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Corso di biomatematica lezione 6: la funzione 2 Davide Grandi.

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Presentazione sul tema: "Corso di biomatematica lezione 6: la funzione 2 Davide Grandi."— Transcript della presentazione:

1 Corso di biomatematica lezione 6: la funzione 2 Davide Grandi

2 Sommario Covarianza e correlazione Distribuzione del 2 : Definizione Gradi di libertà e 2 ridotto Tabelle Distribuzione t di student Distribuzione F di Fisher

3 Covarianza e correlazione Davide Grandi - Dottorato in Biologia Propagazione degli erroriPropagazione degli errori Richiamiamo la formula generale della propagazione degli errori: E ricordiamo che per un insieme di N misure la deviazione standard sarà (con N grande)

4 Covarianza e correlazione Davide Grandi - Dottorato in Biologia Propagazione degli erroriPropagazione degli errori Sia ora q=q(x,y) e supponiamo che tutti gli (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), ……. (x N,y N ), siano noti con sufficiente accuratezza, per cui potremo scrivere: Da cui ovvero

5 Covarianza e correlazione Davide Grandi - Dottorato in Biologia Propagazione degli erroriPropagazione degli errori Scrivendo la deviazione standard di q abbiamo: Dove abbiamo lultimo termine che è: E vale dunque

6 Covarianza e correlazione Davide Grandi - Dottorato in Biologia Propagazione degli erroriPropagazione degli errori Se dunque le misure di x e y sono assolutamente indipendenti, lequazione della deviazione standard diventa: Per cui è nullo il termine covarianza Detto covarianza che misura la correlazione tra le misure di x e y supposte in partenza indipendenti

7 Covarianza e correlazione Davide Grandi - Dottorato in Biologia Correlazione lineareCorrelazione lineare Data una distribuzione di misure (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), ……. (x N,y N ), è possibile stabilire se tra le variabili sussiste una relazione del tipo y=a+bx tramite il coefficiente di correlazione lineare dato da: Ovvero Che nel caso di dipendenza lineare vale 1

8 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia La funzione del 2La funzione del 2 Data una distribuzione normale standardizzata, una volta noti m e ovvero la relazione Z=(x – m)/ ci permette di stabilire la probabilità di trovare valori esterni o interni ad un determinato intervallo (vedi esempio pesci). Da questo legame con distribuzione di probabilità normale o gaussiana e distribuzioni di dati posso ricavare altre distribuzioni campionare utili per linferenza statistica

9 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia La funzione del 2La funzione del 2 Date n variabili casuali indipendenti normalmente distribuite, con media m=0 e =1 Il 2 è dato dalla somma dei loro quadrati. Si può rappresentare mediante la formula: Dove n sono le osservazioni indipendenti effettuate (il 2 gode della proprietà additiva..)

10 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia La funzione del 2La funzione del 2 Il 2 si può anche rappresentare mediante la formula: Dove gli O k sono i valori osservati di una determinata misura e gli E k sono i rispettivi valori attesi (supponendo che le misure vadano a distribuirsi secondo una gaussiana…)

11 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia La funzione del 2La funzione del 2 Il 2 infine per una distribuzione continua sarà:

12 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia Il 2 ed i gradi di libertàIl 2 ed i gradi di libertà Il 2 in realtà dipenderà dai gradi di libertà (o numero di osservazioni indipendenti) che sto effettuando. Questo 2 chiamato 2 ridotto e che indichiamo con 2 è legato al 2 con un solo grado di libertà secondo la formula 2 = 2 /d con d numero di gradi di libertà. Ad esempio avremo dunque

13 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia Il 2 ed la probabilitàIl 2 ed la probabilità Assumendo che le mie misure siano governate dalla distribuzione di probabilità attesa, posso utilizzare il il 2 infine per determinare se il risultato atteso è o meno probabile (e il livello di probabilità). Infatti (vedi figura) ad ogni valore di 2 (ad esempio 2 =k) corrisponde una probabilità di ottenere valori di 2 maggiori, se questo è un numero grande (starò quindi in una regione in cui ho molta probabilità che il 2 calcolato vada a finire), la nostra distribuzione segue quella attesa, altrimenti se è molto piccolo è probabile che debba rigettare la distribuzione attesa.

14 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia Il 2 ed i gradi di libertàIl 2 ed i gradi di libertà

15 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia Il 2 ed i gradi di libertàIl 2 ed i gradi di libertà Spieghiamoci meglio: data 2 =k e P ( 2 >k) = n% Se ad esempio ho ottenuto con 1 grado di libertà 2 =1.80 e P ( 2 >1.80) = 18% Non posso rigettare la distribuzione attesa, mentre se ho 2 =6 e P ( 2 >6) = 1% Con l1% di errore rigetto la mia distribuzione attesa

16 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia Il 2 ed i la significatività statisticaIl 2 ed i la significatività statistica Resta da stabilire il livello di significatività in corrispondenza ad esempio di un determinato valore di 2 (test statistici). Si è stabilito per convenzione internazionale che un livello di soglia delle probabilità pari a P<0.05 (5%) è statisticamente significativo P<0.01 (1%) è molto significativo P<0.001 (0.1%) è altamente significativo

17 La distribuzione del 2 Davide Grandi - Dottorato in Biologia

18 Altre distribuzioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia t di Studentt di Student Altra distribuzione campionaria utile per linferenza statistica, viene applicata a campioni di piccole dimensioni. Se una distribuzione segue la legge normale standardizzata è possibile ricavarne la varianza campionaria t di Student: dato Z=(x – m)/ e 2 inoltre è il numero di gradi di libertà corrispondente a N–1 (N numero di misure)

19 Altre distribuzioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia F di FisherF di Fisher Questa distribuzione campionaria corrisponde al rapporto di due variabili casuali 2 –indipendenti (A e B) divise per i rispettivi gradi di libertà (m ed n): È una generalizzazione della t di Student e vale: Ovvero il quadrato della t è una F con gradi di libertà 1 e


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