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GEOMETRIA PREPARAZIONE ALLA VERIFICA. NOTIZIE STORICHE LA PAROLA GEOMETRIA DERIVA DAL GRECO E SIGNIFICA MISURA DELLA TERRA FURONO TALETE DI MILETO E PITAGORA.

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1 GEOMETRIA PREPARAZIONE ALLA VERIFICA

2 NOTIZIE STORICHE LA PAROLA GEOMETRIA DERIVA DAL GRECO E SIGNIFICA MISURA DELLA TERRA FURONO TALETE DI MILETO E PITAGORA DI SAMO AD INTRODURRE IN GRECIA LE CONOSCENZE GEOMETRICHE DI EGIZIANI E BABILONESI.

3 MA FU EUCLIDE (3° SEC. A.C.), CON LA SUA OPERA ELEMENTI, A COSTITUIRE IL PUNTO DI PARTENZA PER LINSEGNAMENTO ELEMENTARE DELLA GEOMETRIA, CHE ANCORA OGGI VIENE CHIAMATA GEOMETRIA EUCLIDEA. LA GEOMETRIA DIVENTA UNA SCIENZA.

4 CONCETTI ED ENTI PRIMITIVI NON SI POSSONO DEFINIRE CON IDEE PIU ELEMENTARI E SONO ESPRESSI DA PAROLE IL CUI SIGNIFICATO E NOTO A TUTTI. NON ABBIAMO BISOGNO DI DEFINIRLI SONO CONCETTI PRIMITIVI: 1. MOVIMENTO RIGIDO, 2. APPARTENENZA SONO ENTI PRIMITIVI: 1. PUNTO, 2. RETTA, 3. PIANO, 4. SPAZIO

5 PUNTO: lo indico con la letterea maiuscola..A.B.C.D RETTA: è un insieme di punti ed è ottenuta utilizzando il righello. La indico con lettere minuscole. r PIANO: è come un foglio di carta, ma con lunghezza e larghezza indefinite. Lo indico con,,. SPAZIO:è tutto ciò che ci circonda

6 DEFINIZIONI tutti i termini che vengono usati acquistano un ben preciso significato. serviranno per esprimere alcuni concetti, ricorrendo ad altri concetti o enti precedentemente definiti.

7 POSTULATI O ASSIOMI sono affermazioni che esprimono delle proprieta evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. per esempio: per due punti passa una ed una sola retta.

8 RAGIONAMENTO E lelaborazione, fatta dal pensiero, dei dati forniti dallintuizione e dallesperienza.

9 TEOREMI Lo spazio ha delle proprieta che sono meno evidenti e che per essere accettate devono essere dimostrate. Le considerazioni logiche che si devono fare, partendo dai concetti primitivi e postulati introdotti, per arrivare al teorema proposto, sono le dimostrazioni del teorema.

10 COROLLARI Sono le proposizioni che sono conseguenza immediata di un teorema.

11 APPLICAZIONI DELLA LOGICA ALLA GEOMETRIA Si utilizzano in geometria i seguenti principi fondamentali della logica: 1.PRINCIPIO DIDENTITA: Ogni ente e identico a se stesso; 2.PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE: Una proposizione non puo essere contemporaneamente vera e falsa;

12 3. PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO: Una proposizione o e vera o e falsa; 4. PROPRIETA TRANSITIVA DELLIMPLICAZIONE: Se una proposizione ne implica una seconda e questa a sua volta ne implica una terza, allora anche la prima implica la terza. Es. (P1 P2) (P2 P3) (P1 P3)

13 TEOREMI Si puo definire come una implicazione logica tra due predicati detti ipotesi (i) e tesi (t), che deve essere verificata. I T LENUNCIATO Esprime il contenuto dellimplicazione logica da verificare e puo essere vero o falso. LIPOTESI Esprime quello che si suppone essere vero.

14 LA TESI Esprime quello che si deve verificare; LA DIMOSTRAZIONE E il processo deduttivo che porta ad affermare la verita della tesi tutte le volte che si verifica lipotesi.

15 DIMOSTRAZIONE DIRETTA Il ragionamento che dalla verita dellipotesi conduce alla verita della tesi e la dimostrazione e tiene conto dei postulati, dei teoremi precedenti, e della proprieta transitiva dellimplicazione logica.

16 QUANDO UN TEOREMA SI SIMOSTRA SECONDO QUESTO PROCEDIMENTO SI DICE CHE SI E FATTA UNA DIMOSTRAZIONE DIRETTA. Es. un numero naturale divisibile per 6 e divisibile anche per 3. I T I: n è divisibile per 6n N T: n è divisibile per 3 N divisibile per 6 n divisibile per 3

17 DIMOSTRAZIONE DIRETTA DI UN TEOREMA IPOTESIvera RAGIONAMENTI LOGICI TESIvera

18 TEOREMI DERIVATI Data limplicazione I T, che supponiamo vera e che chiamiamo TEOREMA DIRETTO: TEOREMA RECIPROCO O INVERSO (non è sempre vero) T I TEOREMA CONTRARIO T negato I TEOREMA CONTRONOMINALE T negato I negato

19 Se I T e T I sono entrambi vere, allora I T si equivalgono. Se il teorema diretto è vero ed è vero anche il reciproco, allora Ipotesi e Tesi si equivalgono.

20 DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA (METODO INDIRETTO) Vogliamo dimostrare limplicazione I T 1.Supponiamo vera lipotesi I 2.Supponiamo vera la negazione della tesi (si nega la tesi) T negato 3.Dimostro per via diretta che T negato I negato sono vere. Ma avrei I I negato vere entrambi: ciò non è possibile, è un ASSURDO.

21 4.Risultano vere I e I negato: dalla verità di T negato segue la verità di I negato, quindi I non può essere contemporanenamente vera e falsa. 5.E sbagliato aver supposto T negato vera, quindi T è vera. 6.T vera: il teorema è domostrato.

22 DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO DI UN TEOREMA IPOTESII Tvera NEGAZIONE DELLA TESI T negatovera RAGIONAMENTI LOGICI T negato I negato=I I negato ASSURDO (per il principio di non contraddizione) NEGAZIONE T negato falsa TESITvera

23 TEOREMI DERIVATI DATO IL TEOREMA VERIFICATO I T DETTO TEOREMA DIRETTO, SI POSSONO RICAVARE ALTRE TRE IMPLICAZIONI: 1.TEOREMA RECIPROCO O INVERSO: T I; 2.TEOREMA CONTRONOMINALE: non T I; 3.TEOREMA CONTRARIO: non I non T

24 TEOREMA RECIPROCO O INVERSO IL TEOREMA RECIPROCO NON E SEMPRE VERO. Es. 1.se x è un angolo ottuso, allora è maggiore della metà di un angolo retto; (non è vero) 2.Se x è un angolo maggiore di un angolo retto allora il doppio di x è maggiore di un angolo piatto. (vero)

25 COIMPLICAZIONE LOGICA QUANDO UN TEOREMA I T È VERO ANCHE LINVERSO, T I, SI HA LA COIMPLICAZIONE LOGICA I T E I DUE PREDICATI (I) E (T) SI DICONO EQUIVALENTI.

26 TEOREMA CONTRONOMINALE E SEMPRE VERO, QUINDI E VERO ANCHE IL TEOREMA DIRETTO. LA PRIMA LEGGE DELLE INVERSE: SE UN TEOREMA E VERO, ALLORA E VERO ANCHE IL SUO CONTRONOMINALE E VICEVERSA.

27 TEOREMA CONTRARIO NON E SEMPRE VERO. DATO IL TEOREMA CONTRARIO I T LIMPLICAZIONE non I non T, E VERA SOLO SE, E SOLO SE, E VERO IL TEOREMA I T, CIOE IL TEOREMA INVERSO DEL TEOREMA DATO.

28 SECONDA LEGGE DELLE INVERSE SE SONO VERI I TEOREMI: I T, I1 T1,I2 T2, In Tn … SE LE TESI SI ESCLUDONO A VICENDA, ALLORA SONO VALIDI I RECIPROCI TEOREMI: T I, T1 I1, T2 I2, Tn In …

29 NOZIONI FONDAMENTALI DI GEOMETRIA RAZIONALE

30 CONCETTI PRIMITIVI SONO QUELLI DEI QUALI NON SI DA ALCUNA DEFINIZIONE ESSI SONO: PUNTO, RETTA, PIANO E SPAZIO.

31 FIGURA SI DEFINISCE FIGURA UN INSIEME, NON VUOTO, DI PUNTI. ANCHE UN SINGOLO PUNTO COSTIUTUISCE UNA FIGURA GEOMETRICA.

32 LO SPAZIO E LINSIEME DI TUTTI I POSSIBILI PUNTI E SI PUO CONSIDERARE COME LA FIGURA CHE CONTIENE TUTTI I PUNTI E QUINDI TUTTE LE FIGURE.

33 LA LINEA E UN INSIEME DI PUNTI

34 LA RETTA È UNA LINEA TRACCIATA CON LA RIGA E PROLUNGATA INDEFINITAMENTE COL PENSIERO DA UNA PARTE E DALLALTRA.

35 LA SUPERFICIE SI PUO CONSIDERARE COME GENERATA DA UNA LINEA CHE SI MUOVE, MA PRIVA DI SPESSORE.

36 SUPERFICIE PIANA SI PUO IMMAGINARE COME UN FOGLIO ESTESO INDEFINITAMENTE IN TUTTE LE DIREZIONI.

37 POSTULATI FONDAMENTALI SONO PROPOSIZIONI CHE ESPRIMONO PROPRIETA DEGLI ENTI GEOMETRICI CHE SI CHIEDONO DI ACCETTARE PER VERE SENZA DIMOSTRAZIONE (verità evidenti). I PRIMI POSTULATI SONO. 1.LO SPAZIO CONTIENE INFINITI PUNTI, INFINITE RETTE E INFINITI PIANI, 2.UN PIANO CONTIENE INFINITI PUNTI E INFINITE RETTE, 3.UNA RETTA CONTIENE INFINITI PUNTI.

38 POSTULATI DI APPARTENENZA DUE PUNTI DISTINTI APPARTENGONO A UNA E A UNA SOLA RETTA. PER DUE PUNTI DISTINTI PASSA UNA E UNA SOLA RETTA. A r, B r, C r C AB r

39 SE TRE O PIU PUNTI APPARTENGONO A UNA STESSA RETTA SI DICE CHE ESSI SONO ALLINEATI. AB C r

40 TRE PUNTI NON ALLINEATI APPARTENGONO A UNO E A UN SOLO PIANO. PER TRE PUNTI NON ALLINEATI PASSA UNO E UN SOLO PIANO. TRE PUNTI NON ALLINEATI INDIVIDUANO UN PIANO E UNO SOLO. B r AC

41 SE DUE PUNTI DI UNA RETTA APPARTENGONO AD UN PIANO, ALLORA LA RETTA E CONTENUTA O GIACE NEL PIANO. A, B, C, A r, B r, r B r AC

42 IL POSTULATO DORDINE SI PUO STABILIRE UNA RELAZIONE DORDINE TRA I PUNTI DI UNA RETTA, OSSIA SI POSSONO ORDINARE I PUNTI DI UNA RETTA IN MODO CHE: dati due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A; se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva). Quando su una retta è fissato un verso si parla di RETTA ORIENTATA. ABC

43 PROPRIETA PROPRIETA RIFLESSIVA A=A PROPRIETA SIMMETRICA A=B allora B=A PROPRIETA TRANSITIVA Se A=B e B=C allora A=C

44 PROPRIETA DELLA RETTA La RETTA è ILLIMITATA, non esiste ne un primo, ne un ultimo punto BA

45 DEFINIZIONE DI SEMIRETTA DATA UNA RETTA ORIENTATA r E UN SUO PUNTO QUALSIASI O, SI CHIAMA SEMIRETTA DI ORIGINE O LINSIEME COSTITUITO DAL PUNTO O STESSO E DAI PUNTI DI r CHE PRECEDONO O SEGUONO O NEL VERSO FISSATO. semiretta O semiretta

46 IL PUNTO O r E DETERMINA DUE SEMIRETTE, INOLTRE E ORIGINE DI CIASCUNA DI ESSE. LE DUE SEMIRETTE SONO TRA LORO OPPOSTE (HANNO LA STESSA ORIGINE, MA DIREZIONI DIVERSE). LE DUE SEMIRETTE SONO LUNA IL PROLUNGAMENTO DELLALTRA. I PUNTI DI UNA SEMIRETTA DIVERSI DALLORIGINE SI DICONO INTERNI, QUELLI CHE NON LE APPARTENGONO SI DICONO ESTERNI.

47 DEFINIZIONE DI SEGMENTO SI DEFINISCE SEGMENTO DI ESTREMI A E B LINSIEME COSTITUITO DAI PUNTI A E B E DA TUTTI I PUNTI DELLA RETTA AB COMPRESI TRA A E B. AB

48 IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B SI INDICA CON AB; I SUOI PUNTI, DIVERSI DAGLI ESTREMI, SI DICONO PUNTI INTERNI, MENTRE I PUNTI CHE NON APPARTENGONO AL SEGMENTO SI DICONO ESTERNI. SE A E B COINCIDONO (A B) IL SEGMENTO E NULLO.

49 PER DISTANZA TRA A E B SI INTENDE IL SEGMENTO DI ESTREMI A E B. QUANDO UN SEGMENTO AB E SU UNA RETTA ORIENTATA, ANCHE I PUNTI DEL SEGMENTO AB RISULTANO ORDINATI. SI PARLA ALLORA DI SEGMENTO ORIENTATO. SE IL PUNTO A PRECEDE B, IL SEGMENTO SI INDICA CON AB. IL PUNTO A E DETTO ORIGINE, MENTRE B E DETTO ESTREMO. AB

50 DUE SEGMENTI AVENTI IN COMUNE SOLAMENTE UN ESTREMO SI DICONO CONSECUTIVI A B C DUE SEGMENTI CONSECUTIVI (AB E BC) SITUATI SULLA MEDESIMA RETTA SI DICONO ADIACENTI ABC IL SEGMENTO AC, DI CUI B RISULTA PUNTO INTERNO, SI DICE SOMMA DEI DUE SEGMENTI DATI E SI SCRIVE AB+BC = AC

51 LA FIGURA FORMATA DA PIU SEGMENTI CONSECUTIVI SI CHIAMA POLIGONALE O SPEZZATA APERTA. I SEGMENTI SI DICONO LATI DELLA SPEZZATA E I LORO ESTREMI VERTICI.

52 SE A UNA SPEZZATA APERTA SI AGGIUNGE IL SEGMENTO CHE NE CONGIUNGE GLI ESTREMI, SI OTTIENE UNA POLIGONALE O SPEZZATA CHIUSA.

53 SE DUE SEGMENTI NON CONSECUTIVI DI UNA POLIGONALE APERTA O CHIUSA HANNO UN PUNTO IN COMUNE (P PUNTO DI INTERSEZIONE), LA POLIGONALE SI DICE INTRECCIATA. P

54 POSTULATO DI PARTIZIONE DI UN PIANO UNA RETTA r DI UN PIANO DIVIDE IL PIANO IN DUE PARTI (NON VUOTE) IN MODO CHE: 1.SE I PUNTI A E B APPARTENGONO ALLA STESSA PARTE, ALLORA IL SEGMENTO AB E CONTENUTO IN QUESTA PARTE; B A r

55 2.SE I PUNTI C E D APPARTENGONO A PARTI DIVERSE, ALLORA IL SEGMENTO CD HA IN COMUNE CON r UN PUNTO DETTO PUNTO DI INTERSEZIONE TRA RETTA PASSANTE PER C E PER D E LA RETTA r. C r D

56 DEFINIZIONE DI SEMIPIANO SI CHIAMA SEMIPIANO AVENTE PER ORIGINE LA RETTA r, LA FIGURA COSTITUITA DALLA RETTA r E DA CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI TALE RETTA DIVIDE IL PIANO. r

57 I DUE SEMIPIANI DIVERSI AVENTI LA STESSA ORIGINE SI DICONO OPPOSTI. I PUNTI INTERNI A UN SEMIPIANO SONO QUELLI CHE APPARTENGONO AL SEMIPIANO, MA NON ALLA SUA ORIGINE. PER ANDARE DA UN SEMIPIANO AL SUO OPPOSTO SI INTERSECA SEMPRE LA RETTA DI ORGINE r, CHE NON E AGGIRABILE. SI SUOL DIRE CHE LA RETTA E ILLIMITATA. COME CONSEGUENZA DEL POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO SI PUO DIRE CHE: TRA DUE PUNTI QUALSIASI DI UNA RETTA VI SONO INFINITI PUNTI, LA RETTA E DENSA.

58 CONTINUITA DELLA RETTA LA RETTA E UNA LINEA CONTINUA. P r TOGLIENDO IL PUNTO P DALLA RETTA r NON AVREMO PIU UNA LINEA CONTINUA. r

59 POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTE FASCIO DI RETTE LINSIEME DI TUTTE LE RETTE DI UN PIANO CHE PASSANO PER UNO STESSO PUNTO E DETTO FASCIO PROPRIO DI RETTE, IL PUNTO E DETTO CENTRO DEL FASCIO. DUE RETTE DISTINTE O NON HANNO PUNTI IN COMUNE O NE HANNO UNO SOLTANTO.

60 SE DUE RETTE HANNO UN SOLO PUNTO IN COMUNE ESSE SI DICONO INCIDENTI.r DUE RETTE DISTINTE DI UNO STESSO PIANO (COMPLANARI) SI DICONO PARALLELE SE NON HANNO ALCUN PUNTO IN COMUNE. r s s

61 DUE RETTE NON COMPLANARI CHE NON HANNO ALCUN PUNTO IN COMUNE SI DICONO SGHEMBE. r s PERTANTO DUE RETTE COMPLANARI DISTINTE O SONO INCIDENTI O SONO PARALLELE.

62 POSTULATO DI EUCLIDE PER UN PUNTO ESTERNO AD UNA RETTA PASSA UNA ED UNA SOLA RETTA PARALLELA ALLA RETTA DATA. P r

63 IN UN PIANO, LINSIEME DELLE RETTE PARALLELE A UNA RETTA DATA PRENDE IL NOME DI FASCIO DI RETTE PARALLELE O FASCIO IMPROPRIO. LA PROPRIETA COMUNE A TUTTE LE RETTE DI UN FASCIO IMPROPRIO E QUELLA DI AVERE TUTTE LA STESSA DIREZIONE.

64 FIGURA PIANA SI DICE PIANA LA FIGURA SE TUTTI I SUOI PUNTI APPARTENGONO ALLO STESSO PIANO. IN CASO CONTRARIO SI DICE SOLIDA.

65 FIGURE CONVESSE E CONCAVE UNA FIGURA I CUI PUNTI APPARTENGONO TUTTI A UNO STESSO PIANO SI DICE FIGURA PIANA, IN CASO CONTRARIO LA FIGURA E UNA FIGURA SOLIDA.

66 UNA FIGURA SI DICE CONVESSA SE, CONSIDERATI DUE SUOI PUNTI QUALSIASI, IL SEGMENTO CHE LI CONGIUNGE E INTERAMENTE CONTENUTO NELLA FIGURA. A B SE ESISTE ANCHE UNA SOLA COPPIA DI PUNTI PER CUI TALE PROPRIETA NON SI VERIFICA, LA FIGURA E DETTA CONCAVA. A B

67 I SEMIPIANI SONO FIGURE CONVESSE. PIANI, RETTE, SEMIRETTE E SEGMENTI SONO FIGURE CONVESSE.

68 LINEE CURVE UNA LINEA CHE NON SIA UNA LINEA RETTA SI DICE CURVA. UNA CURVA TRACCIATA IN UN PIANO SI DICE CURVA PIANA E IN CASO CONTRARIO SI DICE CURVA SGHEMBA. IL TRATTO DI LINEA COMPRESO TRA DUE PUNTI A E B SI CHIAMA ARCO. UNA CURVA PUO ESSERE CHIUSA O APERTA. OGNI LINEA CHIUSA SI PUO PERCORRERE IN DUE VERSI LUNO OPPOSTO ALLALTRO.

69 ANGOLI SI DEFINISCE ANGOLO CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UN PIANO E DIVISO DA DUE SEMIRETTE DISTINTE CON LORIGINE O IN COMUNE, SEMIRETTE COMPRESE. LE SEMIRETTE a - b SI DICONO LATI DELLANGOLO E NE COSTITUISCONO IL CONTORNO. LORIGINE COMUNE SI DICE VERTICE DELLANGOLO. a O b

70 I PUNTI DI UN ANGOLO CHE NON APPARTENGONO AI LATI SI DICONO INTERNI. GLI ALTRI PUNTI, SEMPRE ESCLUSI I LATI, SI DICONO ESTERNI.

71 DEI DUE ANGOLI FORMATI DALLE SEMIRETTE a E b: SI DICE CONVESSO QUELLO CHE NON CONTIENE AL SUO INTERNO I PROLUNGAMENTI DEI LATI (AôB), CONCAVO QUELLO CHE CONTIENE AL SUO INTERNO I PROLUNGAMENTI DEI LATI.O a O ba b

72 ANGOLO PIATTO DUE SEMIRETTE CHE SIANO IL PROLUNGAMENTO LUNA DELLALTRA DETERMINANO DUE ANGOLI, CIASCUNO DEI QUALI SI DICE ANGOLO PIATTO. b a O

73 ANGOLO GIRO E NULLO LANGOLO GIRO E LUNIONE DI DUE ANGOLI PIATTI E COINCIDE CON TUTTO IL PIANO. o LANGOLO NULLO E LUNIONE DEI PUNTI DI DUE SEMIRETTE SOVRAPPOSTE E SI RIDUCE AD UNA SEMIRETTA.o

74 ANGOLI CONSECUTIVI DUE ANGOLI DI UN PIANO SI DICONO CONSECUTIVI QUANDO HANNO LO STESSO VERTICE ED HANNO IN COMUNE SOLAMENTE I PUNTI DI UN LATO. AôB + BôC = AôC somma dei due angoli dati (angolo somma) C B OA

75 ANGOLI ADIACENTI DUE ANGOLI SI DICONO ADIACENTI QUANDO, OLTRE AD ESSERE CONSECUTIVI, HANNO I LATI NON COMUNI SUL PROLUNGAMENTO LUNO DELLALTRO. LA SOMMA DI DUE ANGOLI ADIACENTI E UN ANGOLO PIATTO. AôB e BôC = angoli adiacenti AôB + BôC = angolo piatto B CA O

76 ANGOLO RETTO LA META DI UN ANGOLO PIATTO E UN ANGOLO RETTO B AôB= /2 A

77 ANGOLO ACUTO UN ANGOLO SI DICE ACUTO QUANDO E MINORE DI UN ANGOLO RETTO. AôB= acuto B A

78 ANGOLO OTTUSO UN ANGOLO SI DICE OTTUSO QUANDO E MAGGIORE DI UN ANGOLO RETTO E MINORE DI UN ANGOLO PIATTO. B AôB= ottuso A

79 PUNTI INTERNI AD UN ANGOLO UN PUNTO CHE APPARTIENE ALLANGOLO MA NON AI SUOI LATI, SI DICE PUNTO INTERNO. B.C.D A TUTTE LE SEMIRETTE DI ORIGINE O COSTITUITE DA PUNTI INTERNI AD UN ANGOLO SI DICONO SEMIRETTE INTERNE.

80 POLIGONI SI DEFINISCE POLIGONO LA FIGURA FORMATA DA UNAPOLIGONALE CHIUSA (NON INTRECCIATA) E DALLA PARTE DI PIANO DA ESSA DELIMITATA. UN POLIGONO SI DICE CONVESSO SE GIACE TUTTO DA UNA STESSA PARTE RISPETTO A CIASCUNA RETTA OTTENUTA PROLUNGANDO ONGUNO DEI LATI.

81 UN POLIGONO SI DICE EQULIATERO SE HA I LATI TUTTI CONGRUENTI TRA LORO SI DICE EQUIANGOLO SE HA GLI ANGOLI TUTTI CONGRUENTI TRA LORO. equilateroequiangolo OSSERVAZIONE: POLIGONO EQUIANGOLO non implica che sia equilatero; POLIGONO EQUILATERO non implica che sia equiangolo.

82 UN POLIGONO SI DECE REGOLARE SE È SIA EQUILATERO CHE EQUIANGOLO. IL SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI DUE VERTICI NON CONSECUTIVI DI UN POLIGONO SI CHIAMA DIAGONALE. SI DEFINISCE CORDA OGNI SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI DUE PUNTI QUALUNQUE DEL CONTORNO DEL POLIGONO NON APPARTENENTI A UNO STESSO LATO.

83 PROPRIETA UN POLIGONO HA SEMPRE UN EGUAL NUMERO DI LATI E DI VERTICI (ANGOLI). In generale, i lati e gli angoli interni di un poligono si chiamano SUOI ELEMENTI.

84 UN POLIGONO E CONCAVO SE IL PROLUNGAMENTO DI UN SUO LATO LO DIVIDE IN DUE PARTI. I LATI E GLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO SI DICONO I SUOI ELEMENTI.

85 TRIANGOLO POLIGONO A TRE LATI, HA SEI ELEMENTI: TRE LATI E TRE ANGOLI. OGNI LATO SI DICE OPPOSTO ALLANGOLO IL CUI VERTICE NON APPARTIENE AL LATO E ADIACENTE AGLI ALTRI DUE ANGOLI. OGNI ANGOLO E OPPOSTO AL LATO CHE NON CONTIENE IL SUO VERTICE ED E ADIACENTE AGLI ALTRI DUE LATI.

86 ANGOLO ESTERNO C ABK - ANGOLI INTERNI AL TRIANGOLO: ABC, BCA, CAB - ANGOLI ESTERNI AL TRIANGOLO: KBC

87 CONGRUENZA TRA FIGURE PIANE DUE FIGURE SI DICONO CONGRUENTI O ISOMETRICHE O SOVRAPPONIBILI, QUANDO E POSSIBILE TRASPORTARE, CON UN MOVIMENTO RIGIDO (IN BASE AL QUALE UNA FIGURA PUO CAMBIARE POSIZIONE SENZA DEFORMARSI) LA PRIMA FIGURA IN MODO CHE COINCIDA CON LA SECONDA. F1 F2

88 PUNTI CORRISPONDENTI OD OMOLOGHI LA CONGRUENZA TRA DUE FIGURE E UNA PARTICOLARE CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I LORO PUNTI. ab +bc de c b a de UGUAGLIANZA: DUE FIGURE SONO UNA MEDESIMA FIGURA. CONGRUENZA: DUE FIGURE SONO SOVRAPPONIBILI.

89 PROPRIETA DELLE CONGRUENZE 1.OGNI FIGURA E CONGRUENTE A SE STESSA: F F (proprietà riflessiva) 2.SE UNA FIGURA E CONGRUENTE A UNALTRA, ANCHE LA SECONDA E CONGRUENTE ALLA PRIMA: F F1, F1 F (proprietà simmetrica) 3.DUE FIGURE CONGRUENTI AD UNA STESSA FIGURA SONO CONGRUENTI FRA LORO: F1 F, F2 F, F1 F2 (proprietà transitiva)

90 PROPOSIZIONI DEDOTTE TUTTE LE RETTE SONO CONGRUENTI FRA LORO. TUTTE LE SEMIRETTE SONO CONGRUENTI FRA LORO. TUTTI I PIANI SONO CONGRUENTI FRA LORO. TUTTI I SEMIPIANI SONO CONGRUENTI FRA LORO. TUTTI GLI ANGOLI PIATTI SONO CONGRUENTI FRA LORO.

91 POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI DATI UNA SEMIRETTA DI ORIGINE O E UN SEGMENTO, ESISTE SULLA SEMIRETTA UN SEGMENTO E UNO SOLO DI ORIGINE O E CONGRUENTE AL SEGMENTO DATO. ABAB CD C A D B

92 CONFRONTO TRA SEGMENTI Confrontare due segmenti significa stabilire se sono congruenti o non lo sono. Nel caso in cui non siano congruenti significa stabilire quale tra i due sia il maggiore. Per confrontarli bisogna operare un movimento rigido in modo che lestremo A coincida con lestremo C e la semiretta A-B coincida con C-D.

93 1° CASO Il 2° estremo B coincide con D, quindi il segmento AB CD ; C A, D B B A 2° CASOCD Lestremo B è un punto interno al segmento CD AB < CDA B C 3° CASO D Lestremo B è esterno al segmento CD AB > CDA B C D

94 LEGGE DI TRICOTOMIA Dati sue segmenti AB e CD, si avrà: 1. AB CD 2.AB < CD 3.AB > CD

95 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO Si chiama punto medio di un segmento un punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti. Si dice che A e B sono SIMMETRICI rispetto a M. AMB AM MB 1/2 AB

96 POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI DATA IN UN PIANO UNA SEMIRETTA, ESISTE UN ANGOLO E UNO SOLO CONGRUENTE A UN ANGOLO DATO, CHE ABBIA UNO DEI LATI COINCIDENTI CON LA SEMIRETTA, IL VERTICE NELLORIGINE DELLA SEMIRETTA E CHE GIACCIA DA UNA PARTE PREFISSATA RISPETTO AD ESSA. b O a c

97 SOMMA E DIFFERENZA DI SEGMENTI SE DUE SEGMENTI AB E BC SONO ADIACENTI, IL SEGMENTO AC COSTITUISCE LA LORO SOMMA: AC= AB+BC SI DICE DIFFERENZA DI DUE SEGMENTI, DI CUI IL PRIMO E MAGGIORE O CONGRUENTE AL SECONDO, IL SEGMENTO CHE ADDIZIONATO AL SECONDO DA PER SOMMA IL PRIMO:

98 PROPRIETA DELLA SOMMA 1.COMMUTATIVA: LA SOMMA DI DUE O PIU SEGMENTI E INDIPENDENTE DALLORDINE DEGLI ADDENDI. 2.ASSOCIATIVA: LA SOMMA DI PIU SEGMENTI NON MUTA SE A PIU ADDENDI SI SOSTITUISCE LA LORO SOMMA. 3.SOMME DI SEGMENTI ORDINATAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI. 4.DIFFERENZE DI SEGMENTI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI.

99 MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UN SEGMENTO SI DEFINISCE MULTIPLO DI UN SEGMENTO A SECONDO IL NUMERO NATURALE n 2, LA SOMMA DI n SEGMENTI CONGRUENTI AD A. A B = 4A A E DETTO SOTTOMULTIPLO DI B SECONDO n.

100 POSTULATO DI DIVISIBILITA DEI SEGMENTI OGNI SEGMENTO E DIVISIBILE IN UN NUMERO n DI PARTI CONGRUENTI.

101 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO SI CHIAMA PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO IL PUNTO, INTERNO AL SEGMENTO, CHE LO DIVIDE IN DUE PARTI CONGRUENTI. B M A A E B SONO SIMMETRICI RISPETTO AD M, QUANDO M E IL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO AB.

102 CONFRONTARE DUE ANGOLI SIGNIFICA STABILIRE SE SONO CONGRUENTI O NON LO SONO. PER CONFRONTARE DUE ANGOLI E, BISOGNA OPERARE UN MOVIMENTO RIGIDO CHE FACCIA SOVRAPPORRE O COINCIDERE I DUE VERTICI E UN LATO (UNO DEI DUE LATI DELLANGOLO).

103 1° CASO Se il lato B coincide con B1 allora 2° CASO Se il lato B è esterno allangolo < B 3° CASO Se il lato B risulta interno allangolo B >

104 LEGGE DI TRICOTOMIA Dati due angoli e, si avrà: 1., 2. <, 3. >,

105 SOMMA E DIFFERENZA DI ANGOLI. SE DUE ANGOLI AôB E BôC SONO CONSECUTIVI, LANGOLO AôC COSTITUISCE LA LORO SOMMA. AôC = AôB + BôC SI DICE DIFFERENZA DI DUE ANGOLI, DI CUI IL PRIMO E MAGGIORE O CONGRUENTE AL SECONDO, LANGOLO CHE ADDIZIONATO AL SECONDO DA PER SOMMA IL PRIMO. C BôC = AôC - AôB O B A

106 SOMME E DIFFERENZE DI ANGOLI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SONO CONGRUENTI. SI CHIAMA BISETTRICE DI UN ANGOLO DI VERTICE O, LA SEMIRETTA DI ORIGINE O, INTERNA ALLANGOLO, CHE DIVIDE LANGOLO IN DUE PARTI CONGRUENTI. AôM MôB 1/2AôB A OM B

107 ANGOLI ESPLEMENTARI DUE ANGOLI SI DICONO ESPLEMENTARI SE HANNO PER SOMMA UN ANGOLO GIRO (360°).

108 ANGOLI SUPPLEMENTARI DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA UN ANGOLO PIATTO (180°) SI DICONO SUPPLEMENTARI. ANGOLI SUPPLEMENTARI DI UNO STESSO ANGOLO SONO CONGRUENTI FRA LORO.

109 ANGOLO RETTO LA META DI UN ANGOLO PIATTO SI DICE ANGOLO RETTO: 1/2 π, π /2

110 ANGOLO ACUTO UN ANGOLO MINORE DI UN ANGOLO RETTO SI DICE ACUTO. UN ANGOLO CONVESSO MAGGIORE DI UN RETTO SI DICE OTTUSO.

111 ANGOLI COMPLEMENTARI DUE ANGOLI LA CUI SOMMA SIA CONGRUENTE A UN ANGOLO RETTO SI DICONO COMPLEMENTARI: π/2 -

112 RETTE PERPENDICOLARI DUE RETTE SI DICONO PERPENDICOLARI (r s) SE, INCONTRANDOSI, FORMANO QUATTRO ANGOLI RETTI.

113 TEOREMA: PROIEZIONE DI UN PUNTO SU UNA RETTA Da un punto appartenente ad una retta o esterno ad essa si può condurre una ed una sola retta perpendicolare a quella data. H= Piede della perpendicolare ad R, condotta dal punto P H= Proiezione ortogonale di P sulla retta R Il segmento P-H si chiama Distanza di P dalla retta R.P RH

114 PROIEZIONE DI UN SEGMENTO SI DICE PROIEZIONE DI UN SEGMENTO SOPRA UNA RETTA IL SEGMENTO CHE HA PER ESTREMI LE PROIEZIONI SULLA RETTA DEGLI ESTREMI DEL SEGMENTO DATO. BBA A B A

115 ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE DUE ANGOLI CONVESSI SI DICONO OPPOSTI AL VERTICE SE I LATI SONO I PROLUNGAMENTI DEI LATI DELLALTRO. s r 1 o r s 1


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