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Le simmetrie nell’arte

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Presentazione sul tema: "Le simmetrie nell’arte"— Transcript della presentazione:

1 Le simmetrie nell’arte
Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica, Sezione INFN, Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI), OpenLab Firenze - Notte blu - Firenze - 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

2 Sommario Introduzione Simmetrie e trasformazioni
Estensioni della simmetria (Escher) Conclusioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

3 Introduzione 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

4 Simmetrie Lunga storia nel pensiero umano ed usate con significati diversi. Secondo Hermann Weyl (“La Simmetria” - Feltrinelli 1962) essenzialmente due diversi significati: 1) Un modo piu’ antico in cui la parola simmetrico si riferisce a qualcosa di ben proporzionato, ben bilanciato, e simmetria indica una concordanza di varie parti che si integrano in un unico oggetto. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

5 Esempio piu’ famoso: L’uomo vitruviano
Tutte le parti del corpo umano sono strettamente correlate le une alle altre tramite dei rapporti fissati di proporzionalita’ 9/05/2010 Vitruvio ~ AC Le simmetrie nell'arte

6 L’idea di ben bilanciato porta al secondo significato di simmetria:
2) Identita’ tra destra e sinistra. Questa idea e’ strettamente geometrica e diversamente dalla vaga nozione precedente si puo’ dare a questa definizione un senso completamente preciso e rigoroso. Questa simmetria bilaterale appare come il primo caso di un concetto geometrico che fa riferimento ad operazioni come le riflessioni e le rotazioni. Statua Greca IV Secolo AC 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

7 Medio Impero, 12a Dinastia (Al tempo di Sestorio III, 1887-1842 AC)
Gioiello di Sat-Hathor (Cairo, Museo Egizio) (quasi) bilaterale-simmetrico 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

8 In seguito fu perfezionata nell’aquila a doppia testa
Di centrale importanza e’ stata la simmetria bilaterale del corpo umano che ha sicuramente stimolato molti artisti. I Sumeri apprezzavano particolarmente la simmetria bilaterale o Destra-Sinistra, D/S In seguito fu perfezionata nell’aquila a doppia testa 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

9 Emblema dell’Impero Bizantino
Emblema dell’Impero Bizantino. L’aquila a doppia testa all’ingresso del Patriarcato Ecumenico di Costantinopoli. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

10 Un quadrato e’ invariante rispetto a riflessioni sui 4 assi a rotazioni di 90 gradi ed alle loro combinazioni. In totale 4 rotazioni e 4 riflessioni. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

11 Simmetrico solo sotto una riflessione ed una rotazione di 360 gradi.
Invariante sotto due rotazioni di 180 gradi e 2 riflessioni. Meno simmetrico del quadrato. Simmetrico solo sotto una riflessione ed una rotazione di 360 gradi. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

12 Simmetrie e Trasformazioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

13 Teoria dei gruppi Una teoria matematica che include le trasformazioni, ma la sua origine e’ nella teoria delle equazioni algebriche. Évariste Galois (1811–1832) mori’a causa di ferite subite in un duello originato da circostanze oscure all’eta’ di venti anni. Stette alzato tutta la notte prima del duello per comporre quello che sarebbe diventato il suo testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier in cui spiegava la sue idee sui gruppi. Hermann Weyl, ha detto del suo testamento, “ Questa lettera, per la profondita’ e originalita’ del suo contenuto, e’ forse tra gli scritti fondamentali di tutta la storia dell’umanita’ ” 11/03/2010 Le simmetrie nell'arte

14 R.P. Feynman: Un oggetto e‘ detto simmetrico, se gli possiamo fare qualcosa senza cambiarlo.
Le simmetrie corrispondono all’insieme di trasformazioni che lasciano invariante una figura. Piu’ simmetrie = piu’ proprieta’ di invarianza Ma quali sono le trasformazioni che possiamo effettuare? Per semplicita’ considereremo trasformazioni sul piano 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

15 b in d Trasformazioni elementari Riflessione b d 9/05/2010
Le simmetrie nell'arte

16 Caravaggio – Narciso (1597-99) Palazzo Barberini Roma
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

17 L’ultima cena – Salvador Dali (1904-1989)
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

18 b Rotazioni b in q b 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

19 Invariante per rotazioni di 3600/3=1200
Trinacria, la bandiera della Sicilia Invariante per rotazioni di /3=1200 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

20 Museo del Bardo a Tunisi
Rotazioni di 3600/20=180 Museo del Bardo a Tunisi 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

21 b in b (in una posizione diversa)
Traslazioni b b b in b (in una posizione diversa) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

22 Palazzo di Dario a Susa 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

23 Glisso riflessioni b d d 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

24 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

25 Le trasformazioni si possono combinare
d Due riflessioni= rotazione b 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

26 Riflessioni Rotazioni Traslazioni Glisso riflessioni
UN RISULTATO MOLTO IMPORTANTE: Le simmetrie planari indipendenti sono date dalle precedenti trasformazioni: Riflessioni Rotazioni Traslazioni Glisso riflessioni Le rotazioni e le traslazioni non cambiano l’orientazione della figura, mentre le altre due lo fanno Questi due triangoli hanno orientazioni diverse. Non si possono sovrapporre usando rotazioni e/o traslazioni. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

27 Come si possono costruire Usando le trasformazioni!
figure simmetriche? Usando le trasformazioni! 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

28 Figure simmetriche si possono ottenere partendo da figure con nessuna simmetria!
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

29 Classificazione delle
simmetrie piane 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

30 Le simmetrie dei rosoni si ottengono con rotazioni e riflessioni
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

31 Riflessioni + Rotazioni = infinite trasf.
Rosoni dell’Alhambra 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

32 Escher: Rotazione (1800) + Riflessione
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

33 Riflessioni +Traslazioni in una dimensione
Simmetrie dei fregi Riflessioni +Traslazioni in una dimensione + Glisso riflessioni in una dimensione 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

34 Ci sono solo 7 simmetrie dei fregi
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

35 Simmetrie di pavimentazione o tassellature del piano
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

36 Rotazioni, riflessioni + traslazioni + glisso riflessioni in due dimensioni
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

37 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

38 LE 17 P O S I B L I T A SSELLATURE
Traslazioni Riflessioni Riflessioni Glisso riflessioni Riflessioni + Glisso Rotazioni (1800) Riflessioni Rotazioni (1800) Rotazioni (1800) + Rotazioni (1800) Glisso riflessioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

39 T A S S S E L L A TURE LE RIMANENTI
Rotazioni (900) Rotazioni (900) Rotazioni (900) + Riflessioni Riflessioni Rotazioni( 1200) Rotazioni (1200) Rotazioni (1200) + Riflessioni Riflessioni Rotazioni (600) Rotazioni (600) + Riflessioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

40 Maestro della tasselatura
Esempi di simmetrie di tessallatura Maestro della tasselatura 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

41 M.C. Escher Maurits Cornelis Escher ( ) , incisore e grafico, ebbe un interesse spiccato per la Geometria. Un interesse che si sviluppo’anche grazie alla sua visita all’Alhambra a 24 anni (1922). Nel 1926 lesse un libro di Polya sulla Teoria dei Gruppi. Non pote’ apprezzarne le parti piu’ matematiche ma rimase affascinato dalle 17 simmetrie planari delle tassellature. Inizio’ allora una serie di piu’ di 150 lavori sulla tassellatura regolare del piano. Ma Escher aggiunse una idea importante, l’uso del colore nel contesto della simmetria! Escher incisore e grafico olandese. Molte delle sue opere sono xilografie (incisioni su legno) o litografie (disegno su pietra calcare levigata e poi trattato con acqua e inchiostro. L’inchiostro rimane sul disegno. La pietra cosi trattata viene usata per la stampa su carta) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

42 Se siete ciechi al colore e applicate una trasformazione ad una data figura cambiando contemporaneamente il colore, non vi accorgerete che il risultato e’ diverso da quello della sola trasformazione Questa figura e’ ancora simmetrica ma in senso piu’ ampio. In questo modo si possono avere molte piu’ tassellature. Riflessione + cambio colore 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

43 L‘arte di M.C. Escher Simmetrie: Traslazione
Traslazione & Scambio di colore Traslazione & Riflessione Traslazione & Riflessione & Scambio di colore 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

44 Ancora una estensione della
Simmetria (Escher) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

45 Dopo tutti suoi lavori sulle tassellature regolari Escher comincio’ a chiedersi se fosse possibile rappresentare l’intero piano con le sue tassellature su uno spazio finito come un pezzo di carta. In precedenza aveva gia’ affrontato un simile problema Sviluppo II (1939) Sempre piu’ piccolo (1956) Prendendo figure sempre piu’ piccole dall’esterno verso il centro, Escher otteneva una figura limitata ma partendo da un contorno arbitrario. Tutti questi disegni avevano un solo punto limite. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

46 Divisione del pianoVI (1957)
Escher miglioro’ il risultato nel 1957 realizzando una figura con una linea limite. Un importante passo concettuale: associare alla trasformazione una compressione (dilatazione) Divisione del pianoVI (1957) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

47 Traslare il segmento Dividere la lunghezza in 2 Contemporaneamente ridurre le proprie dimensioni di 2 Il segmento piu’ piccolo vi appare della stessa grandezza dell’originale. Siete diventato insensibile alla dimensione degli oggetti. Questa e’ una importante estensione matematica e porta al concetto di self-similarity ed alla moderna teoria dei frattali (Mandelbrot 1975). Questa idea risale a Leibniz (17mo secolo) che pero’pensava in termini di rette. Il primo esempio non banale di una curva self-similar si deve a von Koch (1904). 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

48 La curva di Koch Ad ogni scala l’aspetto della curva non cambia
Il fiocco di neve di Koch 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

49 Come trasformare una semi-retta (infinita) in un segmento
Il punto limite di Escher si ottiene con traslazioni piu’ compressioni. Come trasformare una semi-retta (infinita) in un segmento L L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

50 Nel 1954 Escher incontro’ Coxeter ( ) in un meeting internazionale di matematica e gli espose i suoi problemi. Coxeter era un famoso geometra. In seguito, nel 1957, Coxeter invio’ a Escher una illustrazione del piano di Poincare’, un modo per rappresentare una superficie infinita su una finita (un cerchio). Escher ebbe qualche difficolta’ con il testo di Coxeter, ma guardando la tassellatura triangolare del cerchio di Poincare’, riusci’ a capire le regole del gioco. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

51 Il piano nel cerchio di Poincare’
Traslazioni Traslazioni + compressioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

52 Usando queste regole, Escher produsse quattro casi di cerchi limite.
Cerchio Limite I- 1958 Cerchio Limite II Ma Escher non era ancora soddisfatto dato che nella compressione si produceva una notevole deformazione delle immagini Cerchio Limite III Cerchio Limite IV 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

53 4 anni piu’ tardi Escher trovo’ una soluzione
4 anni piu’ tardi Escher trovo’ una soluzione. Partendo dal centro del quadrato e facendo delle compressioni in entrambe le direzioni. In questo modo ottenne delle figure self-similar e poteva rappresentare tutto il piano in un quadrato.Adesso la figura limite era un quadrato! Quadrato limite -1964 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

54 Costruzione del quadrato limite
9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

55 Escher invio’ a Coxeter una bozza del suo quadrato e gli scrisse : “Ho paura che l’argomento non sia troppo interessante sul piano matematico, non essendo altro che una tassellatura del piano. D’altra parte per me e’ stato un vero rompicapo trovare un modo per realizzarlo nella maniera piu’ semplice.” Alcuni anni dopo, Thurstone, un matematico di Berkeley, al fine di illustrare l’idea di una tassellatura self-similar uso’un esempio molto simile al “Quadrato limite”, senza sapere niente di Escher. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

56 Le strutture self-similar hanno una “dimensione frattale” (generalizzazione della normale dimensione) che non e’ intera. Per esempio, la dimensione frattale della curva di Koch e’ (Log[4]/Log[3]) ~ 1.262, intermedia tra 1, una linea, and 2, un piano. In relazione ad Escher questa e’ una vera curiosita’ dato che lui ha sempre giocato con dimensioni diverse. Le sue “figure impossibili” sono state rese “possibili” disegnando oggetti 3-dimensionali su un foglio e quindi su un supporto a 2dimensioni! 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

57 Il cubo di Escher 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

58 Conclusioni Le simmetrie sono centrali in tutte le scienze (matematica, fisica, ecc.). E questo e’ particolarmente vero per le teorie moderne sulla materia e le sue interazioni. Alcuni fisici pensano che questo derivi dall’amore della natura per la bellezza e la simmetria e’ bellezza. In questo senso simmetria ed arte hanno un legame molto forte. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte


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