2 + ab + ac + ab + b 2 + bc + ac +bc + c 2 = = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2bc (a+b+c) 2 =

38 Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: la regola Il quadrato di un polinomio di numeri qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: il quadrato di tutti i termini il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc

39 Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: significato geometrico (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)2(a+b+c)2 (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc abc abab a2a2 b2b2 abab c2c2 acac acac bcbc bcbc

40 Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: esempi (2a + b + 3c) 2 = (2a) 2 +(+b) 2 +(+3c) 2 +2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a 2 + b 2 + 9c 2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c) 2 = = (2a) 2 +(-b) 2 +(-c) 2 +2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a 2 + b 2 + c 2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c ) 2 = =(-3a) 2 +(-2b) 2 +(+c) 2 +2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(- 2b)(+c) = 9a 2 + 4b 2 + c ab - 6ac - 4bc

41 Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: approfondimenti Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sullimmagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

42 Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: esercizi Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

43 Prodotti notevoli Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a 2 - ab + ab - b 2 = = a 2 - b 2 (a+b)(a-b) =

44 Prodotti notevoli Somma per differenza: la regola Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine (a+b) (a-b) = a 2 - b 2

45 Prodotti notevoli Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a) 2 - (b) 2 = 4a 2 - b 2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a) 2 - (5b) 2 = 4a b 2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2 - 4b 2 (4a + b) (- 4a + b) = (b) 2 - (4a) 2 = b a 2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a) 2 - (3b) 2 = 4a 2 - 9b 2

46 Prodotti notevoli Somma per differenza: approfondimenti Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sullimmagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

47 Prodotti notevoli Somma per differenza: esercizi Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

48 Prodotti notevoli Cubo di un binomio: significato algebrico (a+b) 3 = (a+b) 2 (a+b) = (a 2 +2ab+b 2 ) (a+b) = a 3 +a 2 b+2a 2 b+2ab 2 +ab 2 +b 3 = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a+b) 3 =

49 Prodotti notevoli Cubo di un binomio: la regola Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: il cubo del 1° monomio il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° il quadrato del 2° monomio (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

50 Prodotti notevoli Cubo di un binomio: significato geometrico (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

51 Prodotti notevoli Cubo di un binomio: esempi (2a+b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (+b)+3(2a)(+b) 2 +(+b) 3 = = 4a a 2 b + 6ab 2 + b 3 (2a - b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (-b)+3(2a)(-b) 2 +(-b) 3 = = 8a a 2 b + 6ab 2 - b 3 (-3a - 2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (-2b)+3(-3a)(-2b) 2 +(-2b) 3 = = -27a a 2 b - 36ab 2 - b 3 (-3a + 2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (+2b)+3(-3a)(+2b) 2 +(+2b) 3 = -27a a 2 b - 36ab 2 + b 3

52 Prodotti notevoli Cubo di un binomio: approfondimenti Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sullimmagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

53 Prodotti notevoli Cubo di un binomio: esercizi Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

54 Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: somma di cubi – significato algebrico (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) = a 3 -a 2 b+ab 2 +a 2 b-ab 2 +b 3 = = a 3 + b 3 a 3 + b 3 =

55 Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: somma di cubi - la regola Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2 )

56 Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: differenza di cubi - significato algebrico (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3 +a 2 b+ab 2 -a 2 b-ab 2 -b 3 = = a 3 - b 3 a 3 - b 3 =

57 Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: differenza di cubi - la regola Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2 )

58 Prodotti notevoli Somma o differenza di cubi: esempi (2a + b)(4a 2 - 2ab + b 2 ) = (2a) 3 + (b) 3 = 8a 3 +b 3 (2a - b)(4a 2 + 2ab + b 2 ) = (2a) 3 - (b) 3 = 8a 3 - b 3 (3a+2b)(9a 2 - 6ab +4b 2 )=(3a) 3 +(2b) 3 =27a 3 +8b 3 (3a - 2b)(9a 2 + 6ab +4b 2 )=(3a) 3 -(2b) 3 =27a 3 -8b 3

59 Prodotti notevoli Somma o differenza di cubi: approfondimenti Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sullimmagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

60 Prodotti notevoli Somma o differenza di cubi: esercizi Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

61 Prodotti notevoli Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: Quadrato di un binomio Quadrato di un polinomio Somma per differenza Cubo di un binomio Altri prodotti notevoli END

62 Triangolo di Tartaglia Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: Un po di storia Il triangolo Potenza n-esima di binomioPotenza n-esima di binomio START

63 Triangolo di Tartaglia Un po di storia Il triangolo di Tartaglia è stato ideato da Niccolò Fontana, detto il Tartaglia, nato a Brescia nel 1499 e morto a Venezia il 13 Dicembre Il soprannome Tartaglia gli fu dato in seguito a una ferita al volto che a 12 anni gli procurò un'accentuata balbuzie.

64 Triangolo di Tartaglia Un po di storia Tartaglia non ebbe un'infanzia facile: perse il padre a 6 anni e non poté permettersi di andare a scuola poiché la sua famiglia era troppo povera. Praticamente fu autodidatta e andò a una "scuola di scrivere" soltanto per 15 giorni, all'età di 14 anni, per imparare a scrivere l'alfabeto - come racconta nella sua autobiografia - ma la dovette abbandonare, non potendo continuare a pagare il maestro.

65 Triangolo di Tartaglia Un po di storia Scoprì di avere una straordinaria abilità in matematica e si guadagnò da vivere insegnando matematica a Verona e dal 1534 a Venezia. Nel 1560 scrisse il "General trattato di numeri et misure", opera enciclopedica di matematica elementare, dove compare il famoso "triangolo di Tartaglia", applicato a problemi di probabilità.

66 Triangolo di Tartaglia Un po di storia Tartaglia diede anche un importante contributo alla diffusione delle opere dei matematici antichi. Sua è la prima traduzione dal latino in italiano degli Elementi di Euclide.

67 Triangolo di Tartaglia Un po di storia Il triangolo era già stato studiato dal matematico cinese Chia Hsien, nel 1050 circa. Il triangolo fece la sua apparizione in Europa nel 1527, in un libro di aritmetica di Apianus. Secondo alcuni, l'inventore era il cinese Ju-Hsieh.

68 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: lo schema per costruirlo Allinizio e alla fine di ogni riga cè sempre 1. Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 – 1 Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numeri: es. 1+1=2 1+2= 3 2+1= 3 1+3=4 3+3=6 3+1=

69 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: la regola per costruirlo Ogni numero, tranne il numero generatore al vertice del triangolo, è la somma dei due numeri sovrastanti. Ai bordi si trova sempre 1, perché i due numeri sovrastanti sono, in questo caso, da una parte 1 e dall'altra nessun numero, cioè zero

70 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: Triangolo di Pascal Il triangolo di Tartaglia è noto anche come triangolo di Pascal, che ne diffuse la conoscenza. Il triangolo di Pascal ha una disposizione a "triangolo rettangolo", una forma che consente un'analisi migliore di righe e colonne

71 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2. Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente e che la somma dei termini di ogni riga, diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini di tutte le righe che lo precedono.

72 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Per comprendere meglio: sommando i numeri delle righe, si trovano le potenze di 2 1+1= =8; =4; 2 2

73 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Se si sommano i numeri in diagonale, nel modo indicato nella figura, si ottiene la successione di Fibonacci.

74 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra.

75 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Il triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri.

76 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Visualizziamo meglio i numeri dispari

77 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Se il Triangolo è sufficientemente ampio si riescono ad individuare altre configurazioni e il computer può quindi essere molto utile. In questo modo scopriamo che il risultato è una sorprendente serie di triangoli simili. In questo caso i numeri pari sono stati sostituiti da punti neri e i numeri dispari da punti rossi

78 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà E evidenziata la proprietà commutativa dell addizione 1+3= 4 3+1= 4 Il triangolo presenta una simmetria assiale. La simmetria nel colore è perfetta

79 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Nella seconda diagonale si trova la sequenza dei numeri naturali

80 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Multipli di

81 Triangolo di Tartaglia Il triangolo: altre proprietà Se il primo elemento in una riga è un numero primo, tutti i numeri della riga (escluso 1) sono divisibili per esso. Per esempio nella riga 7 ( ) sono tutti divisibili per 7

82 Triangolo di Tartaglia Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola (a+b) 0 =1 (a+b) 1 = a+b (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (a+b) 4 = a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 (a+b) 5 = a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 (a+b) 6 = a 6 +6a 5 b+15a 4 b 2 +20a 3 b 3 +15a 2 b 4 +6ab 5 +b 6 lo sviluppo di (a+b) n contiene sempre n+1 termini i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da a n ad a 0 =1 e gli esponenti della lettera b crescono da b 0 =1 a b n i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema dettoTriangolo di Tartaglia

83 Triangolo di tartaglia Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola ogni riga inizia e termina con 1 ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente (a+b) 0 = 1 (a+b) 1 = 1 1 (a+b) 2 = (a+b) 3 = (a+b) 4 = (a+b) 5 = (a+b) 6 =

84 Triangolo di tartaglia Potenza n-esima di binomio: la regola La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia. In pratica, si procede nel seguente modo: (a+b) n = a n +na n-1 b + … + nab n-1 +b n si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono (da 0 ad n) si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia

85 Triangolo di tartaglia Potenza n-esima di binomio: esempi (a + b) 4 = (a) 4 + 4(a) 3 (+b) + 6(a) 2 (+b) 2 + 4(a)(+b) 3 + (+b) 4 = = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a - b) 4 = (a) 4 + 4(a) 3 (-b) + 6(a) 2 (-b) 2 + 4(a)(-b) 3 +( -b) 4 = = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 - 4ab 3 + b 4 (2a+b) 5 =(2a) 5 +5(2a) 4 (b)+10(2a) 3 (b) 2 +10(2a) 2 (b) 3 +5(2a)(b) 4 +(b) 5 = = 32a 5 +5(16a 4 )(b)+10(8a 3 )(b 2 )+10(4a 2 )(b 3 )+5(2a)(b 4 )+b 5 = = 32a a 4 b + 80a 3 b a 2 b ab 4 + b 5 (3a-2b) 4 = (3a) 4 +4(3a) 3 (-2b)+6(3a) 2 (-2b) 2 +4(3a)(-2b) 3 +(-2b) 4 = = 81a 4 +4(27a 3 )(-2b)+6(9a 2 )(+4b 2 )+4(3a)(-8b 3 )+16b 4 = = 81a a 3 b + 216a 2 b ab 3 +16b 4

86 Triangolo di Tartaglia Potenza n-esima di binomio: approfondimenti Vuoi saperne di più? Bene!!!! Clicca sullimmagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

87 Triangolo di Tartaglia Potenza n-esima di binomio: esercizi Ora esercitati tu!!! Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

88 Triangolo di Tartaglia Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: Un po di storia Il triangolo Potenza n-esima di binomio END

89 Scomposizione di un polinomio in fattori Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica: Raccoglimento a fattore comune Raccoglimento a fattore parziale Scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado Teorema del resto e regola di Ruffini Riepilogo dei vari casi START

90 Scomposizione di un polinomio in fattori In costruzione

91 Scomposizione di un polinomio in fattori Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: END Raccoglimento a fattore comune Raccoglimento a fattore parziale Scomposizione di un particolare trinomio di secondo grado Teorema del resto e regola di Ruffini Riepilogo dei vari casi


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