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Il problema della quadratura Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole valutare lintegrale: a partire dai valori della funzione.

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Presentazione sul tema: "Il problema della quadratura Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole valutare lintegrale: a partire dai valori della funzione."— Transcript della presentazione:

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2 Il problema della quadratura Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole valutare lintegrale: a partire dai valori della funzione integranda f(x) in un insieme di punti compresi nellintervallo di integrazione In tutti i metodi di quadratura si effettua una somma di valori della funzione integranda Un buon metodo di quadratura deve: valutare lintegrale con la maggior precisione possibile sfruttare il minor numero possibile di valori della funzione integranda

3 Notazioni Supponiamo di avere una serie di N ascisse equispaziate x 1, x 2,..., x N : x 1 =a; x N =b h = distanza tra ciascuna coppia di ascisse (b-a) = (N-1)h x k =x k +(k-1)h con k=1,...,N poniamo f(x i )=f i Formule chiuse: utilizzano nel calcolo i valori di f 1 e f N Formule aperte: non utilizzano nel calcolo uno o entrambi i valori di f1 e f N possono essere utili se il valore di f in uno degli estremi di integrazione è infinito (purché la singolarità sia integrabile) x 1 =ax2x2 x N =b x y xixi f i =f(x i ) h

4 Regola del trapezio Consiste nellapprossimare lintegrale nellintervallo tra x j e x j+1 nel modo seguente: Se f(x)0, tale valore rappresenta larea del trapezio di basi f j e f j+1 e altezza h in sostanza, nellintervallo tra x j e x j+1 la f(x) viene approssimata da un polinomio di primo grado Il valore dellintegrale calcolato con la regola del trapezio differisce dal valore vero per un termine che è dellordine di h 3 per la derivata seconda della funzione calcolata in un punto (non noto) dellintervallo [x j,x j+1 ] La formula del trapezio è esatta per polinomi fino al primo grado

5 Regola del trapezio estesa Utilizziamo la regola del trapezio N-1 volte negli intervalli [x 1,x 2 ], [x 2,x 3 ],..., [x N-1,x N ]: nel calcolo precedente si è assunto N-1N, il che è vero per N grande La precisione migliora con il quadrato del numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppiando i punti lerrore diminuisce di un fattore 4

6 Applicazione della regola del trapezio Si procede per approssimazioni successive: nella prima iterazione si utilizzano i valori di f(x) negli estremi di integrazione nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2 n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dalliterazione precedente alla n-esima iterazione lintervallo di integrazione risulta diviso in 2 n-1 intervalli elementari iterazioni

7 Implementazione dellalgoritmo (1) Poniamo b-a=Δ e indichiamo con I n lintegrale calcolato nella n-esima iterazione. Alla prima iterazione si ha: Alla seconda iterazione avremo: Alla terza iterazione si avrà:

8 Implementazione dellalgoritmo (2) Generalizzando il risultato trovato in precedenza possiamo concludere che: Poiché nel passare da uniterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 4. In generale, la procedura iterativa viene fermata quando: dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

9 Esempi (1) Supponiamo di voler calcolare lintegrale con una precisione ε= Si ha: Iterazione (n)InIn

10 Esempi (2) Supponiamo di voler calcolare lintegrale con una precisione ε= Si ha: Iterazione (n)InIn

11 Regola di Simpson (1) Consideriamo lintervallo tra x j-1 e x j+1 Usiamo la seguente notazione: x j-1 =x j -h; f(x j-1 )=f j-1 f(x j )=f j x j+1 =x j +h; f(x j+1 )=f j+1 Nellintervallo in esame approssimiamo la f(x) con una parabola passante per i tre punti (x j-1,f j-1 ), (x j,f j ), (x j+1,f j+1 ): scrivendo lequazione della parabola in questa forma è automaticamente rispettata la condizione f(x j )=f j I coefficienti a e b si determinano imponendo le condizioni; f(x j -h)=f j-1 f(x j +h)=f j+1

12 Regola di Simpson (2) Lintegrale tra x j-1 e x j+1 della f(x) è dato da: xjxj x j+1 x j-1 fjfj f j+1 f j-1 hh x y

13 Regola di Simpson (3) Calcoliamo quindi il coefficiente b: Sommando membro a membro le due equazioni si ha: Sostituendo il valore di b nella formula dellintegrale: Il valore dellintegrale calcolato con la formula di Simpson differisce dal valore vero per un termine che è dellordine di h 5 per la derivata quarta della funzione calcolata in un punto (non noto) dellintervallo [x j,x j+1 ] La formula di Simpson è esatta per polinomi fino al terzo grado

14 Formula di Simpson estesa Dividiamo lintervallo [a,b] negli (N-1)/2 intervalli: [x 1,x 3 ], [x 3,x 5 ],..., [x N-2,x N ] a=x 1 ; b=x N h=(b-a)/(N-1) Si ha: x a=x 1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x N-2 x N-1 x N =b... 2h

15 Applicazione della regola di Simpson Lalgoritmo è molto simile a quello usato per la regola del trapezio Anche in questo caso si procede per approssimazioni successive: nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2 n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dalliterazione precedente alla n-esima iterazione lintervallo di integrazione risulta diviso in 2 n-1 intervalli elementari nella n-esima iterazione si sfrutta il risultato ottenuto con la regola del trapezio nelliterazione precedente iterazioni

16 Implementazione dellalgoritmo (1) Poniamo ancora b-a=Δ Per la n-esima iterazione poniamo: S n = integrale calcolato con la regola di Simpson T n = integrale calcolato con la regola del trapezio Alla prima iterazione si ha: notare che S 1 =0 perché nella prima iterazione si considerano solo due punti, mentre per applicare la regola di Simpson ne occorrono tre

17 Implementazione dellalgoritmo (2) Alla seconda iterazione si ha: Alla terza iterazione si ha:

18 Implementazione dellalgoritmo (3) Alla n-esima iterazione si avrà: Poiché nel passare da uniterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 16. Come nel caso precedente, la procedura iterativa viene fermata quando: dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

19 Esempi (1) Supponiamo di voler calcolare lintegrale con una precisione ε= Si ha: Iterazione (n)TnTn SnSn

20 Esempi (2) Supponiamo di voler calcolare lintegrale con una precisione ε= Si ha: Iterazione (n)TnTn SnSn

21 Calcolo di integrali impropri Casi di integrali impropri estesi ad intervalli finiti: la funzione integranda ha limite finito in uno degli estremi di integrazione, ma non può essere calcolata (esempio sinx/x per x 0) la funzione ha limite superiore + e/o limite inferiore - la funzione ha una singolarità integrabile in uno dei due estremi di integrazione (esempio x -1/2 per x 0) la funzione ha una singolarità integrabile in un punto noto dellintervallo di integrazione (ci si può ricondurre al caso precedente) la funzione ha una singolarità integrabile in un punto non noto dellintervallo di integrazione (questo caso non verrà studiato) In tutti i casi in esame, per poter effettuare il calcolo, è necessario che lintegrale esista e sia finito se lintegrale non esiste oppure è infinito, qualunque procedura di calcolo sarà priva di senso e darà risultati errati! Studieremo il calcolo di integrali impropri con una singolarità in corrispondenza di uno degli estremi di integrazione (o di entrambi) in tal caso non è possibile usare una formula chiusa, perché implicherebbe il calcolo del valore della funzione integranda in corrispondenza della singolarità

22 Regola del punto medio La regola del punto medio consiste nellapprossimare lintegrale tra x j e x j+1 nel modo seguente: ove f j+1/2 è il valore della funzione nel punto medio dellintervallo [x j,x j+1 ] se f(x)>0, lintegrale viene approssimato con larea del rettangolo di base h=x j+1 -x j e altezza f j+1/2 x y xjxj x j+1 x j+1/2 fjfj f j+1/2 f j+1

23 Regola estesa del punto medio Dividiamo lintervallo [a,b] negli N-1 intervalli: [x 1,x 2 ], [x 2,x 3 ],..., [x N-1,x N ] a=x 1 ; b=x N h=(b-a)/(N-1) Si ha: x a=x 1 x 3/2 x2x2 x 5/2 x3x3 x N-1 x N-1/2 x N =b... hhh

24 Applicazione della regola del punto medio (1) Lalgoritmo è simile a quelli visti per la regola del trapezio e per la regola di Simpson In questo caso, però, per poter usare il risultato ottenuto dopo ogni iterazione come punto di partenza per literazione successiva, in ciascuna iterazione occorrerà suddividere gli intervalli di partenza in 3 parti invece che in 2 questa complicazione nasce dal fatto che si utilizzano i valori della funzione nei punti medi di ciascun intervallo invece che negli estremi

25 Applicazione della regola del punto medio (2) nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2 3 n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi dei nuovi intervalli alla n-esima iterazione lintervallo di integrazione risulta diviso in 3 n-1 intervalli elementari in ciascuna iterazione si sfrutta il risultato ottenuto nelliterazione precedente iterazioni

26 Implementazione dellalgoritmo (1) Lintegrale calcolato nella n-esima iterazione è: dove Δ=b-a Occorre cercare una formula ricorsiva che permetta di legare I n+1 a I n Applicando la definizione precedente si ha:

27 Implementazione dellalgoritmo (2) La sommatoria con lindice k che varia da 1 a 3 n può essere spezzata in 3 sommatorie distinte: nella prima raggruppiamo i termini con k=1,4,7,...,3 n -2 in tali termini k=3k 1 -2 con k 1 =1,2,...,3 n-1 nella seconda raggruppiamo i termini con k=2,5,8,...,3 n -1 in tali termini k=3k 2 -1 con k 2 =1,2,...,3 n-1 nella terza raggruppiamo i termini con k=3,6,9,...,3 n in tali termini k=3k 3 con k 3 =1,2,...,3 n-1

28 Implementazione dellalgoritmo (3) Nel passare da uniterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo viene triplicato, e dunque la precisione del calcolo migliora di un fattore 9. Come negli altri casi, la procedura iterativa viene fermata quando: dove ε è la precisione richiesta per il calcolo Lalgoritmo sviluppato per il calcolo di integrali impropri può essere usato anche per il calcolo di integrali normali Il tempo di calcolo richiesto per un integrale improprio è in genere maggiore rispetto a quello richiesto per un integrale normale per via della singolarità

29 Esempio Supponiamo di voler calcolare lintegrale improprio con una precisione ε= Si ha: Iterazione (n)InIn


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