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1. Costituenti della materia 2. Le forze fondamentali 3. Simmetrie e leggi di conservazione 4. Cinematica relativistica 5. Il modello a Quark statico 6.

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1 1. Costituenti della materia 2. Le forze fondamentali 3. Simmetrie e leggi di conservazione 4. Cinematica relativistica 5. Il modello a Quark statico 6. Linterazione Nucleare Debole 7. Introduzione al Modello Standard e massa del Neutrino 8. Violazione di CP nel Modello Standard Simmetrie e leggi di conservazione Mandala delle Cinque Divinità Tibet, dipinto nel XVII secolo La parola è utilizzata, anche, per indicare un diagramma circolare costituito, di base, dall'associazione di diverse figure geometriche ], le più usate delle quali sono il punto, il triangolo, il cerchio ed il quadrato. Il disegno riveste un significato spirituale e rituale sia nel Buddhismo che nell'Hinduismo. ] Mandala da it.wikipedia.org

2 Simmetrie di un sistema fisico: Sistema classico Sistema quantistico Formalismo Lagrangiano Formalismo Hamiltoniano Formalismo Hamiltonianl Invarianza Equazioni del Moto Invarianza Eq. Dinamica Invarianza relazioni di commutazione (Invarianza della probabilità) Il Teorema di E. Noether (teorie di campo lagrangiane, quantistiche e no) stabilisce una relazione tra simmetrie e quantità conservate di un sistema

3 Un esempio classico: Se facciamo una traslazione: Le equazioni del moto sono invarianti per traslazione

4 Se calcoliamo la forza totale che agisce su 1 e 2: Nel formalismo lagrangiano classico: Invarianza di L rispetto q p conservato

5 Nel formalismo Hamiltoniano Eventuale conservazione di una quantità dinamica Eventuale simmetria Questo formalismo si trasporta facilmente al caso della Meccanica Quantistica In Meccanica Quantistica si può partire dallEq. Di Schroedinger : Evoluzione temporale (unitaria)

6 Operatori nella descrizione di Heisenberg Derivando: Quantità conservate: commutano con H Nel caso in cui vi sia una dipendenza esplicita dal tempo (sistemi non isolati) Descrizione di Schroedinger e di Heisenberg : HeisenbergSchroedinger

7 Traslazione finita unitario Autoaggiunto: è il generatore delle traslazioni spaziali Se H non dipende dalle coordinate Il momento si conserva Invarianza traslazionale: una simmetria continua Loperatore traslazione è naturalmente associato al momento

8 Invarianza rotazionale: una simmetria continua Loperatore rotazione è naturalmente associato al momento angolare Rotazione finita Operatore momento angolare attorno asse z (angolo phi) unitario Autoaggiunto: è il generatore delle rotazioni Se H non dipende dallangolo di rotazione φ attorno allasse z Il momento angolare si conserva

9 Invarianza temporale continua Si potrebbe anche procedere come prima costruendo il generatore delle traslazioni temporali (lenergia H), ma basta osservare che Se H non dipende da t, lenergia si conserva

10 Simmetrie continue e gruppi: SU(2) Combinazione di due trasformazioni: dipende dalle regole di commutazione dei generatori del gruppo Algebra commutativa (Abeliana) delle traslazioni Operatore traslazione lungo asse x: (due traslazioni commutano). Inoltre: e ovviamente

11 Nel caso delle rotazioni: Regole di commutazione per i generatori: Algebra non commutativa Rotazioni attorno ad assi diversi in genere non commutano Nel caso di un sistema quantistico a due livelli, le trasformazioni sono descritte dal gruppo SU(2) (due dimensioni) che ha struttura algebrica simile a SO(3) (rotazioni in 3 dimensioni)

12 Simmetria di Isospin Si consideri un sistema quantistico a due stati (originariamente il neutrone e il protone, che per quanto riguarda le forze nucleari potevano essere considerati degeneri). Siccome degeneri, potevano essere ridefiniti arbitrariamente: Degenerazione Ridefinizione Doppia degenerazione simile a ciò che avviene nei sistemi a s=1/2. La degenerazione viene rimossa da un campo magnetico Si può allora introdurre lo spinore a due componenti:

13 La ridefinizione precedente diviene: Simmetria proposta per le interazioni forti (rotta dalla parte elettromagnetica) Gruppo di Lie SU(2) Proprietà determinate dalle trasformazioni infinitesime Può essere scritto nella forma generale: Matrici di Pauli

14 Isospin Una rotazione infinitesima del doppietto p-n: Una rotazione finita in SU(2): Generalizzazione di una trasformazione globale di fase Tre angoli di fase Operatori non commutanti (Invarianza di fase non abeliana)

15 Il sistema a due nucleoni Prendiamo una di queste trasformazioni: Uno stato a due nucleoni può essere: In seguito a questa rotazione:Singoletto di isospin Gli altri tre stati si traformano luno nellaltro in rotazioni di isospin, come farebbe un vettore nello spazio 3-d per rotazioni ordinarie Invarianza per isospin significa che vi sono due ampiezze, I=0 e I=1 E significa che gli stati con I=1 sono tra loro indistinguibili (interazione forte)

16 Simmetrie di gauge (globali e locali) Sono simmetrie continue (gruppo continuo) che possono essere locali o globali. Globali: quantità conservate (carica elettrica) Locali: nuovi campi e loro leggi di trasformazione (teorie di gauge) Consideriamo lEquazione di Schoedinger Consideriamo una trasformazione di fase globale: il cambio di fase è lo stesso in tutti i punti Lequazione di Schroedinger è invariante per tale trasformazione. Tale invarianza è associata (T. di E. Noether) alla conservazione della carica elettrica Ma cosa succede se consideriamo una trasformazione di gauge locale ?

17 Come si fa a garantire linvarianza di gauge locale? Non invariante! Il problema deriva dal fatto che: extra termine !

18 Per risolvere il problema possiamo introdurre un nuovo campo! E la sua legge di trasformazione! Dal momento che lEq. Di Schroedinger libera non è invariante per: La modifichiamo introducendo: Campi compensanti Che si trasformano:

19 In questo modo linvarianza viene ripristinata Per dare un significato fisico, scegliamo: E si ha linvarianza: Linvarianza di gauge locale del campo di Schroedinger richiede il campo EM ne stabilisce la legge di trasformazione

20 Vi sono molti altri esempi del principio di gauge In physics, a gauge principle specifies a procedure for obtaining an interaction term from a free Lagrangian which is symmetric with respect to a continuous symmetry -- the results of localizing (or gauging) the global symmetry group must be accompanied by the inclusion of additional fields (such as the electromagnetic field), with appropriate kinetic and interaction terms in the action, in such a way that the extended Lagrangian is covariant with respect to a new extended group of local transformations. LIBERO INTERAGENTE

21 Simmetrie discrete: P,C,T Le simmetrie discrete descrivono cambiamenti non continui di un sistema (non possono essere ottenute integrando trasformazioni infinitesime). Questi cambiamenti sono associati a gruppi di simmetria discreti Parità P Inversione di tutte le coordinate spaziali: Il determinante di questa trasformazione è -1. Mentre le rotazioni sono Inoltre è autoaggiunto:

22 Operatore unitario. Autovalori: +1, -1 (se stati a parità definita) Autostati: stati a parità definita La parità è conservata in un sistema se Lesempio del potenziale centrale: Gli stati legati di un sistema a simmetria centrale hanno parità definita. Ad esempio latomo di idrogeno Atomo di idrogeno: autofunzioni senza spin : Parte radiale Armoniche sferiche Transizioni di Dipolo Elettrico l = ± 1

23 Considerazioni generali sulla parità Es.: =cosx, P cos(-x)=cos(x) = + positiva (P=+1) =sinx, P sin(-x)=-sin(x) = - negativa (P=-1) Mentre =cosx+sinx, P cosx-sinx ± non ha P definita Scalare: (temperatura o pressione, prodotto scalare fra 2 vettori polari, prodotto scalare fra 2 vettori assiali): è una quantità che non dipende dallorientazione del sistema di coord. ed è invariante per riflessione Vettori (o vettori polari): r, p… velocità, impulso, campo E Sotto loperazione P cambiano segno Consideriamo loperazione P come Riflessione(R)+Rotazione (Ro) R+Ro v p r p rotazione zione R+Ro v p rotazione R Trasformazione discreta: operazione di inversione spaziale delle coordinate: x,y,z -x, -y –z Questa operazione è prodotta dalloperatore parità P P (r) = (-r) Cosa si intende classicamente per la riflessione spaziale ? Nello spazio a 3 dimensioni, la terna - r si può pensare ottenuta della terna + r eseguendo prima una rotazione e poi una riflessione Una rotazione più una riflessione speculare rispetto ad un piano è equivalente ad una inversione dei 3 gli assi. Le equazioni del moto o la Lagrangiana sono invarianti per rotazione, la loro invarianza per la trasformazione r - r equivale allinvarianza per la riflessione speculare, cioè rispetto a un piano Rotazione 180 gradi attorno a z a z Riflessione rispetto al piano xy z z y z x yx -x, y -y, z -z - y z -z x y y x

24 Momento angolare: Azione della parità su quantità fisiche notevoli Posizione: Momento: Tempo: Carica: Campo E: Campo B: Corrente: Spin:

25 Parità di sistemi composti: prodotto delle parità delle parti Parità: spaziale e instrinseca delle particelle: il pione Conservazione del momento angolare: J=1= L+S Simmetria globale n+n d: parità positiva

26 Alcune parità intrinseche non sono osservabili (protone, neutrone) e sono convenzionali (+1 in questo caso). Parità del pione neutro, dalla polarizzazione delle coppie in : Diverse proprietà di trasformazione per rotazioni e riflessioni spaziali P(particella) = - P (antiparticella)FERMIONI P(particella) = P (antiparticella)BOSONI

27 Coniugazione di carica C Cambia i segni delle cariche (e dei momenti magnetici)

28

29 Isospin

30 Simmetrie di Gauge

31 Numeri di particelle: barionico e leptonico


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