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Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica, Sezione INFN, Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI), OpenLab OpenLab Firenze -

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Presentazione sul tema: "Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica, Sezione INFN, Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI), OpenLab OpenLab Firenze -"— Transcript della presentazione:

1 Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica, Sezione INFN, Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI), OpenLab OpenLab Firenze - Le simmetrie nellarte 1Le simmetrie nell'arteNotte blu - Firenze - 9/05/2010

2 2Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Introduzione Introduzione Simmetrie e trasformazioni Simmetrie e trasformazioni Estensioni della simmetria (Escher) Estensioni della simmetria (Escher) Conclusioni Conclusioni

3 3Le simmetrie nell'arte9/05/2010

4 4Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Lunga storia nel pensiero umano ed usate con significati diversi. Secondo Hermann Weyl (La Simmetria - Feltrinelli 1962) essenzialmente due diversi significati: 1) Un modo piu antico in cui la parola simmetrico si riferisce a qualcosa di ben proporzionato, ben bilanciato, e simmetria indica una concordanza di varie parti che si integrano in un unico oggetto. Simmetrie

5 5Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Esempio piu famoso: Luomo vitruviano Tutte le parti del corpo umano sono strettamente correlate le une alle altre tramite dei rapporti fissati di proporzionalita Vitruvio ~ AC

6 6 Le simmetrie nell'arte9/05/2010 ) Identita tra destra e sinistra. Questa idea e strettamente geometrica e diversamente dalla vaga nozione precedente si puo dare a questa definizione un senso completamente preciso e rigoroso. Questa simmetria bilaterale appare come il primo caso di un concetto geometrico che fa riferimento ad operazioni come le riflessioni e le rotazioni. 2) Identita tra destra e sinistra. Questa idea e strettamente geometrica e diversamente dalla vaga nozione precedente si puo dare a questa definizione un senso completamente preciso e rigoroso. Questa simmetria bilaterale appare come il primo caso di un concetto geometrico che fa riferimento ad operazioni come le riflessioni e le rotazioni. Lidea di ben bilanciato porta al secondo significato di simmetria: Statua Greca IV Secolo AC

7 7Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Medio Impero, 12 a Dinastia (Al tempo di Sestorio III, AC) Gioiello di Sat-Hathor (Cairo, Museo Egizio) (quasi) bilaterale-simmetrico

8 8Le simmetrie nell'arte9/05/2010 L Di centrale importanza e stata la simmetria bilaterale del corpo umano che ha sicuramente stimolato molti artisti. I Sumeri apprezzavano particolarmente la simmetria bilaterale o Destra- Sinistra, D/S In seguito fu perfezionata nellaquila a doppia testa

9 9Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Emblema dellImpero Bizantino. Laquila a doppia testa allingresso del Patriarcato Ecumenico di Costantinopoli.

10 10Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Un quadrato e invariante rispetto a riflessioni sui 4 assi a rotazioni di 90 gradi ed alle loro combinazioni. In totale 4 rotazioni e 4 riflessioni.

11 11Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Invariante sotto due rotazioni di 180 gradi e 2 riflessioni. Meno simmetrico del quadrato. Simmetrico solo sotto una riflessione ed una rotazione di 360 gradi.

12 12Le simmetrie nell'arte9/05/2010

13 13Le simmetrie nell'arte11/03/2010 Teoria dei gruppi Una teoria matematica che include le trasformazioni, ma la sua origine e nella teoria delle equazioni algebriche. Évariste Galois (1811–1832) moria causa di ferite subite in un duello originato da circostanze oscure alleta di venti anni. Stette alzato tutta la notte prima del duello per comporre quello che sarebbe diventato il suo testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier in cui spiegava la sue idee sui gruppi. Hermann Weyl, ha detto del suo testamento, Questa lettera, per la profondita e originalita del suo contenuto, e forse tra gli scritti fondamentali di tutta la storia dellumanita Évariste Galois (1811–1832) moria causa di ferite subite in un duello originato da circostanze oscure alleta di venti anni. Stette alzato tutta la notte prima del duello per comporre quello che sarebbe diventato il suo testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier in cui spiegava la sue idee sui gruppi. Hermann Weyl, ha detto del suo testamento, Questa lettera, per la profondita e originalita del suo contenuto, e forse tra gli scritti fondamentali di tutta la storia dellumanita

14 14Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Le simmetrie corrispondono allinsieme di trasformazioni che lasciano invariante una figura. Piu simmetrie = piu proprieta di invarianza Ma quali sono le trasformazioni che possiamo effettuare? Per semplicita considereremo trasformazioni sul piano R.P. Feynman: Un oggetto e detto simmetrico, se gli possiamo fare qualcosa senza cambiarlo.

15 Trasformazioni elementari 159/05/2010Le simmetrie nell'arte Riflessione b in d

16 16Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Caravaggio – Narciso ( ) Palazzo Barberini Roma

17 17Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Lultima cena – Salvador Dali ( )

18 Rotazioni 189/05/2010Le simmetrie nell'arte b in q

19 Invariante per rotazioni di /3=120 0 Trinacria, la bandiera della Sicilia 199/05/2010Le simmetrie nell'arte

20 Rotazioni di /20=18 0 Museo del Bardo a Tunisi 209/05/2010Le simmetrie nell'arte

21 Traslazioni 219/05/2010Le simmetrie nell'arte b in b (in una posizione diversa)

22 Palazzo di Dario a Susa 229/05/2010Le simmetrie nell'arte

23 Glisso riflessioni 239/05/2010Le simmetrie nell'arte

24 24Le simmetrie nell'arte9/05/2010

25 Due riflessioni = rotazione 259/05/2010Le simmetrie nell'arte Le trasformazioni si possono combinare

26 26Le simmetrie nell'arte9/05/2010 UN RISULTATO MOLTO IMPORTANTE: Le simmetrie planari indipendenti sono date dalle precedenti trasformazioni: Riflessioni Rotazioni Rotazioni Traslazioni Traslazioni Glisso riflessioni Glisso riflessioni Le rotazioni e le traslazioni non cambiano lorientazione della figura, mentre le altre due lo fanno Questi due triangoli hanno orientazioni diverse. Non si possono sovrapporre usando rotazioni e/o traslazioni.

27 27Le simmetrie nell'arte9/05/2010

28 28Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Figure simmetriche si possono ottenere partendo da figure con nessuna simmetria!

29 29Le simmetrie nell'arte9/05/2010

30 30Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Le simmetrie dei rosoni si ottengono con rotazioni e riflessioni

31 31Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Riflessioni + Rotazioni = infinite trasf. Rosoni dellAlhambra

32 32Le simmetrie nell'arte9/05/2010

33 33Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Simmetrie dei fregi Riflessioni +Traslazioni in una dimensione + Glisso riflessioni in una dimensione

34 34Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Ci sono solo 7 simmetrie dei fregi

35 35Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Simmetrie di pavimentazione o tassellature del piano

36 Rotazioni, riflessioni + traslazioni + glisso riflessioni in due dimensioni 36Le simmetrie nell'arte9/05/2010

37 37Le simmetrie nell'arte9/05/2010

38 38Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Traslazioni Riflessioni 2 Riflessioni Glisso riflessioni Riflessioni + Glisso Rotazioni (180 0 ) Riflessioni + Rotazioni (180 0 ) + Rotazioni (180 0 ) + Rotazioni (180 0 ) Glisso 2 riflessioni TATASSELLATURESSELLATURETATASSELLATURESSELLATURE TATASSELLATURESSELLATURETATASSELLATURESSELLATURE L E 17POSSIBI L I

39 39Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Rotazioni (90 0 ) Rotazioni (90 0 ) + Rotazioni (90 0 ) + Riflessioni Riflessioni Rotazioni( ) Rotazioni (120 0 ) + Rotazioni (120 0 ) + Riflessioni Riflessioni Rotazioni (60 0 ) Rotazioni (60 0 ) + Riflessioni TASSSELLATASSSELLATURETURETASSSELLATASSSELLATURETURE LELE RIMANENTI RIMANENTILELE RIMANENTI RIMANENTI

40 40Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Esempi di simmetrie di tessallatura

41 41Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Maurits Cornelis Escher ( ), incisore e grafico, ebbe un interesse spiccato per la Geometria. Un interesse che si sviluppoanche grazie alla sua visita allAlhambra a 24 anni (1922). Nel 1926 lesse un libro di Polya sulla Teoria dei Gruppi. Non pote apprezzarne le parti piu matematiche ma rimase affascinato dalle 17 simmetrie planari delle tassellature. Inizio allora una serie di piu di 150 lavori sulla tassellatura regolare del piano. Ma Escher aggiunse una idea importante, luso del colore nel contesto della simmetria!

42 42Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Questa figura e ancora simmetrica ma in senso piu ampio. In questo modo si possono avere molte piu tassellature. Riflessione + cambio colore Se siete ciechi al colore e applicate una trasformazione ad una data figura cambiando contemporaneamente il colore, non vi accorgerete che il risultato e diverso da quello della sola trasformazione

43 43Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Larte di M.C. Escher Simmetrie: Traslazione Traslazione & Scambio di colore Traslazione & Riflessione Traslazione & Riflessione & Scambio di colore

44 44Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Ancora una estensione della Simmetria (Escher)

45 45Le simmetrie nell'arte9/05/2010 su uno spazio finito come un pezzo di carta. In precedenza aveva gia affrontato un simile problema Dopo tutti suoi lavori sulle tassellature regolari Escher comincio a chiedersi se fosse possibile rappresentare lintero piano con le sue tassellature su uno spazio finito come un pezzo di carta. In precedenza aveva gia affrontato un simile problema Sviluppo II (1939) Sviluppo II (1939) Sempre piu piccolo (1956) Prendendo figure sempre piu piccole dallesterno verso il centro, Escher otteneva una figura limitata ma partendo da un contorno arbitrario. Tutti questi disegni avevano un solo punto limite.

46 Un importante passo concettuale: associare alla trasformazione una compressione (dilatazione) 46Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Escher miglioro il risultato nel 1957 realizzando una figura con una linea limite. Divisione del pianoVI (1957)

47 47Le simmetrie nell'arte9/05/2010 1)Traslare il segmento 2)Dividere la lunghezza in 2 3)Contemporaneamente ridurre le proprie dimensioni di 2 Il segmento piu piccolo vi appare della stessa grandezza delloriginale. Siete diventato insensibile alla dimensione degli oggetti. Questa e una importante estensione matematica e porta al concetto di self-similarity ed alla moderna teoria dei frattali (Mandelbrot 1975). Questa idea risale a Leibniz (17 mo secolo) che peropensava in termini di rette. Il primo esempio non banale di una curva self-similar si deve a von Koch (1904).

48 48Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Ad ogni scala laspetto della curva non cambia Il fiocco di neve di Koch

49 49Le simmetrie nell'arte9/05/2010 L L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L Come trasformare una semi-retta (infinita) in un segmento Il punto limite di Escher si ottiene con traslazioni piu compressioni.

50 50Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Nel 1954 Escher incontro Coxeter ( ) in un meeting internazionale di matematica e gli espose i suoi problemi. Coxeter era un famoso geometra. In seguito, nel 1957, Coxeter invio a Escher una illustrazione del piano di Poincare, un modo per rappresentare una superficie infinita su una finita (un cerchio). Escher ebbe qualche difficolta con il testo di Coxeter, ma guardando la tassellatura triangolare del cerchio di Poincare, riusci a capire le regole del gioco.

51 51Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Il piano nel cerchio di Poincare Traslazioni Traslazioni + compressioni

52 52Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Cerchio Limite I- 1958Cerchio Limite II Cerchio Limite III Cerchio Limite IV Usando queste regole, Escher produsse quattro casi di cerchi limite. Ma Escher non era ancora soddisfatto dato che nella compressione si produceva una notevole deformazione delle immagini

53 53Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Quadrato limite anni piu tardi Escher trovo una soluzione. Partendo dal centro del quadrato e facendo delle compressioni in entrambe le direzioni. In questo modo ottenne delle figure self-similar e poteva rappresentare tutto il piano in un quadrato.Adesso la figura limite era un quadrato!

54 54Le simmetrie nell'arte9/05/2010

55 55Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Escher invio a Coxeter una bozza del suo quadrato e gli scrisse : Ho paura che largomento non sia troppo interessante sul piano matematico, non essendo altro che una tassellatura del piano. Daltra parte per me e stato un vero rompicapo trovare un modo per realizzarlo nella maniera piu semplice. Alcuni anni dopo, Thurstone, un matematico di Berkeley, al fine di illustrare lidea di una tassellatura self-similar usoun esempio molto simile al Quadrato limite, senza sapere niente di Escher.

56 56Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Le strutture self-similar hanno unadimensione frattale (generalizzazione della normale dimensione) che non e intera. Per esempio, la dimensione frattale della curva di Koch e (Log[4]/Log[3]) ~ 1.262, intermedia tra 1, una linea, and 2, un piano. In relazione ad Escher questa e una vera curiosita dato che lui ha sempre giocato con dimensioni diverse. Le sue figure impossibili sono state rese possibili disegnando oggetti 3- dimensionali su un foglio e quindi su un supporto a 2dimensioni!

57 57Le simmetrie nell'arte9/05/2010

58 58Le simmetrie nell'arte9/05/2010 Le simmetrie sono centrali in tutte le scienze (matematica, fisica, ecc.). E questo e particolarmente vero per le teorie moderne sulla materia e le sue interazioni. Le simmetrie sono centrali in tutte le scienze (matematica, fisica, ecc.). E questo e particolarmente vero per le teorie moderne sulla materia e le sue interazioni. Alcuni fisici pensano che questo derivi dallamore della natura per la bellezza e la simmetria e bellezza. Alcuni fisici pensano che questo derivi dallamore della natura per la bellezza e la simmetria e bellezza. In questo senso simmetria ed arte hanno un legame molto forte. In questo senso simmetria ed arte hanno un legame molto forte.


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