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Allistante t=0 unauto azzurra, inizialmente ferma comincia ad accelerare con modulo costante di 2,0 m/s 2 nella direzione dellasse x partendo dal punto.

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1 Allistante t=0 unauto azzurra, inizialmente ferma comincia ad accelerare con modulo costante di 2,0 m/s 2 nella direzione dellasse x partendo dal punto x=0. Allistante t=2s unauto rossa che viaggia in una corsia parallela nella stessa direzione passa dal punto x=0 con velocità di 8,0 m/s e accelerazione di 3,0 m/s 2. In quale istante di tempo lauto rossa sorpassa quella azzurra? A quale distanza dallorigine avviene il sorpasso? HALLIDAY - capitolo 2 quesito 7 x 0 Moto dellauto azzurra: (a 1 =2,0 m/s 2 ) Moto dellauto rossa: (t 0 =2s, v 0 =8,0m/s, a 2 =3m/s 2 )

2 Il sorpasso si verifica nellistante di tempo t in cui lauto rossa raggiunge lauto azzurra, cioè in nellistante t in cui x 1 (t)=x 2 (t): le cui soluzioni sono t 1 = -6,9s (da scartare) e t 2 = 2,9s La posizione in cui avviene il sorpasso si ottiene calcolando la x 1 (o la x 2 ) nellistante t ottenuto dalla equazione precedente:

3 Diagrammi orari dellauto azzurra e dellauto rossa

4 HALLIDAY - capitolo 2 problema 70 Un aereo, in unesercitazione per eludere i radar, è in volo orizzontale ad altezza h=35m dal suolo su un terreno piano alla velocità di 1300 km/h. Improvvisamente, al tempo t=0 arriva in un luogo dove il terreno inizia a salire con angolo di pendenza θ=4,3°, come indicato in figura. In che istante si schianterebbe il pilota se non correggesse lassetto dellaereo? x 0 h θ y

5 Moto dellaereo: Lo schianto avviene nellistante di tempo in cui y=h,dove y=xtgθ è laltezza del terreno rispetto al livello iniziale (v=1300km/h=361,1m/s)

6 HALLIDAY - capitolo 2 problema 9 Avete viaggiato sulla statale 10 da Torino a Mantova per metà del tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto a 90 km/h. Qual è la vostra velocità scalare media allandata, al ritorno e per lintero percorso? x 0 TOMN x=D andata x 0 MNTO x=D ritorno

7 PERCORSO DI ANDATA Indichiamo con T A il tempo complessivo impiegato per percorrere il tratto TO-MN allandata. Sappiamo che per un tempo T A /2 lauto si muoverà con velocità v 1 =55 km/h e per un tempo T A /2 con velocità v 2 = 90 km/h Equazioni del moto di andata: per t

8 PERCORSO DI RITORNO Indichiamo con T R il tempo complessivo impiegato per percorrere il tratto MN-TO al ritorno. Sappiamo che per un tratto di lunghezza D/2 corrispondente ad un tempo T 1 lauto si muoverà con velocità v 1 =55 km/h e per un secondo tratto di lunghezza D/2 corrispondente ad un tempo T 2 con velocità v 2 = 90 km/h Equazioni del moto di ritorno: per t

9 ANDATA + RITORNO La velocità scalare media nellintero percorso è: v=2D/(T A +T R ) Dalle equazioni del moto di andata: T A =D/v A =2D/(v 1 +v 2 ) Dalle equazioni del moto di ritorno: T R =D/v R =D(v 1 +v 2 )/(2v 1 v 2 ) e dunque:

10 HALLIDAY - capitolo 2 problema 29 Alluscita da una curva il macchinista di un treno che viaggia alla velocità di 161 km/h si accorge che una locomotiva è entrata erroneamente nel binario da una diramazione posta a distanza D=0,676 km più avanti. La locomotiva va alla velocità di 29,0 km/h. Il macchinista aziona immediatamente la frenatura rapida. Quale deve essere il valore assoluto minimo dellaccelerazione costante impressa dal freno per evitare una collisione? Poniamo che il macchinista si trovi nella posizione x=0 quando al tempo t=0 avvista la locomotiva. Tracciate le curve x(t) indicative per la locomotiva e il treno per lipotesi che si eviti di misura la collisione.

11 Moto della locomotiva: (D=676m v L =29,0km/h=8,06m/s) Moto del treno: (v 0T =161km/h=44,7m/s) a = incognita Per evitare la collisione il treno non deve mai raggiungere la locomotiva, cioè deve essere x T (t) x L (t) per ogni istante di tempo La condizione limite è quella per cui il treno (la cui velocità sta diminuendo) raggiunge la locomotiva e, nellistante in cui ciò accade, treno e locomotiva abbiano la stessa velocità.

12 Calcoliamo listante t 1 in cui il treno ha la stessa velocità della locomotiva: Imponiamo quindi la condizione x T (t 1 )=x L (t 1 ):

13 Treno Locomotiva Nella situazione limite le due curve x T (t) e x L (t) sono fra loro tangenti nellistante di tempo in cui treno e locomotiva si sfiorano

14 HALLIDAY - capitolo 2 problema 41 Dallugello di una doccia sgocciola lacqua cadendo sul fondo posto 200 cm più in basso. Le gocce cadono a intervalli di tempo regolari. La quarta goccia si stacca nellistante in cui la prima arriva al suolo. Trovare le posizioni della seconda e della terza in questo stesso istante. x 0 x h doccia suolo (h=2,00m)

15 Prima goccia: Seconda goccia: Terza goccia: Indichiamo con T lintervallo di tempo (incognito) che trascorre tra la caduta di una goccia e la caduta della goccia successiva. Assumiamo inoltre che la prima goccia cada allistante t=0. La prima goccia tocca il suolo nellistante in cui cade la quarta goccia, cioè nellistante t=3T. Il problema chiede di determinare le posizioni x 2 e x 3 al tempo t=3T.

16 Determiniamo T imponendo che x 1 (3T)=0: Le posizioni delle gocce 2 e 3 allistante t=3T sono:

17 HALLIDAY - capitolo 2 problema 51 Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso lalto una pietra. Essa raggiunge la massima altezza 1,60s dopo il lancio e ricade in strada, dove giunge 6,00s dopo il lancio. Determinare la velocità di partenza della pietra, laltezza massima raggiunta sopra ledificio e laltezza delledificio. 0 x h altezza delledificio suolo altezza massima t t=0 t= t 1 =1,60s t= t 2 =6,00s

18 Equazioni del moto: Nel punto di altezza massima v=0: Incognite: h, v 0 h si trova imponendo che il corpo tocchi il suolo nellistante t 2 : Laltezza massima si trova calcolando x(t 1 ):

19 HALLIDAY - capitolo 2 problema 63 Per arrestare unautomobile, passa prima di tutto un certo tempo di reazione per dare inizio alla frenata, poi il tempo di rallentamento ad accelerazione costante fino allarresto. Supponiamo che la distanza percorsa durante le due fasi sia di 56,7m per una velocità iniziale di 80,5 km/h e 24,4m per una velocità iniziale di 48,3 km/h. Quali sono il tempo di reazione del pilota ed il modulo della accelerazione? x 0xRxR x Moto rettilineo uniforme tra t=0 e t=t R Moto uniformemente ritardato tra t=t R e listante di arresto

20 Legge oraria dellautomobile: Calcoliamo listante t 1 in cui la vettura si arresta (v(t 1 )=0) La distanza totale percorsa dallauto è x(t 1 ):

21 Sappiamo che se lauto ha una velocità iniziale v 01 =80,5 km/h =22,4 m/s essa percorre una distanza x 1 =56,7m, mentre se ha una velocità iniziale v 02 =48,3 km/h=13,4 m/s, essa percorre una distanza x 2 =24,4m. In simboli: Mettendo a confronto i secondi membri delle due equazioni: Infine, sostituendo il valore di a in una delle due espressioni per t R :


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