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1. 2 Per illustrare il concetto di ricorsione ricordiamo un metodo matematico per fare dimostrazioni: linduzione. Mostreremo di seguito alcune dimostrazioni.

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2 2 Per illustrare il concetto di ricorsione ricordiamo un metodo matematico per fare dimostrazioni: linduzione. Mostreremo di seguito alcune dimostrazioni per induzione e i corrispondenti algoritmi ricorsivi.

3 3 DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE La dimostrazione per induzione è una tecnica per provare che un asserto S(n) vale per tutti gli interi n maggiori di un certo limite inferiore. Supposto vero lasserto la dimostrazione consiste in: individuare un caso base, il minimo valore di n, diciamo k, per cui si dimostra lasserto S(k) dimostrare il passo induttivo, cioè che per ogni n k, dove S(k) è la base induttiva, S(n) implica S(n+1) o equivalentemente supposto vero S(n) dimostrare che è vero S(n+1).

4 4 DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE SOMMA DEI PRIMI N INTERI POSITIVI Vogliamo dimostrare che S(n): a) caso base Poniamo N=1 avremo che è quindi dimostrato vero Possiamo scrivere q.e.d. passo induttivo Dobbiamo ora dimostrare che b)

5 5 DEFINIZIONE DI ALGORITMO RICORSIVO Diremo che un algoritmo è ricorsivo se risolve il problema a cui è riferito utilizzando la soluzione dello stesso problema ottenuta ad un livello inferiore cioè in un caso più semplice.

6 6 Una funzione ricorsiva per risolvere un problema per prima cosa deve essere in grado di risolvere i casi più semplici, detti casi-base: in queste situazioni la funzione ricorsiva termina e restituisce una soluzione. Nelle altre situazioni, la funzione ricorsiva, deve poter dividere il problema in sotto problemi simili a quello di partenza e da esso differenti solo per le dimensioni. In tal caso la funzione ricorsiva, richiama una copia di se stessa e riprende la computazione. Questa operazione è detta chiamata ricorsiva della funzione.

7 7 Nel lucido seguente si mostra come opera una funzione ricorsiva in presenza di un problema di cui si conosca la soluzione per almeno un caso semplice (caso base) e la sua trasformazione da una rappresentazione semplice ad unaltra di dimensioni maggiori.

8 8 COME FUNZIONA LA RICORSIVITA problema(p 1,…., p k ) caso base ? NO allora applica problema(p 1,…., p k ) caso base ? NO allora applica problema(p* 1,…., p* k ) caso base ? SI allora applica la soluzione a Applica la soluzione a problema(p 1,…., p k ) caso base ? NO allora applica Applica la soluzione a Dove (p i 1,…., p i k ) sono problemi ridotti del problema precedente

9 9 if i parametri fanno riferimento a un caso base risolvi il problema else usa i valori dei parametri per un problema ridotto CHIAMA LA FUNCTION PER RISOLVERE IL PROBLEMA RIDOTTO Possiamo dire che in questo modo viene applicato il metodo del DIVIDE ET IMPERA In pseudo codice potremmo dire che:

10 10 Un algoritmo iterativo consiste in un unico processo che ripete le stesse identiche operazioni molte volte. Un algoritmo ricorsivo consiste in un numero finito di processi aperti uno dopo laltro e posti in uno stack. Non appena si chiude un processo subito si scende nello stack e si chiude il processo immediatemente seguente e così via di seguito. problema(p 1,….., p k ) problema(p 1, …., p k ) problema(p* 1,…., p* k )

11 11 Per scrivere un algoritmo ricorsivo bisogna soddisfare le seguenti condizioni: 1. Esiste almeno un caso base la cui soluzione è banale 2. Tutti i sottoproblemi devono poter essere risolti in termini di versioni ridotte di uno stesso problema 3. Le azioni applicate per la soluzione di un problema ridotto portano sempre alla soluzione di un problema più grande 4. In funzione di quanto sia grande il problema iniziale deve essere sempre possibile trovare almeno un caso base nel corso della elaborazione del problema originale.

12 12 Riportiamo di seguito una serie di esempi che illustrano luso della ricorsività in maniera adeguata. Iniziamo con una funzione che calcola la somma dei primi N numeri interi positivi. A tal fine si ricordi la dimostrazione per induzione introdotta precedentemente.

13 13 int Sum(int N) { if N=0 Sum =0; else Sum =N+ Sum(N-1); }; Sommatoria dei primi N interi positivi 1. La somma dei primi 0 interi positivi vale La somma dei primi N interi positivi è uguale alla somma dei primi N-1 interi più N. Un processo come quello qui descritto si dice per accumulazione.

14 14 int Sum(int N) { if N=0 Sum =0; else Sum =N+ Sum(N-1); }; Sommatoria dei primi N interi positivi La rappresentazione nello stack del processo ricorsivo è illustrata di seguito. Come si può osservare vengono aperti tanti processi fin quando non si raggiunge il caso base. A questo punto ogni processo viene chiuso inviando il risultato raggiunto al processo che lo precede nello stack. 5+ Sum(4) Sum =15 Sia N=5 4+ Sum(3)3+ Sum(2)2+Sum(1)1+ Sum(0)Sum =1Sum =3Sum =6Sum =10 Inizio del processo Caso base Risultato

15 15 // Somma ricorsiva #include using namespace std; // PROTOTIPI int somma(int,int); // MAIN int main () { int N; cout<<" A partire da 1 fino a che numero vuoi fare la somma? "; cin>>N; cout<<"\n La somma dei primi "<

16 16 Quando si applica un processo ricorsivo bisogna assicurarsi che le variabili riguardanti la ricorsione siano passate per valore mentre le variabili in cui eventualmente si accumulano dati, esempio il numero di passi totale, vanno passate per riferimento.

17 17 Ad esempio se vogliamo mostrare il risultato del calcolo della somma parziale dei primi N interi positivi diciamo ogni M passi è necessario introdurre una variabile che tenga conto delle varie somme parziali e che va chiamata per valore. Di seguito mostriamo il codice.

18 18 // PROTOTIPO void somma(int,int, int&); / / MAIN int main () { int s=0; somma(N,M,s); cout<<"\n La somma dei primi "<

19 19 Un altro esempio di algoritmo ricorsivo è quello che valuta la somma delle potenze di 2 da 0 a N. Di seguito mostriamo prima la dimostrazione per induzione del calcolo e quindi lalgoritmo ricorsivo che ad esso si ispira.

20 20 DIMOSTRAZIONI PER INDUZIONE Vogliamo dimostrare che: caso base Poniamo n=0 avremo che è quindi dimostrato vero SOMMA DI POTENZE DI 2

21 21 Il membro sinistro può essere riscritto come Avendo supposto vero lasserto Sostituiamo b) in a) a) b) passo induttivo Dobbiamo ora dimostrare che c.v.d. Supposto sia vero

22 22 double SumPot(int N) { if (N==0) return 1; else return pow(2,N)+SumPot(N-1); } Algoritmo ricorsivo per calcolare la somma delle potenze di 2 tra 0 e N

23 23 In fig. è mostrato lo stack dei processi aperti nel caso di N=5 Algoritmo ricorsivo: Fare la somma delle potenze di 2 tra 0 e N 16+ Sum Pot (4) Sum Pot =31 8+ Sum Pot (3) 4+ Sum Pot (2) 2+Sum Pot (1) 1+ SumPot(0) Sum Pot =1 Sum Pot =3 Sum Pot =7 Sum Pot = Sum Pot (5) Sum Pot =63 Inizio del processo Caso base Risultato

24 24 In allegato è mostrato un codice che calcola: La somma dei numeri interi tra 1 e N Il valore di 2 N La somma delle potenze di 2 i con 0<=i<=N Allegato: sommaRic

25 ESERCIZI Calcolare con una funzione ricorsiva le seguenti espressioni: a) b)


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