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1 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Il ponte di Wheatstone è utilizzato per la misura di resistenze con elevata precisione;

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1 1 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Il ponte di Wheatstone è utilizzato per la misura di resistenze con elevata precisione; è adeguato per misure di R nellintervallo Strumentazione: Generatore di f.e.m. in corrente continua Tester digitale Cassetta di resistenze variabili tra 0.1 e ,regolabile con 5 manopole 2 resistenze da 200 con tolleranza 1% 1 resistenza da 100 con tolleranza 1% 1 resistenza da 20 con tolleranza 1% 2 resistenze di valore nominale 120 5% e 18 5% k di cui si deve determinare il valore effettivo Si applicheranno 3 metodi che utilizzano il ponte di Weathstone per la misura di 2 resistenze incognite e si confronteranno i risultati: metodo classico; metodo della doppia pesata; metodo del confronto o di sostituzione

2 2 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Variando opportunamente le resistenze R 1, R 2 e R 0 condizione di ponte bilanciato: quando la corrente nel galvanometro è nulla i G = 0 ovvero V B = V D In tali condizioni: i o = i X i 1 = i 2 V AB = V AD R X i X = R 1 i 1 V BC = V CD R o i o = R 2 i 2 R X = (R 1 /R 2 ) R 0 i2i2 iXiX C ioio i1i1 G RGRG RxRx R2R2 R1R1 RoRo R A B D iGiG i Metodo classico:

3 3 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone R X = (R 1 /R 2 ) R 0 Conviene fissare il rapporto R 1 /R 2 e variare R 0 (cassetta di resistenze) per ricercare la condizione di bilanciamento del ponte. La scelta del valore di R 1 /R 2 è determinata dal valore della resistenza incognita R X, dallintervallo di variabilità di R 0 e dalla sensibilità che si vuole ottenere nella misura Errore relativo e precisione del metodo: ln R X = ln R 1 - lnR 2 + lnR 0 La miglior stima dellerrore relativo su R X è dove P è lerrore sul bilanciamento del ponte che dipende dalla sensibilità del tester

4 4 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Per stimare lerrore P è necessario considerare le equazioni di Kirchoff del circuito quando il sistema e sbilanciato: i 0 = i X + i G Nodo B i = i 1 + i X Nodo A = R 1 i 1 + R i + R 2 i 2 Maglia AHKC 0 = R X i X - R i 1 - R G i G Maglia ABD 0 = R 0 i 0 + R G i G - R 2 i 2 Maglia BCD RoRo G ioio iXiX i1i1 i2i2 RGRG RxRx R2R2 R1R1 R C A B D iGiG i H K i G = (R X R 2 – R 0 R 1 )/A con A = R G R (R 0 +R 1 +R 2 +R X )+ +R G (R 0 +R X )(R 1 +R 2 )+ +R (R 1 +R X )(R 2 +R 0 )+ +R 1 R 2 (R X +R 0 )+R X R 0 (R 1 +R 2 )

5 5 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone i G è massima se A è minimo ovvero se R G = 0 e R = 0 A=R 1 R 2 (R X +R 0 )+R X R 0 (R 1 +R 2 ) Se il ponte è bilanciato: R X = R 1 /R 2 * R 0 A = R 1 R 2 (R 1 /R 2 +1) R 0 + R 1 /R 2 * R 0 2 (R 1 +R 2 )= =R 1 /R 2 * R 0 (R 1 R 2 + R R 1 R 0 + R 2 R 0 ) = R X (R 1 +R 2 )(R 0 +R 2 ) Quindi in condizioni prossime allequilibrio: A = B R X con B = (R 1 +R 2 )(R 0 +R 2 ) e i G = *(R X R 2 – R 0 R 1 )/BR X = R 2 /B – R 0 R 1 /BR X con C = R 0 R 1 / [(R 1 +R 2 )(R 0 +R 2 )] Quindi la sensibilità del metodo è:

6 6 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Nel nostro caso, i 3 metodi sono limitati dalla sensibilità del tester digitale che è 0.1 A per f.s. 200 A. Lerrore su R X nel metodo classico dipende principalmente dalle tolleranze di R 1, R 2 e R 0 Esempio: R X = 100, = 10 V e i G = A e C = 1/4 R X ) = 4 ·10 -6 Se R X è compreso nellintervallo di valori che può assumere la cassetta delle resistenze conviene scegliere R 1 = R 2 per massimizzare la sensibilità del circuito Per misurare resistenze di valore superiore a si scelgono R 1 e R 2 in modo che R 1 /R 2 >1 Si dimostra che la sensibilità è massima quando R X =R 1 =R 2 =R 0 C=1/4 lerrore relativo su R X è R X ) =4R X / (i G ) Minima variazione di R x che produce sbilanciamenti del ponte

7 7 Metodo classico in pratica: si realizza il circuito in figura sostituendo al galvanometro un multimetro digitale adoperato inizialmente in modalità di voltmetro (elevata resistenza di ingresso = 10 M ) cosicché è possibile evitare di utilizzare la resistenza di protezione R G senza rischiare di danneggiarlo fissato il valore della tensione di alimentazione, si diminuisce R 0 a partire dal suo valore massimo agendo sulle manopole della cassetta di resistenze, fino a raggiungere la condizione di ponte bilanciato (V multimetro = 0) La regolazione della cassetta si effettua mediante 5 manopole ciascuna corrispondente a una posizione decimale del valore della resistenza. Errore di lettura della resistenza della cassetta ma si utilizzi 0.2 (in quanto un po usurate) Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone G ioio iXiX i1i1 i2i2 RGRG RxRx R2R2 R1R1 R C A B D iGiG i

8 8 Al fine di aumentare la sensibilità dello strumento (senza rischiare di danneggiarlo in quanto la corrente che percorre lo strumento è piccola una volta bilanciato col voltmetro) si utilizza successivamente la modalità amperometro del multimetro (sensibilità di 0.1 A per fondo scala 200 A) al fine di verificare che la corrente nel tester è i G = 0 Si registri il valore di R 0 quando questa condizione è verificata Utilizzare le resistenze di tolleranza 1% (2 da 200, 1 da 20 ) come R 1 e R 2, scegliendo il valore R 1 /R 2 in base al valore presunto di R X rispetto al massimo valore della cassetta di resistenze e cercando di massimizzare, laddove possibile, la sensibilità (R 1 = R 2 ) Inoltre si eseguano 3 misure (solo per il metodo classico) con 3 valori delle tensioni di alimentazione (es. ~3, 6, 9 V) almeno per la prima delle 2 resistenze da misurare

9 9 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone (Volt) R 1 ( ) R 2 ( ) R 0 ( ) R X ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) R x ( ) RX Tabella di dati ed errori per il metodo classico: Metodo della doppia pesata Il nome deriva dallanalogia con il metodo di misura di masse mediante la doppia pesata che consente di rendere la misura indipendente dalla lunghezza dei bracci della bilancia e quindi di eliminare errori sistematici legati alla loro diversa lunghezza spostando la massa da un piatto allaltro Eseguendo la misura per diversi valori di si osserva che la sensibilità aumenta con Si faccia la media pesata dei risultati

10 10 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Il metodo della doppia pesata in pratica: si bilancia il ponte e si annota il valore di R 0 si scambia la posizione di R 1 con R 2 si bilancia nuovamente il ponte annotando il valore di R 0 Infatti: R X = (R 1 /R 2 ) R 0 R X = (R 2 /R 1 ) R 0 Quindi lerrore relativo è: 2ln R X = ln R 0 + ln R 0 dove 2 P deriva dallaver bilanciato il ponte per 2 volte. Lerrore su R X è principalmente determinato dalle tolleranze di R 0 e R 0 V (Volt) R 0 ( ) R X ( ) 0 ( ) R x ( ) RX

11 11 Esperienza n. 5 Misura di resistenze col metodo del ponte di Wheatstone Metodo del confronto o di sostituzione Si esegue la misura di R X col metodo classico Si sostituisce R X con la resistenza di confronto R C di valore noto e scelta dello stesso ordine di grandezza di R X Si misura R C bilanciando il ponte R X = (R 1 /R 2 ) R 0 R C = (R 1 /R 2 ) R 0 Lerrore su R X è principalmente determinato dalle tolleranze di R 0, R 0 e R C I 3 metodi vanno impiegati solo laddove i valori delle resistenze lo rendono possibile! R X = R C (R 0 /R 0 ) V (Volt) R 0 ( ) R X ( ) R C ( ) 0 ( ) C ( ) R x ( ) RX


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