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1 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione in c.a. Partitore resistivo-capacitivo Partitore resistivo: abbiamo visto che in regime di corrente.

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1 1 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione in c.a. Partitore resistivo-capacitivo Partitore resistivo: abbiamo visto che in regime di corrente continua il rapporto di partizione è costante: V u /V i = R 2 /(R 1 +R 2 ) dove V u è la ddp ai capi di R 2 e V i è la ddp ai capi del generatore. Quando è alimentato in alternata la funzione di trasferimento assume ancora un valore costante poiché le impedenze complesse Z sono puramente resistive e quindi sono numeri reali e Z = R (non dipendono dalla frequenza) A = V u /V i = Z 2 /(Z 1 + Z 2 ) = R 2 /(R 1 +R 2 ) Tuttavia in alternata lo schema equivalente di una resistenza è: Capacità parassita Quindi ci si aspetta che la funzione di trasferimento dipenda dalla frequenza

2 2 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Si consideri inoltre che anche se il circuito fosse costituito da resistenze ideali, loscilloscopio stesso e le sonde presentano capacità non nulle e quindi la funzione di trasferimento dipenderebbe comunque da Nel caso reale, trascurando linduttanza associata alle resistenze, considereremo la loro capacità parassita. Si ha: 1/Z 1 = 1/R 1 + 1/[1/(j C 1p )] = (1+ j R 1 C 1p )/R 1 e, chiamata C 2 = C 2p + C 0 il parallelo tra la capacità parassita di R 2 e quella di oscilloscopio e sonde C 0, si ha: 1/Z 2 = 1/R 2 +1/[1/(j C 2p )]+1/[1/(j C 0 )] = (1+ j R 2 C 2 )/R 2. Quindi: A = 1/(1+Z 1 /Z 2 ) = =1/[1 + (1+ j R 2 C 2 )/ (1+ j R 1 C 1p ) R 1 /R 2 ] A0A0 da cui si evince la dipendenza da Il partitore si dice compensato se il rapporto di partizione è indipendente dalla frequenza, cosa che accade se R 2 C 2 = R 1 C 1p

3 3 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Trasformando ulteriormente A = 1/[1+(1+j R 2 C 2 )/(1+j R 1 C 1p ) R 1 /R 2 ] = =R 2 /(R 1 +R 2 ) (1+j R 1 C 1p )/(1+j R T C T ) con R T = R 1 R 2 /(R 1 +R 2 ) e C T = C 1p +C 2 Poiché C T >C 1p (1+j R 1 C 1p )/(1+j R T C T )<1 e quindi allaumentare della frequenza A diminuisce (ovvero V u diminuisce se V i è fisso). Si noti inoltre: Per 0 il circuito si comporta come un partitore resistivo: A(0) R 2 /(R 1 +R 2 ) Per si comporta come un partitore capacitivo: A( ) C 1p /(C 1p +C 2 ) Se R 2 C 2 = R 1 C 1p C 2 /C 1p = R 1 /R 2 A(0) = 1/(1+R 1 /R 2 ) = 1/(1+C 2 /C 1p )=A( ) A0A0 R 2 /(R 1 +R 2 ) C 1p /(C 1p +C 2 )

4 4 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo A = A 0 e j =R 2 /(R 1 +R 2 ) (1+j R 1 C 1p )/(1+j R T C T ) A 0 = R 2 /(R 1 +R 2 ) =atan( R 1 C 1p ) –atan( R T C T ) (infatti per i numeri complessi vale la regola che largomento di un prodotto è uguale alla somma degli argomenti) Es. per R 1 =3.9 k, C 1 = 2.2 nF, R 2 = 12k, C 2 = 6.8 nF R T =R 1 R 2 /(R 1 +R 2 ) C T = C 1 +C 2 1 =1/(R 1 C 1 ) = 1.17· 10 5 rad/s e 2 =1/(R T C T ) = 3.77· 10 4 rad/s (°)

5 5 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Landamento di A può essere studiato attraverso il diagramma di Bode che consente di visualizzare in funzione di log 10 landamento di una funzione complessa scomponendola in fattori che asintoticamente sono delle rette. Si impiegano 2 diagrammi: il diagramma delle ampiezze in cui si rappresenta il guadagno logaritmico e quello delle fasi dove la fase è largomento della funzione di trasferimento = arg(A) (in gradi o radianti). Il guadagno logaritmico in Bel è: G = log 10 |P u /P i | = log 10 |V u /V i | 2 dove con P si indicano le potenze e quindi in decibel: G = 20 log 10 |A|. Questa rappresentazione logaritmica offre il vantaggio di sommare i diagrammi relativi ai fattori di un prodotto. Per le 2 rappresentazioni si usano fogli in carta semilogaritmica. La funzione di trasferimento contiene diversi termini tipici. Ne consideriamo alcuni: 1)Termine costante: K G = 20log 10 |K|: il diagramma di ampiezza è rappresentato da una retta parallela allasse delle ascisse nel semipiano positivo dellasse delle ordinate se |K|>1, negativo se |K|<1;

6 6 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo il diagramma delle fasi è identicamente nullo se K >0 e uguale a – se K<0. log |K|>1 |K|<1 G log K>0 K<0 - 2) Zero (polo) in origine: (j ) L se L >0 (L <0) log (j ) L = L log + jL /2 si ottiene una retta per lorigine dellasse log con pendenza positiva per L>0 (20db/decade per L =1; 40 db/decade per L=2,…) e negativa per L <0 e il diagramma delle fasi è identicamente pari a L /2 log L=3 L=1 L=2 log L=1 L=2 decade 20db 40db

7 7 Esperienza n. 9 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo 3) zero: (1+ j / z ) G = 20 log 10 | 1+j / z | = 20 log 10 Per >| z | G 20log log 10 | z | Questi 2 andamenti approssimati sono rappresentati da un tratto dellasse delle ascisse e da una retta con pendenza di 20 db/decade. Essi sono gli asintoti alla effettiva curva di guadagno logaritmico. I 2 asintoti si incontrano in =| z | dove si ha G = 20 log 10 | 1+j z / z | = 20 log db Generalmente landamento di G è ben riprodotto dai 2 asintoti considerando la correzione di 3db in =| z | Rappresentazione di Bode: diagramma dellampiezza e della fase 0° 11/55 / z 90° 45° 1 10 z

8 8 Esperienza n. 9 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Rappresentazione di Bode del diagramma delle ampiezza e della fase / p -90° -45° 0° 1/5 15 Polo: (1+j / p ) -1 G = 20 log 10 |(1+j / p ) -1 | = -20 log 10 |1+j / p | = -20 log 10 Per >| p | G -20log log 10 | p | -20db/decade / p 1 10

9 9 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Tornando al partitore resistivo-capacitivo: G = 20 log 10 |A| = 20 log 10 |R 2 /(R 1 +R 2 )|+20 log 10 |1+j R 1 C 1p |+ 20 log 10 |(1+j R T C T ) -1 | Il 1° termine è costante: G 1 = 20 log 10 |R 2 /(R 1 +R 2 )| con R 2 /(R 1 +R 2 )<1 è rappresentato da una retta parallela allasse delle ascisse nel semipiano negativo dellasse delle ordinate; Il 2° termine G 2 = 20 log 10 |1+j R 1 C 1p |=20 log 10 è uno zero in z = 1/(R 1 C 1p ). Se << z G 2 0 Se >> z G 2 20 log log 10 z che in funzione di log 10 è una retta di pendenza 20 db/decade Il 3° termine G 3 = |(1+j R T C T ) -1 |= -20 log 10 è un polo in p = 1/(R T C T ). Se > p G log log 10 p che in funzione di log 10 è una retta di pendenza -20 db/decade

10 10 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo In generale i 3 possibili casi sono: p =1/(R T C T ) z z p log 10 p z Nel caso della nostra esperienza, poiché C T >C 1p e le resistenze sono fisse, si ricade nel caso 1) p < z p = z log 10

11 11 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo z < p z > p

12 12 Sfasamento: = arg(A) = arg[R 2 /(R 1 +R 2 ) (1+j R 1 C 1p )/(1+j R T C T )] Poiché largomento di un prodotto di numeri complessi è pari alla somma dei singoli fattori arg( )= arg( )+ arg( )+arg( ), i 3 termini sono: = arg[R 2 /(R 1 +R 2 )] = 0 = arg[1+j R 1 C 1p ]= arg[1+j / z ]=atan( / z ) Per 0 0 Per = z = 45° Per 90° = arg[(1+j R T C T ) -1 ]= arg[1/(1+j / p )]=-atan( / p ) Per 0 0 Per = z = -45° Per -90° Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo z 45° 90° p -45° -90° log 10 p < z p z

13 13 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Strumentazione: generatore di forme donda, oscilloscopio con capacità di ingresso di 35 pF, 2 sonde di capacità ~100 pF, breadbord, cavi di collegamento ed i seguenti componenti dei circuiti da realizzare: Per il partitore resistivo: R 1 = R 2 = 100 k condensatori da porre in parallelo ad R 1 al fine di trovare la condizione di compensazione del partitore (22 pF, 56 pF, 82 pF, 100 pF, 150 pF, 220 pF) Per il partitore resistivo-capacitivo: R 1 = 3.9 k e R 2 = 12 k e C 1 = 2.2 nF e C 2 = 6.8 nF Si considerino le tolleranze dei condensatori 10% e si valutino le tolleranze delle resistenze Visualizzare il segnale di ingresso e di uscita (ai capi di R 2 ) sui canali A e B e fissare lampiezza del segnale di ingresso a 2 V (picco-picco), uscita 50. Lesperienza si realizza in 4 fasi: 1)si verifichi che per il partitore resistivo (R 1 = R 2 = 100 k ) il rapporto di partizione è costante per basse frequenze e che diminuisce allaumentare della frequenza T(msec)f.s. (msec) (Hz) V i (Volt) f.s. (Volt) V u (Volt)f.s. (Volt) A 100Hz-1MHz

14 14 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo 2) Si individua per tentativi la condizione di partitore compensato R T C T = R 1 C 1p inserendo in parallelo a R 1 diversi condensatori e osservando la risposta del circuito utilizzando un segnale di tipo onda quadra. Le 3 condizioni che si presentano osservando V i e V u con loscilloscopio sono: Partitore sovracompensato (sono soppresse le alte frequenze) t V Partitore compensato t V Partitore sottcompensato (sono soppresse le basse frequenze) t V 3) Si realizza un partitore resistivo- capacitivo con C 1 e C 2 >> C parassite le capacità parassite sono trascurabili Si confrontano le misure con i diagrammi di Bode attesi e si esegua il test del 2 C1C1 C2C2 Il segnale di uscita non è alterato perché ogni armonica che lo costituisce si comporta nello stesso modo quando è compensato Si utilizzino scale diverse per osservare V i e V u ~1/2 V i

15 15 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo T ( sec) (Hz) (rad/s) V i (Volt) V u (Volt) A mis A atteso t ( sec) mis (°) atteso (°) 100Hz- 10MHz Tabella dei dati (quantità misurate in rosso, calcolate in verde e teoriche in celeste): Si osservi che il partitore non è compensato poiché R 1 C 1 =3.9·10 3 *2.2 ·10 -9 = 8.58 ·10 -6 R 2 C 2 = 12·10 3 *6.8 ·10 -9 = 81.6· ) Si invertono i condensatori nel circuito che quindi risulta compensato: R 1 C 2 = 3.9·10 3 *6.8 ·10 -9 = 26.5·10 -6 R 2 C 1 = 12·10 3 * 2.2 ·10 -9 = 26.4 ·10 -6 Si verifichi che il partitore è compensato T(msec)f.s. (msec) (Hz) V i (Volt) f.s. (Volt) V u (Volt)f.s. (Volt) A 100Hz-1MHz

16 16 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Fase 1: misure relative al partitore resistivo R 1 = R 2 = 100 k Osservazione: il fenomeno di deviazione del rapporto di partizione dal comportamento puramente resistivo (partitore compensato), quindi lindipendenza del rapporto di partizione da, dipende dal valore delle resistenze rispetto alle capacità. Noi useremo R 1 = R 2 = 100 k, mentre le capacità parassite sono dellordine di pF 1/(RC) è tale da consentirci losservazione della decrescita di V u con a partire da >10kHz Se usassimo R~100 per ogni il rapporto di partizione = costante

17 17 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Fase 3: misure relative al partitore resistivo-capacitivo (°) (rad/s)


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