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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio simmetrico Se il corpo è simmetrico rispetto allasse di rotazione –Il momento angolare totale è parallelo.

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Presentazione sul tema: "G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio simmetrico Se il corpo è simmetrico rispetto allasse di rotazione –Il momento angolare totale è parallelo."— Transcript della presentazione:

1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio simmetrico Se il corpo è simmetrico rispetto allasse di rotazione –Il momento angolare totale è parallelo allasse di rotazione Nel caso della figura il momento M z è applicato mediante una coppia di forze –Due forze uguali ed opposte non aventi la stessa retta di azione Per mantenere le due particelle sulla traiettoria circolare occorre applicare due forze centripete –A causa della simmetria del corpo esse sono collineari, uguali in modulo ed opposte –Costituiscono una coppia di momento nullo –Possono benissimo essere delle forze interne. F 1c F 2c

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Coppia di forze Due forze uguali ed opposte non aventi la stessa retta di azione Attraverso una coppia è possibile applicare al corpo un momento puro La risultante della coppia è nulla. Il momento della coppia invece è indipendente dal polo –Per esempio rispetto ad O, il punto di applicazione della forza F: È diretto perpendicolarmente al piano della coppia Nel caso considerato il verso è uscente Il modulo vale Fb dove b è il braccio della coppia pari alla distanza tra le retta di azione delle due forze Se le due forze sono collineari il momento della coppia è nullo O Lo stesso momento può essere ottenuto in infiniti modi diversi.

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio asimmetrico Se il corpo non è simmetrico rispetto allasse di rotazione, e lasse di rotazione non è un asse principale dinerzia –Il momento angolare totale non è parallelo allasse di rotazione Infatti: Il momento angolare trasverso, in questo caso particolare, in cui i due momenti angolari sono allineati, vale: Nel caso del manubrio asimmetrico L x ed L y non sono nulli, anzi non sono neppure costanti perché il momento angolare precede attorno allasse di rotazione:

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Calcolo del momento delle forze esterne quando L non è parallelo allasse di rotazione Supponiamo che il momento angolare sia costante in modulo –Vuol dire che M z =0, =costante Prendendo lorigine di L sullasse di rotazione, la punta di L descrive una traiettoria circolare in un piano perpendicolare allasse di rotazione. La variazione subita da L nellintervallo dt è data da: d costante L z dLdL Il suo modulo Dalla figura Affinché il momento angolare L preceda attorno allasse di rotazione occorre applicare un momento delle forze, e quindi delle forze, la cui intensità è proporzionale al quadrato della velocità angolare.

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Manubrio asimmetrico Riusciamo a capire il motivo dellesistenza di questi momenti ? Facendo riferimento alla figura, osserviamo che per mantenere sulla traiettoria circolare i due punti materiali che formano il nostro manubrio occorre applicare a ciascun punto materiale una forza centripeta. Le due forze sono uguali in intensità ma di verso opposto e non sono allineate. –Formano una coppia di momento diverso di zero –Esse quindi non possono essere delle forze interne, come nel caso simmetrico, perché sappiamo che il momento risultante delle forze interne è nullo. –Devono essere fornite dallesterno. –Normalmente sono i vincoli a cui è affidato il compito di mantenere fisso lasse di rotazione, che si occupano di esercitare delle forze che svolgono lo stesso ruolo delle forze centripete menzionate. –Naturalmente anche lintensità di queste forze aumenta con laumentare della velocità angolare

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Equilibratura Poiché queste forze non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno allasse di rotazione Per esempio non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (lasse di rotazione, i cuscinetti, etc) Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo allasse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste) Questo si ottiene equilibrando il corpo rigido rispetto allasse di rotazione (equilibrature delle gomme dellautomobile)

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione Un cilindro di massa 2 kg può ruotare attorno al proprio asse (longitudinale) passante per O. Nel piano della sezione rappresentata nella figura sono applicate quattro forze, aventi le intensità F e le distanze r dal centro riportate in tabella. Trovare lintensità e il verso dellaccelerazione angolare del cilindro, ammettendo che, durante il moto, le forze mantengano la orientazione rispetto al cilindro. Lequazione del moto: Laccelerazione è diretta in verso antiorario

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione Una riga di lunghezza L=1m, è messa in posizione verticale, appoggiata al pavimento e quindi lasciata cadere. Trovate la velocità dellestremità superiore quando colpisce il pavimento, ammettendo che lestremità inferiore non slitti Possiamo considerare la riga come una sbarretta sottile. Il moto di caduta può essere immaginato come un moto di rotazione attorno ad un asse passante per il punto di contatto O. Le forze agenti sono la forza peso, la normale e la forza di attrito (statico) che mantiene fermo il punto di contatto. Possiamo applicare la conservazione dellenergia: P N FaFa O U=0

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura. Linsieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale? Proviamo ad applicare la conservazione dellenergia Le forze agenti sono il Peso e la reazione vincolare applicata dallasse di rotazione: P RvRv Dobbiamo calcolare il momento di inerzia dellH rispetto allasse di rotazione U=0 Asse di rotazione

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applicaz ione Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L, unite tra loro in modo da assumere una forma ad H come mostrato in figura. Linsieme è libero di ruotare intorno ad una asse orizzontale fosso che coincide con una delle gambe della H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano della H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano della H arriva in posizione verticale? La velocità angolare vale dunque: I1I1 I2I2 I3I3

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di puro rotolamento Con questo moto si intende il moto caratteristico delle ruote –Quando un veicolo si muove, anche le ruote si muovono. –Naturalmente il moto delle ruote non è di pura traslazione –Né una semplice rotazione attorno ad un asse fisso –Può essere immaginato come un moto di rototraslazione Qual è la peculiarità di questo moto? –I punti della ruota a contatto con lasfalto sono fermi rispetto allasfalto (non scorrono, non strisciano sullasfalto) –Da qui il nome: rotolamento senza strisciamento (oppure puro rotolamento). Consideriamo due istanti successivi t 1 e t 2. –Lo spostamento subito dal centro della ruota x è pari alla distanza tra i punti di contatto della ruota agli istanti t 1 e t 2. –Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi uno spostamento angolare. Se il moto è di puro rotolamento esiste una relazione tra questi due spostamenti: Condizione di puro rotolamento

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Le condizioni di puro rotolamento Abbiamo stabilito che in condizioni di puro rotolamento vale la seguente relazione tra i moduli dello spostamento angolare e quello lineare. Con il sistema di riferimento scelto osserviamo che se x è positivo, come in figura, allora è negativo (rotazione oraria) Tenendo conto dei segni la condizione di puro rotolamento diventa: Dividendo per t, e valutando il limite per t che tende a zero: si ottiene: La velocità lungo lasse x del centro della ruota (CM) è uguale allopposto del prodotto del raggio della ruota per la sua velocità angolare. Con una seconda derivazione, si ottiene Laccelerazione lungo lasse x del centro della ruota (CM) è uguale allopposto del prodotto del raggio della ruota per la sua accelerazione angolare. Queste tre condizioni sono verificate contemporaneamente (dipendono luna dallaltra) Esse vengono indicate come condizioni di puro rotolamento N.B.:Il segno meno presente nelle condizioni di puro rotolamento dipende dal sistema di riferimento usato. Una diversa scelta del SdR potrebbe non chiedere tale segno

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Ruolo della forza di attrito nel moto di puro rotolamento Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con lasfalto è fermo rispetto allasfalto. Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito Naturalmente si tratta di una forza di attrito statica proprio perché il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile (al massimo è possibile un moto uniforme: velocità del centro di massa costante e velocità angolare costante, non appena si vuole cambiare una delle due velocità e fare in modo che il moto continui ad essere di puro rotolamento è necessaria la presenza della forza di attrito) Naturalmente, poiché la forza di attrito statico è limitata superiormente, non sempre è garantito il moto di puro rotolamento. –Si pensi alle frenate brusche fatte con lautomobile in cui si bloccano le ruote che scivolano sullasfalto –Oppure alle accelerazioni brusche in cui le ruote girano, ma slittano sullasfalto e non producono lavanzamento dellautomobile. –Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per garantire il moto di puro rotolamento Si osservi infine che la forza di attrito statico compie lavoro nullo (punto di applicazione fermo). (Lo stesso vale anche per la Normale).

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Interpretazione del moto di puro rotolamento Pura rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura passante per i punti di contatto. –Lasse di rotazione cambia continuamente (si parla di asse istantaneo di rotazione. –Comunque istante per istante il moto di ogni punto della ruota è uguale a quello che avrebbe se la ruota ruotasse attorno ad un asse fisso passante per i punti di contatto. Sovrapposizione di un moto di traslazione –Moto del centro di massa più un moto di rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura e passante per il centro di massa Il moto della ruota nel sistema del centro di massa è una rotazione attorno ad un asse fisso. La velocità angolare è la stessa di quella misurata nel sistema inerziale.

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applic azione Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e laccelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s 2. Quali sono lintensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota Qual è il momento di inerzia della ruota intorno allasse di rotazione passante per il suo centro?

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di puro rotolamento di un cilindro Consideriamo un cilindro di massa M e raggio R che si può muovere su di un piano orizzontale sotto lazione di una forza F applicata nel suo centro di massa. Le altre forze agenti sul cilindro sono –La forza peso applicata al centro di massa –La normale N applicata nel punto di contatto –La forza di attrito anchessa applicata nel punto di contatto. Sia la normale N che la forza di attrito statico sono distribuite su tutti i punti della generatrice del cilindro a contatto con il piano –Facendo ricorso a questioni di simmetria possiamo renderci conto che linsieme di queste forze è equivalente ad ununica forza applicata nel punto di mezzo del segmento costituito dai punti contatto tra cilindro e piano orizzontale –Nella figura le forze risultanti, sia per quanto riguarda la Normale che per la forza di attrito statico, sono state applicate proprio nel punto precedentemente determinato (esso si trova infatti sulla sezione del cilindro che contiene il centro di massa). NB: in generale non si può stabilire a priori il verso della forza di attrito statico –Ragioni di simmetria ci dicono che deve essere parallela alla forza applicata F, però potrebbe andare verso destra o verso sinistra. In figura abbiamo scelto a caso (quasi) uno dei due versi: se risolvendo il problema determiniamo un modulo negativo, non vuol dire che abbiamo raggiunto un risultato assurdo, solo che abbiamo sbagliato la scelta del verso che, pertanto, andrà corretta.

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione del moto di rotolamento come pura rotazione attorno ai punti di contatto Lequazione del moto è: I è il momento di inerzia rispetto allasse di rotazione M z è il momento assiale risultante delle forze applicate. Nel nostro caso: Utilizzando la condizione di puro rotolamento NB:non abbiamo avuto alcuna informazione sulla forza di attrito.

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Risoluzione del moto di rotolamento come sovrapposizione del moto del centro di massa più una rotazione attorno al centro di massa Dal teorema del centro di massa: Lequazione del moto di rotazione attorno ad un asse fisso nel SdR del CM:

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Dove è finita lenergia Con attrito –Moto di puro rotolamento Senza attrito –Pura traslazione F P N F as F P N Se la forza opera per un tratto x: Solo i due terzi del quadrato della velocità del caso senza attrito Bisogna considerare anche lenergia cinetica del moto di rotazione

20 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applic azione Una forza orizzontale costante di 10 N è applicata a una ruota di massa M=10kg e raggio R=0.30 m, nel modo come indicato in figura. La ruota rotola senza strisciare sulla superficie orizzontale, e laccelerazione del suo centro di massa è 0.60 m/s 2. Quali sono lintensità ed il verso della forza di attrito sulla ruota Qual è il momento di inerzia della ruota intorno allasse di rotazione passante per il suo centro? Dal teorema del centro di massa: F P N F as per la rotazione x y


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