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Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilità continue Davide Grandi.

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Presentazione sul tema: "Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilità continue Davide Grandi."— Transcript della presentazione:

1 Corso di biomatematica Lezione 3: Distribuzioni di probabilità continue Davide Grandi

2 Sommario Distribuzioni di probabilità continue: Definizioni Funzione distribuzione cumulativa Densità di probabilità Continue - esempi La distribuzione di gauss-introduzione

3 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione di distribuzione cumulativaFunzione di distribuzione cumulativa La funzione di distribuzione cumulativa per una variabile aleatoria continua X è definita come la probabilità che la variabile X assuma un valore minore di un determinato valore x: P(X

4 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione di distribuzione cumulativaFunzione di distribuzione cumulativa Le sue proprietà fondamentali sono: F(X) è una funzione non decrescente, cioè per x 2 > x 1 si ha F(x 2 ) F(x 1 ) Quando largomento della funzione tende a la funzione di distribuzione tende a zero, F( )= 0 Quando invece largomento tende a + la funzione di distribuzione tende a uno, F(+ )= 1

5 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione di distribuzione cumulativa :esempioFunzione di distribuzione cumulativa :esempio Supponiamo di avere una variabile aleatoria discreta che assume solo cinque valori: le probabilità di ottenere i singoli valori siano: Andiamo ora a costruire la funzione di distribuzione cumulativa, ovvero F(X)= P(X

6 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione di distribuzione cumulativa :esempioFunzione di distribuzione cumulativa :esempio Otteniamo dunque: E il grafico di tale funzione è:

7 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione di distribuzione cumulativa :esempioFunzione di distribuzione cumulativa :esempio Ovvero la funzione di distribuzione cumulativa è sempre una funzione a gradino (per distribuzioni discrete di probabilità) i cui salti sono ovviamente in corrispondenza dei valori possibili della variabile, la somma di tutti i salti è uno (assioma probabilità). Per una distribuzione continua aumentano i valori possibili e diminuiscono gli intervalli, per cui la funzione di distribuziuone cumulativa diventa una funzione continua (sempre crescente) caratteristica delle variabili aleatorie continue.

8 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione densità di probabilitàFunzione densità di probabilità Definita la funzione di distribuzione cumulativa, vediamo di considerare la probabilità che la mia variabile aleatoria assuma valori in un intervallo con estremi per x 1 e x 2 : P(x 1 X < x 2 ) = F(x 2 ) – F(x 1 ) Esprimo la probabilità di questo evento attraverso i seguenti 3 eventi: Evento A corrispondente a X< x 2 Evento B corrispondente a X< x 1 Evento C corrispondente a x 1 X < x 2

9 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione densità di probabilitàFunzione densità di probabilità Avremo che levento A si può esprimere come come la somme degli altri due, cioè A=B+C e per il teorema di addizione delle probabilità avremo: P(X < x 2 ) = P(X < x 1 ) + P(x 1 X < x 2 ) d a cui ricavo la formula P(x 1 X < x 2 ) = F(x 2 ) – F(x 1 ) Facendo tendere x 0 Calcoliamo il rapporto tra la differenza della funzione di distribuzione cumulativa e lintervallo stesso (derivata) ovvero…

10 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Funzione densità di probabilitàFunzione densità di probabilità Abbiamo si definisce quindi funzione di distribuzione o densità di probabilità: La funzione p(x) caratterizza la densità di probabilità dei valori in un punto x (esprimo la legge della distribuzione)

11 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Condizione di normalizzazioneCondizione di normalizzazione la condizione di normalizzazione è la generalizzazione al caso continuo del terzo assioma della probabilità, e dal fatto che F(+ )= 1 abbiamo:

12 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione uniformeDistribuzione uniforme Variabili aleatorie di cui è noto a priori che i loro valori possibili appartengono ad un dato intervallo e allinterno di questo intervallo tutti i valori sono equiprobabili si dicono uniformemente distribuite. Considero la variabile aleatoria X soggetta ad una legge di distribuzione uniforme nellintervallo ( ) e scrivo la densità di probabilità p(X), che deve essere costante nellintervallo e nulla al di fuori, cioè p(X)= c per

13 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione uniformeDistribuzione uniforme Per la condizione di normalizzazione avremo che larea delimitata dalla curva sarà uguale allunità, ovvero: c Da cui risulta c=1/ Ovvero la distribuzione di probabilità sarà: p(X)= 1/ per

14 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Proprietà della distribuzione uniformeProprietà della distribuzione uniforme Le caratteristiche fondamentali della distribuzione aleatoria sono: Il valor medio vale La deviazione standard vale:

15 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzioni limiteDistribuzioni limite Posso parlare di distribuzioni limite se il numero di eventi tende allinfinito (o comunque è sufficientemente grande….). Dopo un certo numero di eventi i risultati ottenuti si disporranno secondo una determinata distribuzione, che diventerà sempre più evidente al crescere del numero di eventi.. Ad esempio vediamo i seguenti istogrammi nel caso in cui si siano effettuate 10, 100 e 1000 misure della stessa grandezza

16 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzioni limiteDistribuzioni limite

17 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Esempio come ottenere la distribuzione di GaussEsempio come ottenere la distribuzione di Gauss Lanciamo un dado e calcoliamo la frequenza con cui escono i numeri da 1 a 6, dopo un numero abbastanza grande di ripetizioni. Ora lanciamo due dadi, facciamo la somma e vediamo con che frequenza escono i numeri da 2 a 12, dopo un numero abbastanza grande di ripetizioni. Ora lanciamo 3 dadi, facciamo la somma e vediamo con che frequenza escono i numeri da 3 a 18

18 Distribuzioni continue Davide Grandi - Dottorato in Biologia Esempio come ottenere la distribuzione di GaussEsempio come ottenere la distribuzione di Gauss Lanciamo N dadi e vediamo con che frequenza escono i numeri da N a 6N. Rappresentiamo il tutto su dei grafici. Al limite di infinite misure la frequenza più probabile sarà……. N, 6N,6N/2?


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