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1 Ricerca Operativa Primi sviluppi : seconda guerra mondiale Dopoguerra: applicazioni civili Standardizzazione Sviluppo del calcolo automatico Campi applicativi:Industria.

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1 1 Ricerca Operativa Primi sviluppi : seconda guerra mondiale Dopoguerra: applicazioni civili Standardizzazione Sviluppo del calcolo automatico Campi applicativi:Industria Trasporti Finanze Etc.

2 2 Definizione secondo Ackoff-Sasieni: La Ricerca Operativa e: 1.lapplicazione del metodo scientifico 2.da parte di gruppi interdisciplinari 3.a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati al fine di fornire soluzioni che meglio servano gli scopi dellorganizzazione nel suo insieme

3 3 Caratteristiche della Ricerca Operativa 1.La R.O. viene applicata alla risoluzione di problemi sul come condurre, organizzare e migliorare le operazioni e le attivita allinterno di una organizzazione 2.Lapproccio utilizzato e quello del metodo scientifico: individuato il problema si costruisce il modello matematico che astrae lessenza dal problema reale 3.La R.O. cerca di risolvere i conflitti fra le varie componenti del sistema visto nel suo insieme: gli obiettivi prefissati devono essere in accordo con tutta lorganizzazione 4.La R.O. non si limita ad individuare una delle possibili soluzioni del problema, ma individua, se possibile, quella ottimale, cioe quella che meglio risponde alle esigenze.

4 4 Esempio Gestione linea metropolitana Variabili: Numero treni, Tempi di attesa Funzione Obiettivo Esigenze diverse Vincoli Ente gestore Utenti

5 5 Fasi di un problema risolto con la Ricerca Operativa Esame della situazione reale Raccolta delle informazioni Formulazione del problema (variabili, funzione obiettivo, relazioni ) Costruzione del modello matematico Soluzione del modello Analisi e verifica delle soluzioni Attuazione

6 6 Problemi economici Ottimizzare Costi Profitti Produzione Gestione Organizzazione Vincoli Organizzativi Logistici Finanziari Produttivi Costi fissi Costi variabili lineari Costi variabili non lineari

7 7 Problemi economici in una sola variabile X = quantita di merce prodotta e/o venduta (x 0) C(X) = Costo totale C u (X) = C(X) / X = Costo unitario R(X) = Ricavo della vendita G(X) = Guadagno o utile netto p u = prezzo unitario di vendita = Costante Funzione della domanda (ricavato da una stima statistica)

8 8 1) Unimpresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di u.m. ed una spesa variabile di 6000 u.m. per ogni unità di prodotto. Il prezzo di vendita è di 8000 u.m. per unità. Determinare e disegnare le funzioni spesa e guadagno mensili in funzione della quantità x prodotta. Quale quantità minima è necessario produrre per non lavorare in perdita? u.m.=unità monetarie PROBLEMI ECONOMICI

9 9 Costi : C(x) = x Guadagno : G(x) = x – Risposta : 1500 R(x) C(x) G(x)

10 10 2) Unimpresa produce un prodotto sostenendo una spesa fissa mensile di u.m., un costo di produzione unitario di 50 u.m., una spesa unitaria di vendita pari alla metà del prodotto venduto. Il prezzo di vendita è di 800 u.m. per prodotto. La quantità massima che può essere prodotta è 1000 unità di prodotto. Determinare e disegnare la funzione guadagno mensile. (Esaminare anche con vincolo sulla produzione x 700)

11 11 Risposta G(x) = -x 2 / x – V(750; )

12 12 3) In un impresa il costo di produzione totale per un dato periodo di tempo e espresso dalla funzione C(x) = x (x = quantita prodotta). Il prezzo di vendita e p(x) = 500 – 0,1x, variabile in funzione della domanda. Il vincolo sulla produzione e x Determinare e disegnare la funzione guadagno. Funzione p(x)

13 13 Risposta G(x) = -0,1x x –

14 14 4) Una ditta ha una capacità produttiva mensile di kg di una merce. Per la produzione sostiene una spesa fissa mensile di u.m. ed un costo di u 1000 per ogni kg prodotto. La domanda della merce ( ossia la quantità di merce richiesta dai consumatori ) è espressa in funzione del prezzo dalla relazione : x(p) = 2400 –0,4p dove x è la quantità richiesta e p è il prezzo al kg. Calcolare la quantità che si deve produrre per ottenere il massimo utile, nellipotesi che tutta la quantità prodotta sia venduta.

15 15 Modello matematico : massimizzare y = - 2,5x x – x 1500 Risposta : x =1000

16 16 5) Per la produzione di un bene un impresa sostiene una spesa fissa di u.m., un costo unitario di 800 u.m. per ogni unità prodotta e una spesa, stimata pari allo 0,5 del quadrato della quantità prodotta, per la manutenzione degli impianti. La capacità produttiva massima mensile è di unità. Determinare per quale quantità il costo unitario di produzione è minimo.

17 17 Modello matematico : minimizzare y = 0,5x /x x Risposta : x =2000 p = 2800

18 18 N. lotti Prezzo al lotto (x1000) Determinare quanti lotti si devono produrre giornalmente per realizzare il massimo utile. 6) Un prodotto è fabbricato e venduto in lotti da 200 pezzi ciascuno. Per la lavorazione si sostiene una spesa fissa giornaliera di u.m ed un costo di u.m. 500 al pezzo, ed il numero massimo di lotti prodotti in un giorno è di 6. Il prezzo di vendita è decrescente al crescere del numero di lotti venduti secondo la seguente tabella

19 19 Caso discreto: dati poco numerosi N°lott i Costo(x1000)Ricavo(x1000)Guadagno(x1000) Risposta : lotti n° 5 Modello matematico: massimizzare y =guadagno 0 x 6 x N

20 20 7) Una ditta produce beni in unità non divisibili (es. abiti) e deve decidere il numero di beni da produrre mensilmente per ottenere lutile massimo. I dati tecnici sono i seguenti : costo unitario per materia prima e lavorazione u.m , spesa fissa mensile u.m , prezzo di vendita p = x (dove x è il numero dei beni). Calcolare quante unità del bene produrre per ottimizzare lutile netto, sapendo che la massima capacità produttiva è unità al mese.

21 21 Modello matematico: massimizzare y = -15x x – x x N Caso discreto: dati molto numerosi V(4.000/3; /3) y(1333)= y(1334)= Risposta : x = 1.333

22 22 8) Una ditta per un servizio di trasporto pratica i seguenti prezzi: u.m. al quintale fino a 50 quintali e u.m. al quintale per ogni quintale eccedente i 50. Indicando con x il numero di quintali determinare lespressione del costo totale in funzione di x.

23 23 y= 3.500xse 0 x x se x 50 Funzione definita a tratti, continua. Sconti quantità. Risposta:

24 24 9) Un commerciante, che ha una capacità di magazzino di 300 kg., può acquistare una merce a u.m. al Kg; se la quantità acquistata supera 100 Kg. egli usufruisce di uno sconto del 20% sulleccedenza. Tenendo conto del fatto che allatto dellacquisto egli deve sostenere un costo fisso di u.m., e che il prezzo unitario di rivendita della merce e dato da p = – 100x, determinare quale quantità deve essere acquistata e venduta per ottenere il massimo guadagno.

25 25 Modello matematico: massimizzare x x x – se 0 x x x – se x 100 y = Funzione definita a tratti, continua, parabole. Risposta : x = 200

26 26 10) Un impresa commerciale acquista della merce e la rivende ai dettaglianti. Il costo della merce e di 300 u.m al Kg.; per acquisti di almeno 30 q. il prezzo e ridotto a 250 u.m. il Kg. La domanda e data dalla funzione x = –10p. Limpresa sostiene settimanalmente una spesa fissa di u.m e puo acquistare al massimo 50 q di merce. Calcolare quanti Kg. di merce si devono acquistare per ottenere il massimo utile nellipotesi che tutta la quantita acquistata sia rivenduta.

27 27 Funzione definita a tratti, non continua, parabole. Risposta : x = Massimizzare -0,1x x – se 0 x ,1x x – se x x y=

28 28 Problema Tipico Oggetti matematici presenti e da approfondire: Equazioni e disequazioni Funzione Funzioni semplici Dominio Continuita Derivate etc. Ulteriori metodi: Statistiche Approssimazione –interpolazione Metodi numerici min – maxf(x) x 0 Vincolo di segno g(x) 0 Vincoli tecnici Modello Matematico f(x) = Costo Costo unitario Ricavo Guadagno Valori di ottimo Metodi semplici (grafici, algebrici) Analisi e derivate f(x) = funzione obiettivo

29 29 Classificazione problemi di scelta rispetto a Numero variabili coinvolte Tipo di variabili (campo di scelta) Numero e tipo dei vincoli Tipo di funzione obiettivo equazione/i disequazione/i lineari non lineari lineari non lineari lineari non lineari continuo (uno o piu intervalli reali) discreto (insieme di valori) a una variabile a due variabili a piu di due variabili

30 30 Problemi di scelta In condizioni di certezza Con effetti immediati Con effetti differiti In condizioni di incertezza Con effetti immediati Con effetti differiti certezza: dati e conseguenze determinabili a priori incertezza: grandezze variabili aleatorie effetti immediati: decisione effetti differiti: decisione realizzazione immediata realizzazione differita

31 31 Altri problemi in condizione di certezza con effetti immediati: scelta fra piu alternative 1) Unazienda deve comprare un macchinario per produrre un certo prodotto. Può scegliere fra 3 macchinari che hanno le seguenti caratteristiche : Costo di produzione giornaliero fissoCosto per ogni unità prodotta Macchinario M u800 u Macchinario M u600 u Macchinario M u500 u La convenienza dipende dal livello di produzione : se 0 x 250 conviene M1 se 250 x 500 conviene M2 se x 500 conviene M3 x=250 e x=500 si dicono valori di indifferenza I prezzi e le durate dei 3 macchinari sono ininfluenti poiché pressoché uguali. Si vuole determinare qualè la macchina che è più conveniente comperare. Le funzioni costo risultano: C1(x) = x C2(x) = x C3(x) = x C1(x) C2(x) C3(x)

32 32 2) Per rifornirsi di una data merce un commerciante può rifornirsi da due produttori : a) lacquisto dal primo comporta una spesa fissa di u ed un costo di 800 u per ogni kg. b) lacquisto dal secondo comporta una spesa fissa di u ed un costo di 900 u al kg. per forniture fino a 250 kg., mentre per forniture superiori il prezzo diminuisce del 20% sulleccedenza. Determinare per quali livelli di acquisto è più conveniente il primo o il secondo produttore. C2(x) = x se 0 x x se x 250 C1(x) = x Il primo produttore è più conveniente per 20 x 537.5, il secondo per x 20 oppure x C1(x) C2(x)

33 33 Problemi di scelta in condizione di certezza con effetti differiti Esempio 1 Si vogliono investire di u.m. e si puo scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni u.m b)ricevere tra 8 anni u.m La scelta b) non comporta alcun dubbio Esempio 2 Si vogliono investire u.m. e si puo scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni u.m b)ricevere tra 3 anni u.m e fra 9 anni altri Problemi tipici: Finanziari (acquisti o vendite di beni economici, etc.) Commerciali (gestione di attivita commerciali, apertura di agenzie, etc.) Industriali (acquisto, noleggio apparecchiature, etc.)

34 34 Criteri utilizzati: Criterio attualizzazione Confronto dei rendimenti economici attualizzati (r.e.a.): valori attuali, allinizio dellattivita, dei costi e ricavi futuri Difetto: criterio soggettivo (scelta del tasso di attualizzazione) Criterio del tasso effettivo di impiego (o tasso interno di rendimento) Calcolo del tasso per cui il valore attuale dei costi e uguale al valore attuale dei ricavi, per ciascun caso Criterio oggettivo Difetto: scadenze comparabili La scelta dipende dallobiettivo: investimento o costo

35 35 Esempio 2 Si vogliono investire di u.m. e si puo scegliere tra: a)ricevere tra 10 anni u.m b)ricevere tra 3 anni u.m e fra 9 anni altri Svolgimento Criterio attualizzazione V a = (1 + i) -10 V b = (1 + i) (1 + i) -9 i = 8% V a = V b = Soluzione: e piu conveniente a) i = 12% V a = V b = Soluzione: e piu conveniente b) Criterio tasso effettivo di impiego a) = (1 + i) -10 Soluzione: i = 9,59% (metodi algebrici di calcolo) b) = (1 + i) (1 + i) -9 Soluzione: i = 9,64% (metodi numerici di calcolo)

36 36 Andamento del r.e.a. in funzione del tasso V( i ) = funzione decrescente del tasso i V(0) i V(i) tasso effettivo dimpiego - C r.e.a. : indice di redditività delloperazione valutata per comparazione tasso effettivo dimpiego : indice di redditività assoluta delloperazione

37 37 Problemi di scelta in condizioni di incertezza con effetti immediati Le conseguenze dipendono da eventi aleatori Matrice dei risultati Distribuzione di probabilita

38 38 Criterio del valor medio 1.Per ogni alternativa 2.Scelta dellalternativa piu conveniente Variabilita Valutazione del rischio 1.Per ogni alternativa 2.Se valori medi uguali A K con K minore 3.Se valori medi diversi calcolo del livello di rischio L K = M(A K ) / n (n = 1, 2,..) Se K L K (n fissato) si confrontano i valori medi e si sceglie il piu conveniente M(A K ) = i a i,k p i K = i [ a i,k - M(A K )] 2 p i

39 39 PROBLEMI IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA CON EFFETTI IMMEDIATI –ESEMPIO Criterio del valor medio Esempio Un azienda deve scegliere fra tre alternative di investimento i cui risultati dipenderanno dal verificarsi o meno di 4 eventi aleatori. Nella tabella sono indicati i guadagni ottenibili, per ogni alternativa, al variare degli eventi (es. : acquisto di merce deperibile oppure vendita come variabile aleatoria). Valutare quale scelta è preferibile, supponendo che agli eventi siano assegnate le probabilità indicate.

40 40 Problemi in condizioni di incertezza con effetti differiti Eventi aleatori Effetti differiti nel tempo Applicazioni: Matematica attuariale

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