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G.M. - Edile A 2002/03 Il centro di massa di corpi simmetrici Centro di massa di una sbarra omogenea x x1x1 x2x2 Asse di simmetria Centro di simmetria.

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1 G.M. - Edile A 2002/03 Il centro di massa di corpi simmetrici Centro di massa di una sbarra omogenea x x1x1 x2x2 Asse di simmetria Centro di simmetria Centro di massa di una disco omogeneo

2 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Lelemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa m s =0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa m d =1kg di 20cm di diametro. Determinare la posizione del CM. CM della sbarra (0,0.45m) m s =0.5kg CM del Disco (0,0.1m) m d =1kg x y x y

3 G.M. - Edile A 2002/03 Il centro di massa di corpi continui x y z r dm

4 G.M. - Edile A 2002/03 La velocità del centro di massa Se i vari punti materiali si muovono Anche il centro di massa si muoverà Calcoliamo la sua velocità

5 G.M. - Edile A 2002/03 Laccelerazione del centro di massa Possiamo anche calcolarci laccelerazione del centro di massa

6 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Unauto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s 2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa lauto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s? Quale sarà la sua velocità? x O t=0 x O t=3s

7 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Unauto di massa 1000 kg è ferma ad un semaforo. Quando viene il verde (t=0s) parte con una accelerazione costante di 4 m/s 2. Nello stesso istante sopraggiunge con velocità costante di 8m/s un camion di massa 2000kg che sorpassa lauto. A che distanza dal semaforo si troverà il centro di massa del sistema auto camion per t=3.0s? Quale sarà la sua velocità? x O t=0

8 G.M. - Edile A 2002/03 Ricapitoliamo

9 G.M. - Edile A 2002/03 dalla definizione di accelerazione del CM Il teorema del centro di massa Forze interne –Le forze dovute alle altre particelle che fanno parte del sistema di punti materiali Forze esterne –Le forze dovute alle altre particelle che non fanno parte del sistema di punti materiali

10 G.M. - Edile A 2002/03 Il teorema del centro di massa La risultante delle forze interne è nulla –Le forze interne sono a coppia Risultante delle forze esterne Risultante delle forze interne –Ogni coppia ha risultante nulla –La risultante è la somma di tanti termini tutti nulli –Il caso di n=3

11 G.M. - Edile A 2002/03 Il teorema del centro di massa Laccelerazione del centro di massa è dovuta alle sole forze esterne. il centro di massa si muove come un punto materiale, avente una massa pari alla massa totale del sistema, sottoposto all'azione della risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema. Il moto dellautomobile è determinato dalle forze esterne: la forza peso, la normale esercitata dallasfalto, la forza di attrito esercitata dallasfalto, la resistenza passiva offerta dallaria I singoli punti possono avere un moto complicato Il moto del centro di massa è influenzato dalle sole forze esterne Il moto del centro di massa rappresenta il moto di insieme del sistema

12 G.M. - Edile A 2002/03 La quantità di moto La quantità di moto di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le quantità di moto di ciascun punto materiale Ricordando lespressione della velocità del centro di massa La quantità di moto di un sistema di punto materiali è proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa –Centro di massa: massa pari alla massa totale del sistema velocità uguale alla velocità del centro di massa Per quanto riguarda la quantità di moto, il centro di massa rappresenta completamente il sistema di particelle.

13 G.M. - Edile A 2002/03 I equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali La derivata della quantità di moto di un sistema di punti materiali è uguale alla risultante delle sole forze esterne È equivalente al teorema del centro di massa

14 G.M. - Edile A 2002/03 La conservazione della quantità di moto Se la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso. Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva. La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di Newton Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della meccanica classica.

15 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Unastronave di massa totale M sta viaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità v i =2100km/h rispetto al sole. Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa u=500km/h rispetto allastronave, diretta lungo lasse x. Quanto diventa la velocità dellastronave rispetto al sole? Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole. Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle. La quantità di moto si conserva. La quantità di moto iniziale è diretta lungo lasse x La quantità di moto finale dello stadio posteriore è anchessa diretta lungo lasse x Anche la quantità di moto del resto dellastronave sarà diretta lungo lasse x Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale

16 G.M. - Edile A 2002/03 La conservazione parziale della quantità di moto La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione vettoriale Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla –È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli –Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto

17 G.M. - Edile A 2002/03 Dai moti relativi Applic azione Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale. Allinizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra con velocità v o. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se luomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità v rel rispetto al vagone? Si assuma v o =1m/s, v rel =5m/s, m=70kg, M=1000kg. Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale). In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso delluomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale). Però le forze sono tutte verticali Si conserva la quantità di moto orizzontale, in particolare quella diretta secondo i binari. x v u velocità delluomo rispetto ai binari

18 G.M. - Edile A 2002/03 Urti Si parla di urti quando due punti materiali (o due sistemi di punti materiali) si scambiano energia e quantità di moto in un tempo estremamente breve. Le forze agenti sulle particelle interagenti sono estremamente intense (forze impulsive!!)

19 G.M. - Edile A 2002/03 Fasi dellurto fase iniziale prima dellurto: in cui esiste un moto imperturbato. Poiché lurto è istantaneo, le particelle, nella fase dellurto, non si spostano. Il CM si trova sempre sul segmento che congiunge le due particelle. Lurto avviene nel CM fase dellurto: –La durata di questa fase è piuttosto piccola rispetto alla durata complessiva del moto. –Si produce quindi una brusca variazione nel moto dei due sistemi interagenti –È caratterizzata dalla presenza di forze molto intense. fase successiva all'urto: dopo l'interazione, lo stato di moto continua ad essere di nuovo imperturbato.

20 G.M. - Edile A 2002/03 Impulso della forza Durante lurto le forze che agiscono sulle particelle interagenti hanno una intensità molto grande (tendente allinfinito). –Sono difficili da descrivere. –Quello che è importante è leffetto prodotto Consideriamo una delle due particelle interagenti –La particella 1 –La sua variazione di quantità di moto, prodotta dalla forza F 12, vale: 1 2 F 12 F 21 Si definisce Impulso della forza F 12 la quantità: Rappresentato dallarea sotto la curva La stessa variazione di quantità di moto può essere ottenuta con una forza molto intensa che dura molto poco, o da una forza meno intensa che agisce per un tempo piu lungo.

21 G.M. - Edile A 2002/03 Forza media La forza media è la forza costante che, agendo nellintervallo tra t 1 e t 2, provoca la stessa variazione di quantità di moto della forza F 12 : 1 2 F 12 F 21 Limpulso in questo caso è rappresentato dallarea del rettangolo di base t e altezza F 12m larea del rettangolo di base t e altezza F 12m è uguale allarea sotto la curva dellintensità della forza in funzione del tempo

22 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di muratura prima di fermarsi Di quanto si riduce lenergia meccanica della pallottola? Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre penetrava nella parete? Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi? Prima Le forze agenti sono: La forza peso (fa lavoro nullo) La Normale (fa lavoro nullo) La forza di attrito(dinamico) Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio per descrivere il moto: la parete è ferma in tale sistema il sistema di riferimento è inerziale Dopo Lenergia meccanica totale coincide con lenergia cinetica. Nellipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non cè variazione dellenergia potenziale della forza peso Circa 100 mila volte il peso x

23 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Per calcolaci tempo ha impiegato dalla pallottola per fermarsi, valutiamo limpulso della forza. Prima Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi Dopo La quantità di moto finale è nulla Quella iniziale ha solo la componente x Anche limpulso avrà solo la componente x Questo semplice esempio mostra come le forze negli urti siano molto intense I tempi dellinterazione siano piuttosto piccoli x

24 G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione dei problemi di urto Sistema isolato Consideriamo dapprima un urto, in cui le particelle interagenti sono così lontane da altre particelle da poter considerare nulle le forze esterne (sistema isolato) Dalla I equazione cardinale dei sistemi ricaviamo che la quantità di moto totale del sistema di particelle interagenti si deve conservare. 1 2 F 12 F 21 Sistema delle particelle interagenti

25 G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione dei problemi di urto in presenza di forze esterne Consideriamo ora il caso in cui le particelle interagenti durante lurto sono sottoposte anche ad alcune forze esterne. La variazione della quantità di moto subita da ciascuna particelle tra t 1 e t 2 sarà data da: 1 2 F 12 F 21 Sistema delle particelle interagenti F 2 est F 1 est Se durante lurto la forza esterna è trascurabile rispetto a quella interna Bisogna assicurarsi che le forze esterne, durante lurto non diventino impulsive

26 G.M. - Edile A 2002/03 Forze esterne impulsive Quali forze mi possono dare fastidio? Quali forze durante lurto possono diventare impulsive? Tutte quelle forze per cui non abbiamo travato una espressione per calcolare il loro valore! Forze che conservano una intensità finita durante lurto: –Forza peso –Forza elastica –Gravitazione universale –Resistenza passiva Forze che possono diventare impulsive durante lurto: –Componente normale della reazione vincolare N –Forze di attrito (attraverso il loro legame con la normale N) –Tensione nelle funi

27 G.M. - Edile A 2002/03 Conservazione della quantità di moto Se le forze esterne sono nulle o trascurabili rispetto a quelle impulsive interne Si conserva la quantità di moto del sistema delle particelle interagenti. 1 2 F 12 F 21 Sistema delle particelle interagenti 1 2 v1v1 v2v2 1 2 v1v1 v2v2 Conoscendo le velocità iniziali, si possono determinate le velocità delle particelle dopo lurto? 3 equazioni con 6 incognite

28 G.M. - Edile A 2002/03 Istante iniziale e finale nello studio dei processi durto Se le forze esterne sono assenti allora –Le due particelle sono sottoposte solo allazione delle forze interne che esistono solo durante lurto. –Sia prima che dopo lurto non sono soggette a forze: si muovono di moto rettilineo uniforme, con quantità di moto costante. –i e f possono essere due istanti qualsiasi prima e dopo lurto. In presenza di forze esterne invece –i e f devono essere listante immediatamente prima dellurto e quello immediatamente dopo lurto. –Se si allunga lintervallo di osservazione La variazione della quantità di moto prodotta dalla forza esterna potrebbe non essere più trascurabile rispetto a quella prodotta dalla forza interna. Non cè più conservazione della quantità di moto

29 G.M. - Edile A 2002/03 Moto del centro di massa in un processo durto Se nellurto si conserva la quantità di moto Il centro di massa si muove con velocità costante: Il Sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento inerziale –Molto utile per risolvere i problemi durto.

30 G.M. - Edile A 2002/03 Conservazione parziale della quantità di moto Se tra le forze esterne agenti sulle particelle che si urtano cè una forza che, durante lurto potrebbe diventare impulsiva (reazione vincolare, tensione, etc) Non è lecito applicare la conservazione della quantità di moto. In alcuni casi però è possibile stabilire a priori la direzione della forza impulsiva Vuol dire che si conserveranno le componenti della quantità di moto nelle direzioni perpendicolari a quella della forza impulsiva

31 G.M. - Edile A 2002/03 Urti elastici o anelastici Dal punto di vista dellenergia gli urti si classificano –Elastici Se lenergia cinetica si conserva –Anelastici Quando non si conserva lenergia cinetica Nota Bene: Solo lenergia cinetica è importante. Infatti: –Se non ci sono forze esterne non cè energia potenziale –Comunque durante lurto la posizione delle particelle non varia, non varia neppure lenergia potenziale. Nel caso di urti anelastici, lenergia cinetica può –sia diminuire (viene trasformata in altre forme di energia: energia interna dei corpi, riscaldamento dei corpi) –ma anche aumentare (lenergia interna dei corpi viene trasformata in energia meccanica: esplosioni) Urti completamente anelastici –Quando viene persa tutta lenergia cinetica che è possibile perdere compatibilmente con la conservazione della quantità di moto. N.B. non cè alcuna correlazione tra la conservazione dellenergia e quella della quantità di moto

32 G.M. - Edile A 2002/03 Urti completamente anelastici Sono quegli urti in cui si perde tutta lenergia cinetica che è possibile perdere compatibilmente con la conservazione della quantità di moto Le due particelle nello stato finale hanno velocità nulla rispetto al centro di massa Poiché al momento dellurto, entrambe le particelle si trovavano nella posizione del centro di massa Le due particelle emergono dallurto unite insieme e si muovono con la velocità del CM

33 G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione dellurto completamente anelastico Consideriamo un urto completamente anelastico in cui si conserva la quantità di moto (non ci sono forze esterne impulsive) A cui possiamo aggiungere lulteriore condizione: Abbiamo tre equazioni con tre incognite –Il problema ammette soluzione Velocità del CM

34 G.M. - Edile A 2002/03 Il pendolo balistico Veniva usato per misurare la velocità dei proiettili sparati da unarma da fuoco. Consiste in un blocco di legno (o sacco di sabbia) appeso al soffitto con una corda di lunghezza l Il proiettile penetra nel blocco di legno e si ferma rispetto al blocco (lurto è completamente anelastico) Blocco e proiettile, insieme, dopo lurto cominceranno ad oscillare come un pendolo Misurando lampiezza delle oscillazioni, dalla conoscenza degli altri parametri in gioco, massa del blocco, massa del proiettile e lunghezza del pendolo, è possibile risalire alla velocità iniziale del proiettile

35 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tuttuno con esso. Determinare la perdita di energia meccanica nellurto. Determinare lelongazione massima del pendolo Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dellurto Verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante lurto è trascurabile. Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo lurto.

36 G.M. - Edile A 2002/03 Il pendolo balistico: analisi delle forze Le forze peso non sono impulsive La tensione potrebbe diventare impulsiva durante lurto. Non possiamo imporre la conservazione della quantità di moto Poiché lurto dura poco, la posizione del pendolo durante lurto non varia –Il filo durante lurto resta verticale Tutte le forze esterne durante lurto sono verticali Si conserva la componente della quantità di moto orizzontale. In particolare:

37 G.M. - Edile A 2002/03 Energia persa nellurto Quasi tutta lenergia cinetica viene persa durante lurto a causa delle forze di attrito che si oppongono alla penetrazione del proiettile nel blocco di legno. x = penetrazione Il lavoro della altre forze agenti o è nullo o è trascurabile

38 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tuttuno con esso. Determinare la perdita di energia meccanica nellurto. Determinare lelongazione massima del pendolo Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dellurto verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante lurto è trascurabile. Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo lurto.

39 G.M. - Edile A 2002/03 II fase oscillazione Loscillazione avviene sotto lazione della forza peso (conservativa) e della tensione.

40 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tuttuno con esso. Determinare la perdita di energia meccanica nellurto. Determinare lelongazione massima del pendolo Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dellurto Verificare che lo spostamento subito dal pendolo durante lurto è trascurabile. Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo lurto.

41 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tuttuno con esso. Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo lurto. Prima dellurto: Subito dopo lurto, il pendolo è rimasto nella stessa posizione, ma si sta muovendo con velocità V x : Proiettando su un asse verticale: y

42 G.M. - Edile A 2002/03 Proiettile sparato dallalto La forza F Mn è impulsiva (forza interna) Poiché la lunghezza della corda ideale non varia La tensione T ha, durante lurto, una intensità comparabile con la forza F Mn La tensione T è impulsiva Se la corda non è sufficientemente robusta si può rompere (viene superato il carico di rottura) Non si ha conservazione della quantità di moto nella direzione verticale

43 G.M. - Edile A 2002/03 Urto in due dimensioni Consideriamo un urto in cui una della due particelle è ferma (senza forze esterne) –Particella 1 proiettile –Particella 2 bersaglio –b parametro durto La retta di azione della velocità v 1 e il punto P 2 definiscono un piano –Le forze di interazione sono lungo la congiungente –Quindi contenute nel piano –Non cè moto perpendicolarmente al piano precedentemente individuato (accelerazione nulla, velocità iniziale nulla) Lurto è piano. Se lurto è elastico si può aggiungere:

44 G.M. - Edile A 2002/03 Urto in una dimensione -Urto centrale Lurto centrale avviene quando il parametro durto b è nullo. –Le forze sono dirette lungo la congiungente delle due particelle –Che coincide con la retta di azione della velocità iniziale Non essendoci forze perpendicolari alla direzione della velocità, non ci saranno accelerazioni perpendicolari alla velocità iniziale –Siccome la velocità iniziale ha solo componenti lungo la retta congiungente i due punti materiali –Non ci sarà moto perpendicolarmente alla congiungente le due particelle Lurto centrale è un urto unidimensionale. Una sola equazione non basta per determinare le due velocità dello stato finale. Se lurto è elastico si può aggiungere: Urto centrale Nel caso di urto elastico abbiamo due equazioni indipendenti in due incognite: Il sistema ammette soluzione

45 G.M. - Edile A 2002/03 Urto centrale elastico-bersaglio fermo Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma: Urto centrale Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

46 G.M. - Edile A 2002/03 Urto centrale elastico: casi particolari La particella bersaglio, dopo lurto si muoverà sempre nello stesso verso della particella incidente La particella proiettile invece Urto centrale In caso di forti asimmetrie:

47 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Due automobili A e B di massa rispettivamente 1100 kg e 1400 kg, nel tentativo di fermarsi ad un semaforo, slittano su una strada ghiacciata. Il coefficiente di attrito dinamico tra le ruote bloccate delle auto e il terreno è A riesce a fermarsi, ma B che segue, va a tamponare il primo veicolo. Come indicato in figura, dopo lurto A si ferma a 8.2 m dal punto di impatto e B a 6.1 m. Le ruote dei due veicoli sono rimaste bloccate durante tutta la slittata. Determinare le velocità delle due vetture subito dopo limpatto. E la velocità della vettura B prima dellurto. P N FaFa

48 G.M. - Edile A 2002/03 Urto centrale elastico-bersaglio mobile In questo caso sia la velocità della particella 1 che quella della particella 2 sono dirette lungo la congiungente le due particelle. Considerando le componenti delle velocità lungo lasse x: Urto centrale Operando come nel caso precedente, dividendo membro a membro la seconda per la prima si perviene al seguente risultato: Se le particelle hanno la stessa massa, nellurto si scambiano le velocità

49 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Un blocco di massa m 1 =2.0 kg scivola su di un piano privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m 2 =5.0kg. Una molla priva di massa, con costante elastica k=1120 N/m, è attaccata sul retro di m 2. Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano? Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo lurto. Quando la molla è alla sua massima compressione i due blocchi sono fermi uno rispetto allaltro –Prima della massima compressione si sono avvicinati –Successivamente si allontanano –La velocità comune dei due blocchi sarà uguale a quella del centro di massa –Poiché la quantità di moto si conserva, anche la velocità del centro di massa sarà uguale a quella iniziale: –La differenza tra lenergia cinetica iniziale e quella finale è immagazzinata come compressione della molla

50 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Un blocco di massa m 1 =2.0 kg scivola su di un piano privo di attrito alla velocità di 10 m/s. Davanti a questo blocco, sulla stessa linea e nello stesso verso, si muove a 3.0 m/s un secondo blocco, di massa m 2 =5.0kg. Una molla priva di massa, con costante elastica k=1120 N/m, è attaccata sul retro di m 2. Qual è la massima compressione della molla quando i due blocchi si urtano? Quali sono le velocità finale dei due corpi dopo lurto. –Da cui –Utilizzando le espressioni per luro centrale elastico:


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