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1 Fisica Nucleare Testi utilizzati in varie parti del corso: Introductory nuclear physics – Krane Physics of atomic nucleus – K.N. Mukhin Nuclei e particelle.

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2 1 Fisica Nucleare Testi utilizzati in varie parti del corso: Introductory nuclear physics – Krane Physics of atomic nucleus – K.N. Mukhin Nuclei e particelle – Segrè Introduzione alla fisica nucleare – W. Alberico Teoria elementare del nucleo – H.A. Bethe, P.Morrison Testi di meccanica quantistica utili: Modern quantum mechanics – J.J. Sakurai Quantum physics – Gasiorowicz Quantum field theory – Mandl, Shaw Tutte le trasparenze sono in rete nel sito:

3 2 Riveste un ruolo importante nella nostra vita Fissione nucleare : generazione di energia centrali/armi Fusione nucleare : Sostiene (quasi) tutta la vita Creazione di tutti gli elementi pesanti – Nucleo-sintesi Possibile sorgente futura di energia non inquinante Decadimento radioattivo: usato per la datazione,. allarmi antifumo ! Applicazioni mediche: test diagnostici basati su imaging trattamenti terapeutici del cancro Perchè studiare la fisica nucleare ?

4 3 Fisica Nucleare - Cronologia Probabilmente nessun argomento crea così tanta aspettativa, paura e confusione 1895 Scoperta dei raggi X - Röntgen 1896 Scoperta della radioattività delluranio - Becquerel 1897 Studi sulla radioattivita – Marie & Pierre Curie 1905 Einstein – teoria speciale della relatività 1911 Scoperta del nucleo atomico - Rutherford 1919 / 1920 Rutherford postula protoni e neutroni nel nucleo 1926 La meccanica quantistica decolla – equazione di Schrödinger 1929 Primi acceleratori di particelle, ciclotrone di Lawrence 1931 Teoria di Pauli del neutrino nel decadimento beta 1932 Osservazione del neutrone – Chadwick 1934 Osservazione della fissione - Fermi / Hahn 1941 Avvio del Progetto Manhattan 1942 Primo reattore – Fermi 1945 La bomba atomica - Oppenheimer 1948 Nucleo-sintesi – Bethe, Gamow 1952 Bomba allidrogeno 1956 Violazione della parità nel decadimento beta Sviluppo di applicazioni tecnologiche ad es. imaging medico 2006

5 4 Costituenti fondamentali Elettrone m e =0.511 MeV/c 2 carica = - e (1.6x C) dimensione m Nucleo Z protoni, N neutroni protoni e neutroni sono 2 stati carichi del nucleone Un nuclide è un nucleo specificato da Z, N A (numero di massa) = Z (numero atomico) + N m p m n = MeV/c 2 ; carica: p = +e, n = 0 dimensioni p, n 1 fm; raggio del nucleo (A medio) 5 fm Atomo Lo stato normale è neutro, Z elettroni dimensioni m La massa m p, m n 1836 m e dellatomo è quasi tutta nel nucleo Le proprietà chimiche dipendono da Z

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7 6 La tavola periodica degli elementi Solo tre elementi si sono formati nel Big Bang. Tutti gli altri elementi vengono formati nelle stelle Elementi naturali: da H(Z=1) a U(Z=92)

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9 8 Masse e abbondanze nucleari La misura della massa nucleare viene eseguita per mezzo di uno spettrometro di massa Fascio di ioni Lastra fotografica Selettore di velocità E B B misura della massa q, B, v sono noti. Misurando r si ha Selettore di velocità Selettore di momento

10 9 Abbondanze nucleari Spettro di massa degli isotopi del xenon trovati in un campione di gneiss avente 2.7 miliardi di anni estratto dalla penisola di Kola Spettro degli isotopi dello xenon presenti in atmosfera Lo Xe nello gneiss è stato prodotto dalla fissione spontanea delluranio (K.Schafer, MPI Heidelberg) Possiamo fare una scansione in massa variando E o B e misurando la corrente possiamo determinare le abbondanze relative di diversi isotopi Numero di massa Conteggi

11 10 Abbondanze nucleari nel sistema solare Abbondanze relative nel sistema solare (normalizzate a Si). Generalmente le stesse in tutto il sistema solare Deuterio ed elio: fusione nei primi minuti dopo il big bang Nuclei fino 56 Fe: stelle Nuclei più pesanti: supernovae Abbondanze nel Sole 10 4 H 10 3 He 8 O 4 C 1 N 1 Ne

12 11 Masse nucleari: unità di misura La massa di riferimento non è il protone o latomo di idrogeno, bensì lisotopo 12 C. Il carbonio e molti dei suoi composti sono sempre presenti in uno spettrometro e sono particolarmente adatti per la calibrazione. Una unità di massa atomica u è definita come 1/12 della massa del nuclide 12 C Esempio: Misura della massa dellidrogeno Daltra parte Quindi la massa dellidrogeno è data da massa di un protone = MeV/c 2

13 12 Energia di legame nucleare Lenergia di legame B di un nucleo è la differenza di energia di massa fra i suoi Z protoni e N neutroni liberi e un nucleo A Z X N Lenergia di legame è determinata dalle masse atomiche, poichè esse possono essere misurate molto più precisamente delle masse nucleari. Raggruppando le masse dei Z protoni ed elettroni in Z atomi di idrogeno neutri, possiamo anche riscrivere Lenergia di massa di un nucleo è Massa atomicaMassa degli Z elettroni Energie di legame degli Z elettroni (trascurabile)

14 13 Le energie di separazione di protoni e neutroni sono lequivalente delle energie di ionizzazione in fisica atomica. Lenergia di separazione dei neutroni S n è la quantità di energia necessaria per rimuovere un neutrone da un nucleo A Z X N, uguale alla differenza fra le energie di legame di A Z X N e A-1 Z X N-1 Energie di separazione Lenergia di separazione di un protone è definita, in modo simile, come lenergia necessaria per rimuovere un protone

15 14 Linea rossa misure sperimentali linea nera formula semi-empirica energia di legame per particella nucleare (nucleone) in MeV Numero di Massa A La massa media dei frammenti di fissione è circa 118 Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione Fe Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone energia dalla fissione nucleare energia dalla fusione nucleare 235 U Energia di legame per nucleone B/A costante 8 MeV per nucleone, A 20 Largo massimo per A 60 (Fe, Co, Ni) A 60 fusione A 60 fissione I nuclei leggeri con A=4n, n=intero presentano picchi (stabilità ) B/A costante in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini. La forza nucleare è a corto range e saturata

16 15 Consideriamo la reazione Conservazione dellenergia e del momento Lenergia di una particella di massa m è data in generale da In un processo come questo lenergia è sempre conservata. Lenergia dello stato finale deve essere uguale a quella dello stato iniziale Possiamo anche scriverla nella forma Energia a riposo associata alla massa Energia cinetica

17 16 Immaginiamo che nello stato iniziale il litio e lidrogeno abbiano velocità trascurabili. Allora In questo modo troviamo lenergia prodotta Per lo stato finale possiamo scrivere 8 unità di massa MeV 8 unità di massa + 2x3.61 MeV (8 unità di massa MeV) – (8 unità di massa + 2x3.61 MeV) = MeV

18 17 Vale anche la conservazione del momento Nellipotesi di velocità trascurabili nello stato iniziale Quindi anche nello stato finale Le due particelle si allontanano in direzioni opposte ciascuna con energia cinetica

19 18 Nuclidi Un nuclide è un particolare nucleo ed è designato con la seguente notazione: Z = Numero Atomico (Numero di Protoni) A = Massa Atomica (Numero di Nucleoni) A = Z+N (Nucleoni = Protoni + Neutroni) N = Numero di Neutroni (talvolta omesso) Nuclidi con lo stesso Z ma diverso N sono detti ISOTOPI Nuclidi con lo stesso A sono noti come ISOBARI Nuclidi con lo stesso N sono noti come ISOTONI Stati eccitati aventi vita media lunga (meta-stabili) sono noti come ISOMERI Esistono migliaia nuclidi!

20 19 Carta dei nuclidi I nuclidi possono essere sistemati su una carta, una specie di tavola periodica della fisica nucleare Tipicamente la carta grafica Z vs N I diversi decadimenti radioattivi possono essere facilmente collegati con un movimento nella carta – ad es. il decadimento corrisponde a 2 passi a sinistra, 2 in basso Questo permette di visualizzare intere catene di decadimento in modo efficace Permette di visualizzare anche altre proprietà come la vita media o la data di scoperta

21 20 Carta dei nuclidi – cronologia Evoluzione della Tavola degli Isotopi Anno di pubblicazione

22 21 I nuclei stabili si trovano solo in una banda molto stretta nel piano Z-N. Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi Stabilità nucleare Isobari con un grande surplus di neutroni guadagnano energia convertendo un neutrone in un protone (più un elettrone) mentre nel caso di un surplus di protoni si può verificare la reazione inversa: la conversione di un protone in un neutrone (e un positrone). Per conservare il numero leptonico vengono prodotti anche neutrini Si possono avere inoltre decadimenti e fissione spontanea Fissione spontanea Linea della stabilità Nuclei noti Numero di neutroni N Numero di protoni Z

23 22 Carta dei nuclidi – vita media Experimental Chart of Nuclides isotopi Vita media

24 23 Nucleo stabile: la sua massa deve essere minore della somma delle masse dei nuclei prodotti nel decadimento. Es. Questo decadimento non può aver luogo Infatti Invece È energeticamente possibile poichè

25 24 Regolarità Regolarità della tavola dei nuclidi stabili: Numero di nuclei con Z pari >> numero di nuclei con Z dispari Numero di nuclei con A pari >> numero di nuclei con A dispari Quasi tutti i nuclei con A pari hanno anche Z pari - uniche eccezioni

26 25 Dimensioni dei nuclei Livello fondamentale Stati eccitati ( eV) Stati eccitati ( M eV) Livello fondamentale Stati eccitati ( G eV)

27 26 Misura delle densità e dei raggi nucleari La dimensione dei nuclei può essere determinata utilizzando due tipi di interazione: Linterazione elettromagnetica dà la distribuzione di carica dei protoni dentro il nucleo. Ad esempio Scattering elettronico Atomi muonici Nuclei speculari Linterazione nucleare forte fornisce la distribuzione di materia dei protoni e neutroni nel nucleo. N.B. si hanno interazioni nucleari e e.m. allo stesso tempo studio più complesso. Ad esempio Scattering (Rutherford) Scattering di protoni Scattering e assorbimento di neutroni Vita media di emettitori Raggi X di atomi pionici

28 27 Numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria per unità di tempo v a = velocità delle particelle n a = densità numero Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del bersaglio è N b = numero di centri diffusori nel bersaglio = sezione durto di reazione Sezione durto Consideriamo una rezione della forma Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato. Il flusso di particelle a è definito come

29 28 N inc = numero di particelle del fascio incidenti in un tempo t In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t (secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può essere riscritto come N b / S è il numero di centri diffusori per unità darea. Ora L = lunghezza del bersaglio Daltra parte

30 29 Se il rivelatore può determinare lenergia E delle particelle scatterate, si può misurare la doppia sezione durto differenziale Sezione durto differenziale La distribuzione angolare delle particelle scatterate non è necessariamente omogenea Numero di particelle scatterate in d è dN/d fascio bersaglio angolo solido d =A D /r 2 area A D r Unità area/steraradiante

31 30 In un processo elastico a+b a+b le particelle dello stato finale sono le stesse dello stato iniziale. Il bersaglio b resta nel suo stato fondamentale, assorbendo soltanto momento di rinculo e quindi variando la sua energia cinetica. Langolo di scattering e lenergia di a e langolo di produzione e lenergia di b sono correlati in modo non ambiguo Conclusioni sulla forma del bersaglio possono essere dedotte dalla dipendenza del rate di scattering dallenergia del fascio e dallangolo di scattering La più grande lunghezza donda che può risolvere strutture di dimensione lineare x è data dalla lunghezza donda di de Broglie ridotta x Scattering elastico Quindi per studiare i nuclei aventi raggi di qualche fermi, i momenti del fascio devono essere dellordine di MeV/c I singoli nucleoni hanno raggi di circa 0.8 fm. Essi possono essere risolti se il momento del fascio è qualche centinaio di MeV Il corrispondente momento della particella segue dal principio di indeterminazione di Heisemberg

32 31 Utilizziamo gli elettroni come sonda per studiare le deviazioni rispetto a un nucleo puntiforme interazione elettromagnetica Per misurare una distanza fino a 1 fm abbiamo bisogno di unenergia Scattering elettronico nucleo A fotone e-e- Misuriamo E, degli elettroni scatterati d /d sottile foglio di materiale scatteratore monitor di fascio Fascio elettronico di energia nota Rivelatore Regione di campo magnetico Apparato sperimentale

33 32 Ricavabile sia classicamente che con la meccanica quantistica con le ipotesi: il rinculo del nucleo trascurato gli effetti di spin trascurati centro di scattering puntiforme Sezione durto Rutherford angolo di scattering dN/d Scattering di un elettrone di energia E su un nucleo di carica Ze

34 33 Calcoliamo d /d usando lapprossimazione di Born in cui lo stato iniziale e finale sono considerati onde piane e si trascura il rinculo nucleare. Derivazione quanto-meccanica Il rate di transizione è dato dalla regola doro di Fermi dove

35 34 Racchiudiamo il nostro sistema in una scatola di lato L. La funzione donda di un elettrone è unonda piana Lo stato di onda piana è soluzione dellequazione di Schrodinger. Dobbiamo imporre delle condizioni di frontiera sui bordi della scatola. Poniamo Questo implica Quantizzazione in una scatola Normalizzazione: probabilità di trovare lelettrone nel volume V = L 3 deve essere 1:

36 35 Uso pratico della condizione di quantizzazione: Densità di stati numero di valori consentiti di k (o p) in una regione dello spazio del momento d 3 k: Ciascuno stato occupa un volume (2 /L) 3 nello spazio k. Il numero di stati in k,k+d 3 k Nel caso di scattering relativistico E p, elemento di angolo solido

37 36 Flusso: numero di particelle incidenti che attraversano unarea unitaria per secondo. Consideriamo un bersaglio di area A e un fascio incidente di velocità v=c in moto verso il bersaglio. Il flusso è dove n i è la densità numero di particelle incidenti = 1/L 3 Mettendo tutto assieme Flusso di elettroni incidenti

38 37 dove è il momento trasferito Nel caso di scattering elastico momento trasferito Elemento di matrice

39 38 Omettendo il fattore di normalizzazione L 3 Lintegrale è mal definito (oscilla) per cui usiamo Abbiamo Scattering Rutherford: scattering su nucleo puntiforme

40 39 La sezione durto è quindi data da Questa non è ancora esattamente la formula che abbiamo quotato allinizio ma ci siamo quasi. Poichè trascuriamo il rinculo, lenergia e il modulo del momento dellelettrone non cambiano: E=E, |p|=|p|, da cui Se ora ricordiamo che E=p, arriviamo alla formula di scattering di Rutherford

41 40 Finora abbiamo trascurato lo spin dellelettrone e del bersaglio. A energie relativistiche tuttavia gli effetti di spin modificano la sezione durto. La risultante sezione durto Mott può essere scritta come Sezione durto Mott Nel caso limite di 1 la sezione durto Mott si semplifica in Lespressione mostra che a energie relativistiche la sezione durto Mott diminuisce più rapidamente a grandi angoli di scattering della sezione durto Rutherford

42 41 dN/dcos (unità arbitrarie) cos Sezione durto Mott Sezione durto Rutherford I dati dello scattering elettronico di Hofstadter erano sotto quelli attesi per un nucleo puntiforme, indicando una struttura del nucleo Scattering elettronico su nuclei: risultati sperimentali

43 42 Supponiamo che V(r) dipenda dalla distribuzione di carica nel nucleo Scattering da un nucleo esteso Energia potenziale dellelettrone dovuta alla carica dQ Abbiamo da cui Lampiezza di transizione si modifica in

44 43 Possiamo quindi scrivere Poniamo e consideriamo costante (vale a dire integriamo su ) dove è il fattore di forma ed è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica Sperimentalmente il fattore di forma è ottenuto dividendo la sezione durto misurata per la sezione durto Mott. Si misura perciò la sezione durto per unenergia fissata del fascio e per vari angoli (e quindi diversi |q|) e si divide per la sezione durto Mott calcolata scattering Rutherford (o Mott) F(q 2 )

45 44 in linea di principio la distribuzione di carica radiale potrebbe essere determinata dalla trasformata di Fourier inversa, utilizzando la dipendenza da q 2 del fattore di forma sperimentale Nel caso di nuclei sfericamente simmetrici, dipende soltanto da Lintegrazione sullangolo solido dà Lenergia del fascio e la rapida diminuzione della sezione durto limitano il range di |q|. Percio tipicamente vengono scelte delle parametrizzazioni di, si calcola il risultante fattore di forma e i parametri vengono determinati tramite un fit ai dati sperimentali

46 45 Fattori di forma nucleari – esempi puntiforme costante esponenziale gauss sfera omogenea dipolo gauss oscillante sfera con superficie diffusa oscillante elettrone protone 6 Li 40 Ca r |q| (r) F(q 2 )esempio

47 46 Fattori di forma nucleari – prime misure Misura del fattore di forma di 12 C con lo scattering elettronico (Hofstadter, Stanford 1957). Una delle prime misure di un fattore di forma nucleare Sezione durto per 7 angoli a unenergia del fascio di 450 MeV Linea tratteggiata: scattering di onda piana da parte di una sfera omogenea con superficie diffusa Linea continua: analisi degli spostamenti di fase fittati ai dati

48 47 Lo scattering da parte di un oggetto con una superficie ben definita generalmente produce ben definiti massimi e minimi di diffrazione Nel caso di una sfera omogenea di raggio R, si trova un minimo a La posizione di questi minimi ci dà quindi informazioni sulla dimensione del nucleo scatteratore. Esempio: il minimo nella misura di 12 C di Hofstadter è a q/ħ 1.8 fm -1. Il nucleo di carbonio ha perciò un raggio (di carica) R=4.5/ fm

49 48 Scattering elettronico su 40 Ca e 48 Ca La sezione durto cambia di sette ordini di grandezza Tre minimi visibili, quindi buona precisione nella misura del fattore di forma Minimi di 48 Ca a minore |q| implicano che 48 Ca è più grande d /d [cm 2 /sr]

50 49 Distribuzione di carica dei nuclei I Nucleoni non si addensano vicino al centro del nucleo Piuttosto, hanno una distribuzione costante fino in superficie La densità è descritta dalla funzione di Fermi con due parametri R è il raggio a cui (r) è diminuita di 1/2 s è la larghezza di superficie o spessore di pelle, dove (r) scende dal 90% al 10%. Per tutti i nuclei si ha s 2.5 fm

51 50 Distanza radiale (fm) Densità di carica [x10 9 coulomb/cm 3 ] Dati di scattering elettronico

52 51 Raggio quadratico medio Il fattore di forma può essere espanso in potenze di q Definendo il raggio quadratico medio come La misura sperimentale di richiede la misura di F(q 2 ) a valori molto piccoli di q 2

53 52 Raggi X atomici Assumiamo che il nucleo sia una sfera uniformemente carica. Il potenziale è ottenuto in due regioni: dentro la sfera Allesterno della sfera Lenergia di un elettrone in un dato stato con un nucleo puntiforme dipende da Con un nucleo non puntiforme, assumendo che non cambi apprezzabilmente quando V puntiforme V sfera Energia potenziale 1/r

54 53 Il nucleo sferico non puntiforme cambia i livelli di - La variazione di energia fra un nucleo sferico ed uno puntiforme per la funzione donda elettronica del livello 1s è In linea di principio misurando possiamo estrarre R. Il problema tuttavia è che non esiste un nucleo puntiforme! Consideriamo una transizione 2p 1s per due atomi (A,Z) e (A 1,Z). Avremo Possiamo assumere che E 2p (A)=E 2p (A) e riscrivere Shift isotopico

55 54 Graficando E K (A) – E K (A) in funzione di A 2/3 la pendenza della retta permette di ricavare R 0.

56 55 Atomi muonici Muoni arrestati nella materia vengono intrappolati in orbite atomiche e hanno una probabilità maggiore degli elettroni di passare del tempo dentro il nucleo. Raggio di Bohr 1/Zm Energia Z 2 m. massa 207 m e vita media 2 s i muoni eseguono transizioni verso livelli di energia bassi, emettendo raggi X prima di decadere Energia transizione 2P 3/2 1S 1/2 : MeV (Bohr), 6.02 MeV (misurata) Misura dei raggi X raggio Raggi X di - anche i - possono occupare orbite attorno al nucleo. I raggi X sono emessi quando il - scende fra due orbite. Lo shift dellenergia dei raggi X dipende dal raggio Nel caso dellidrogeno e degli elettroni r = a 0 = 5x10 4 fm (raggio di Bohr) Nel caso del piombo e dei muoni

57 56 Fattori di forma nucleari – apparato sperimentale Apparato sperimentale A1 allacceleratore elettronico MAMI-B (Mainzer Microtron). Tre spettrometri magnetici che possono essere usati singolarmente per lo scattering elastico o assieme per reazioni inelastiche. Diametro della rotaia circolare 12 m.


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