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1 Uno dei primi modelli del nucleo proposti Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di molecole legate fra loro Queste molecole.

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1 1 Uno dei primi modelli del nucleo proposti Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di molecole legate fra loro Queste molecole sono in moto costante e diversi tipi di moto sono possibili Il modello della goccia di liquido Consideriamo il nucleo come una sfera di densità uniforme interna, che va a zero in superficie Goccia di liquido Nucleo forze intermolecolari a forza nucleare corto range Densità indip. dalla densità indip. dalla dalla dimensione goccia dimensione nucleare Calore richiesto per B/A costante evaporare una massa fissa indipendente dalla goccia

2 2 Il termine di volume +a v A Termine dominante, proporzionale al volume B R 3. Poichè A R 3 B A, e B/A=cost. Ciascun nucleone contribuisce per circa 16 MeV. Da questo deduciamo che la forza nucleare ha corto range, corrispondente approssimativamente alla distanza fra due nucleoni. Questo fenomeno è detto saturazione. Infatti, se ciascun nucleone interagisse con tutti gli altri nucleoni, lenergia di legame totale sarebbe proporzionale ad A(A-1) o approssimativamente ad A 2. A causa della saturazione, la densità centrale dei nucleoni è la stessa per quasi tutti i nuclei: 0.17 nucleoni/fm 3 o 3x10 17 kg/m 3. La distanza media fra i nucleoni è circa 1.8 fm. Il termine di superficie -a s A 2/3 I nucleoni in superficie sono circondati da meno nucleoni. Perciò lenergia di legame è minore rispetto ai nucleoni allinterno. Questo contributo è proporzionale allarea della superficie del nucleo (R 2 o A 2/3 ) Singoli termini dellenergia di legame

3 3 Il termine coulombiano –a c Z 2 /A 1/3 La forza elettrica repulsiva agente fra i protoni nel nucleo riduce ulteriormente lenergia di legame. Questo termine vale Poichè R A 1/3 segue che questo termine è approssimativamente proporzionale a Z 2 /A 1/3 Mettendo tutto assieme troviamo La formula è ancora inadeguata: per A fissato, predice che il nucleo con Z=0 ha la massima energia di legame (cioè tutti i protoni si convertono in neutroni!) Inoltre lenergia di legame per nucleone presenta ancora una pendenza positiva al crescere del numero di massa. Questo non si osserva in natura volume superficie Coulomb simmetria Numero di massa A B/A (MeV per nucleone)

4 4 Termine di asimmetria Per passare da N-Z=0 a N>Z con A fissato è richiesta unenergia pari a (N-Z) 2 E/8 Nuclei con N=Z hanno energia di legame maggiore e sono perciò più fortemente legati di un nucleo con N Z. La correzione viene scalata di 1/A poichè i livelli sono più ravvicinati al crescere di A Unimportante considerazione per le particelle nella buca di potenziale è il principio di Pauli – questo influisce sullo stacking dei singoli protoni e neutroni e quindi sulle rispettive energie buca di protonibuca di neutroni cambiamo 2 protoni in 2 neutroni separazione fra i livelli E Aumento di energia=2 E Aumento di energia=4x2 E neutrone protone

5 5 Contributi a B/A Numero di massa A Energia di legame per nucleone (MeV)

6 6 Il termine di accoppiamento Questo riflette losservazione sperimentale che due protoni o due neutroni sono sempre più fortemente legati di un protone e un neutrone. Questa interazione di accoppiamento favorisce la formazione di coppie di nucleoni dello stesso tipo (pp, nn) con spin opposti e funzione spaziale donda simmetrica Il termine viene aggiunto nel modo seguente: Per nuclei A dispari Z pari, N dispari Z dispari, N pari Per A pari Z dispari, N dispari - (Z,A) Z pari, N pari + (Z,A)

7 7 La formula di massa semi-empirica (Weizsacher) La formula finale è per lenergia di legame è I valori esatti dei coefficienti dipendono dal range di masse per cui sono ottimizzati. Un possibile insieme di parametri è a v =15.67 MeV a s =17.23 MeV a c =0.714 MeV a a = MeV = MeV Z ed N pari 0 MeV A dispari MeV Z ed N dispari Da cui si ottiene la formula di massa semi-empirica

8 8 Confronto con lesperimento Energia di legame per nucleone dei nuclei con numero di massa A pari La linea continua corrisponde alla formula di massa semi-empirica Deviazioni relativamente grandi per A piccolo Per A grande legame abbastanza più forte a certi Z ed N. Questi cosidetti numeri magici vengono spiegati dal modello a shell

9 9 Limiti della formula semi-empirica Ulteriori studi della saturazione della forza e della repulsione a corto range indicano che il principio di esclusione di Pauli non è sufficiente. Il momento angolare orbitale relativo e lo spin dei nucleoni sono richiesto per spiegare le caratteristiche della natura repulsiva della forza. Queste discussioni sono tuttavia qualitative. Non cè posto nella formula di massa semi-empirica per gli effetti di spin. Lipotesi del nucleo sferico implica che il nucleo non ha un momento di quadrupolo elettrico – tuttavia si osservano diversi nuclei aventi momento di quadrupolo diverso da zero. Se il nucleo può essere considerato come una goccia allora ci aspetteremmo fenomeni collettivi come stati rotazionali o vibrazionali. Il modello della goccia di liquido tuttavia ha un potere preditivo molto limitato in questo senso. Il modello però si dimostra molto utile per considerare la linea della stabilità nel decadimento e la stabilità nucleare nella fissione e nel decadimento.

10 10 Applicazione 1: parabola di massa Consideriamo nuclei con lo stesso numero di massa A (isobari). La formula di Weizsacker può essere trasformata in dove i coefficienti sono Un grafico delle masse nucleari in funzione di Z per A costante dà una parabola di massa per A dispari. Per A pari le masse dei nuclei pari-pari e dispari-dispari si trovano su due parabole spostate verticalmente (di 2a p /A 1/2 ) Il minimo delle parabole si trova per Z= /2. Il nucleo con la massa minore in uno spettro isobarico è stabile rispetto al decadimento.

11 11 Parabole di massa per A=101, A=106 Più dettagli sul decadimento nelle prossime trasparenze

12 12 Decadimento - nuclei di massa dispari I nuclei di numero di massa dispari sono situati su una singola parabola di massa, ad esempio quelli per A=101 nella trasparenza precedente. M(A,Z) è la massa atomica, per cui la massa dellelettrone creato viene presa in considerazione automaticamente. La massa del neutrino elettronico è così piccola (<< eV/c 2 ) che può essere trascurata. La reazione del decadimento + è possibile solo allinterno di un nucleo, perchè la massa a riposo del neutrone è maggiore di quella del protone.

13 13 Decadimento - nuclei di massa pari Gli isobari di numero di massa pari formano due parabole separate, una per i nuclei pari-pari, laltra per i nuclei dispari-dispari, che sono separate da due volte lenergia di accoppiamento. Talvolta cè più di un nucleo pari-pari stabile. Ad esempio, nel caso di A=106, ci sono Pd e Cd. Il primo è genuinamente stabile, poichè è nel minimo della parabola. Lisotopo Cd potrebbe invece decadere via doppio decadimento : Tuttavia, la probabilità di tale processo è così piccola che Cd può essere considerato stabile. I nuclei dispari-dispari per A>14 non sono mai stabili, poichè essi hanno sempre un vicino pari-pari più fortemente legato. I nuclei leggeri 2 1 H, 6 3 Li, 10 5 B, 14 7 N sono stabili, poichè laumento dellenergia di asimmetria supererebbe la diminuzione dellenergia di accoppiamento.

14 14 Esiste una probabilità finita di trovare un elettrone di una shell atomica allinterno del nucleo; in particolare per quelli della shell inferiore, la shell K. Poichè una cattura elettronica lascia una vacanza nella shell K, gli elettroni eseguiranno una cascata per riempirla emettendo raggi X caratteristici. La condizione per la cattura elettronica è Intermezzo: cattura elettronica Un diverso processo fisico in competizione col decadimento + è la cattura elettronica: Dove è lenergia di eccitazione della shell atomica del nucleo figlio. La cattura elettronica ha perciò più energia a disposizione del decadimento + (2m e c 2 - )

15 15 Esempio: decadimenti del 40 K

16 16 Applicazione 2: fissione spontanea Per nuclei più pesanti del ferro, lenergia di legame diminuisce al crescere della massa. Un nucleo con Z > 60 può perciò, in linea di principio, suddividersi in due nuclei più leggeri. Fortunatamente, la barriera di potenziale è generalmente così grande che tali reazioni sono molto improbabili. I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è significativa sono certi isotopi delluranio. Laltezza della barriera per fissione determina la probabilità di fissione spontanea

17 17 Stimiamo la massa a cui i nuclei diventano instabili a causa della fissione considerando una deformazione: La massa in assenza e in presenza di deformazione è Per cui Se allora il nucleo è instabile rispetto alla deformazione e può suddividersi.

18 18 Il termine di volume della SEMF è invariato poichè Variazione del termine di superficie Se Z 2 /A > 2a s /a c B>0 il nucleo è instabile per deformazioni Variazione del termine coulombiano variazione dellenergia di legame

19 19 Il modello del gas di Fermi Il potenziale a cui un singolo nucleone è soggetto è la sovrapposizione dei potenziali degli altri nucleoni. Questo potenziale ha la forma di una sfera di raggio R = R 0 A 1/3 fm, equivalente ad una buca di potenziale quadrata 3-D di raggio R. I nucleoni si muovono liberamente (come un gas) allinterno del nucleo, cioè allinterno della sfera di raggio R. I nucleoni riempiono i livelli nella buca fino allenergia di Fermi E F. Le buche di potenziale di protoni e neutroni in generale possono essere diverse. Se lenergia di Fermi fosse diversa per protoni e neutroni, il nucleo sarebbe soggetto a decadimento in uno stato energeticamente più favorevole In generale i nuclei pesanti stabili hanno un surplus di neutroni Perciò la buca del gas di neutroni deve essere più profonda di quella dei protoni I protoni sono perciò in media meno legati dei neutroni (repulsione Coulombiana) Possiamo avere 2 protoni/2 neutroni per livello di energia, in quanto gli spin possono essere

20 20 La differenza fra lenergia di Fermi e la cima della buca di potenziale è lenergia di legame B = 7-8 MeV/nucleone che abbiamo visto nella discussione del modello della goccia di liquido. La profondità della buca V 0 è in buona approssimazione indipendente dal numero di massa A

21 21 Lhamiltoniana del sistema è data dallenergia cinetica dei singoli nucleoni e abbiamo lequazione di Schrodinger Possiamo scrivere la funzione donda nucleare nella forma (separazione delle variabili) Ciascuna delle funzioni donda di singolo nucleone soddisfa quindi Possiamo operare unulteriore fattorizzazione in modo da arrivare a equazioni del tipo

22 22 Abbiamo la soluzione con le condizioni di frontiera quindi Questo implica che il vettore donda k ix può assumere solo i valori

23 23 La costante di normalizzazione si trova imponendo in questo modo arriviamo alla funzione donda di singolo nucleone con A ciascuna terna di interi (n ix,n iy,n iz ) corrisponde un autovalore dellenergia di particella singola

24 24 Nello stato fondamentale tutti gli stati sono riempiti con due protoni e due neutroni. Nel k-spazio lintervallo minimo fra due stati diversi è Un singolo stato occupa un volume ( /L) 3. Il numero di stati fra k e k + d 3 k è Otteniamo lenergia più bassa assumendo che N = Z = A / 2 e mettendo 4 particelle in ogni stato fino a k F Il numero totale di stati permessi fino a un valore massimo k F di k è

25 25 Poichè 0 = A /, il momento di Fermi dipende solo dalla densità nucleare Praticamente per tutti i nuclei con A > 12 abbiamo 0 = 0.17 nucleoni / fm 3, da cui Un nucleone con momento di Fermi ha energia cinetica Lenergia cinetica di un nucleone di momento k è T k = h 2 k 2 /2m. Lenergia cinetica totale è Energia cinetica e raggio nucleare

26 26 I nucleoni nella buca hanno unenergia cinetica media Se assumiamo che il nucleo sia una sfera di raggio R di densità uniforme 0, allora Possiamo quindi ricavare il raggio R Se k F = 1.36 fm -1, otteniamo

27 27 Poichè T/A 23 MeV, b vol (energia di legame per nucleone) deve derivare dal bilanciamento di T/A e unenergia potenziale media per nucleone Nella formula di massa semi-empirica il termine dominante è quello di volume Per calcolare U assumiamo che fra i nucleoni agisca una forza centrale V(|r i -r j |) identica in tutti gli stati. La funzione donda di una coppia di nucleoni è Lenergia potenziale media U ij è il valore di aspettazione di V rispetto a ij Parametri della formula semi-empirica termine diretto termine di scambio

28 28 Otteniamo lenergia potenziale dellintero sistema sommando su tutte le coppie, che sono A(A – 1)/2 A 2 / 2 Possiamo inoltre porre | (r)| 2 = (r) / A Consideriamo per semplicità soltanto il termine diretto Nel gas di Fermi la densità è costante = 0 = A /. Introducendo le coordinate r = r i – r j, R = (r i + r j ) / 2 dove

29 29 Non dipende da A o dal volume. Nel caso della buca di potenziale di lato a ad esempio Lenergia totale del sistema è approssimativamente Abbiamo quindi unenergia di legame proporzionale al volume, come nella formula semi-empirica. Possiamo quindi scrivere

30 30 Abbiamo visto che Daltra parte possiamo esprimere il momento di Fermi in termini della densità come Equazione di stato del sistema nucleare Per cui Equazione di stato del sistema nucleare

31 31 Se V>0 (forza puramente attrattiva), allora per BE/A diventa infinitamente negativa! Il sistema collasserebbe. Esiste una componente repulsiva della forza quando la distanza dei nucleoni è minore di fm

32 32 Presenza di una superficie (S/ 0): nel conto degli stati fra k e k+d 3 k dobbiamo sottrarre gli stati per i quali k x (o k y o k z ) = 0 Abbiamo quindi Il termine di superficie Il numero di nucleoni è ora

33 33 La presenza della superficie diminuisce la densità del sistema di un termine proporzionale a S/ Possiamo quindi calcolare lenergia cinetica totale Lenergia cinetica per nucleone è invece (assumendo S/ <<1) Il termine di superficie aumenta

34 34 Il termine dellenergia cinetica dovuto alla superficie è quindi Assumendo che R = r 0 A 1/3 e poichè k F =(9 /8) 1/3 /r 0, possiamo scrivere 18 MeV (vicino a b sup )

35 35 Consideriamo un nucleo con N = Z = A / 2 e supponiamo che degli Z protoni diventino neutroni Nel caso del nucleo simmetrico Possiamo analogamente definire nel gas asimmetrico Energia di simmetria Abbiamo quindi

36 36 Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come dove Per passare a questa nuova configurazione è necessaria una certa energia perchè lenergia dei protoni sotto il livello di Fermi è minore di quella dei neutroni posti sopra il livello di Fermi. La variazione di energia cinetica è

37 37 Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come Poichè A = N – Z b sim = 23.3 MeV circa il 50% dellenergia di simmetria dei nuclei deriva dal principio di Pauli Il restante 50% dipende dallenergia potenziale che tende ad essere meno attrattivo per momenti grandi per cui i neutroni in eccesso sopra k 0 F saranno meno legati Inoltre è più attrattivo per coppie n-p (singoletto di isospin) che per coppie p-n, p-p, n-n in tripletto di isospin e il numero di coppie p-n è massimo quando N = Z

38 38 Altre applicazioni del gas di Fermi – nane bianche Quando una stella esaurisce il suo combustibile comincia a contrarsi. E possibile raggiungere una nuova condizione di equilibrio in cui la pressione gravitazionale è bilanciata dalla pressione di degenerazione degli elettroni. Supponiamo che elettroni e protoni formino un gas di Fermi allinterno della stella. La densità di elettroni è Se assumiamo che ci sia un ugual numero di protoni ed elettroni, allora il momento di Fermi è identico e n p = n e.

39 39 Calcoliamo la densità di energia. Per gli elettroni Nel caso dei protoni invece La densità di energia dei protoni è minore poichè la loro massa è circa 2000 volte m e

40 40 Il gas di Fermi possiede una pressione dovuta al principio di esclusione di Pauli che impedisce di mettere più di una particella in un singolo stato. E questa pressione che può bilanciare la pressione gravitazionale. In generale abbiamo la relazione fra pressione e densità di energia Quindi nel nostro caso Il contributo alla pressione da parte dei protoni è trascurabile rispetto a quello degli elettroni. Solo questi sono importanti nel contrastare la pressione gravitazionale. Daltra parte, la densità di massa del sistema è Nel caso della densità di massa quindi il contributo degli elettroni è trascurabile. Solo i protoni sono importanti.

41 41 Dalla relazione densità – momento di Fermi ricaviamo Sostituiamo questo nellespressione della pressione Possiamo riscrivere Questa è lequazione di stato della materia degenere allinterno della stella.

42 42 Introduciamo la densità critica Nel denominatore compare la lunghezza donda Compton dellelettrone Lequazione di stato può essere riscritta nella forma Cosa succede quando = C ? In questo caso Gli elettroni si muovono alla velocità della luce gli effetti relativistici sono importanti

43 43 Lenergia di una particella può essere espressa come Se v c, allora p 2 c 2 >>m 2 c 4 e E pc. Quindi la densità di energia degli elettroni diventa La pressione è Arriviamo, con passaggi simili al caso precedente a

44 44 Riassumendo, dove

45 45 Abbiamo visto che il modello della goccia di liquido dà una descrizione abbastanza buona dellenergia di legame. Offre anche una spiegazione qualitativa della fissione spontanea. Il modello del gas di Fermi, assumendo come potenziale una semplice buca quadra 3D (differente per protoni e neutroni) spiega i termini della formula di massa semi-empirica che non era possibile ricavare dal modello della goccia di liquido. Esamineremo ora ulteriori fatti sperimentali che il modello del gas di Fermi non può spiegare e vedremo quindi come sia possibile migliorare il modello Questo ci porterà al Modello a Shell. Vedremo che i nucleoni possono muoversi liberamente allinterno del nucleo. Questo è in accordo con lidea che essi sono soggetti a un potenziale efficace globale creato dalla somma degli altri nucleoni. Modelli a shell

46 46 Struttura a shell nucleare Nuclei con valori di numeri magici Z e/o N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 sono molto stabili e presentano deviazioni significative dal comportamento nucleare medio. B/A e le energie di separazione sono grandi per i numeri magici energia di legame per particella nucleare (nucleone) in MeV Numero di Massa A La massa media dei frammenti di fissione è circa 118 Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione Fe Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone energia dalla fissione nucleare energia dalla fusione nucleare 235 U

47 47 Z Numero di neutroni N Energia di separazione dellultimo neutrone a cui è sottratto il valore della SEMF Energia di legame dellultimo neutrone (MeV)

48 48 Energia di particelle emesse da isotopi di Rn. Picco a N = 128, cioè il nucleo figlio con N = 126 è particolarmente legato E MeV Sezione durto (mb) numero di neutroni N I nuclei con numeri magici di neutroni hanno sezioni durto di assorbimento neutronico fino a 2 ordini di grandezza minori di altri nuclei di masse simili numero di neutroni N

49 49 Abbondanze nucleari 56 Fe è lisotopo più abbondante e stabile. Non ha Z o N uguale a un numero magico! Le abbondanze piccano per Z o N uguali a un numero magico Nucleo doppiamente magico Z=82 N = Pb Oscillazioni delle abbondanze a seconda che Z e N pari o dispari N=50 Z=50 N=82 Abbondanza relativa Numero di massa A 56 Fe

50 50 Nuclei che hanno sia il numero di neutroni che quello di protoni uguale a uno dei numeri magici sono detti doppiamente magici e sono particolarmente stabili Il calcio fornisce un buon esampio. Lesistenza di molti isotopi di calcio può essere dovuto al fatto che Z = 20 è un numero magico. I due isotopi mostrati hanno numero di neutroni 20 e 28, anchessi numeri magici Nuclei doppiamente magici Energia di legame sopra la formula di Weizsacher (MeV)

51 51 Analogia col comportamento atomico man mano che gli elettroni riempiono le shell Modello del gas di Fermi Atomo Gli elettroni si muovono indipendentemente nel potenziale centrale V(r)~1/r (campo coulombiano del nucleo). Le shell sono riempite in base al principio di esclusione di Pauli. Le proprietà dellatomo sono definite dagli elettroni di valenza I livelli dellenergia sono ottenuti risolvendo lequazione di Schrödinger col potenziale centrale (dovuto al nucleo) Numero magico Z atomi di gas nobili

52 52 I nucleoni si muovono in un potenziale nucleare che rappresenta leffetto medio delle interazioni con gli altri nucleoni nel nucleo e occupano stati di definito momento angolare orbitale Forza nucleare a corto range vicino al centro potenziale costante Vicino alla superficie la densità diminuisce V(r) diminuisce V(r) per i protoni è modificato dallinterazione di Coulomb (decadimento ) Modello a shell nucleare V(r) generato dai nucleoni forma funzionale analoga a quella della densità del nucleo (r) ma con maggiore estensione 1. Buca quadra 2. Potenziale armonico 3. Potenziale di Woods-Saxon

53 53 Nello stato fondamentale i nucleoni occupano livelli di energia del potenziale nucleare che minimizzano lenergia totale senza violare il principio di Pauli. Il principio di esclusione di Pauli opera indipendentemente per i protoni e i neutroni Postulato: i nucleoni sono in orbite ben definite con energie discrete Obiezione: i nucleoni hanno dimensione simile a quella del nucleo. Ci aspettiamo molti urti. Come ci possono essere orbite ben definite (c.f. Elettroni negli atomi)? Principio di Pauli: se lenergia è trasferita in un urto allora i nucleoni si devono muovere in nuovi stati. Tuttavia tutti gli stati vicini sono occupati nessun urto, cioè quasi tutti i nucleoni in un nucleo si muovono liberamente se esso è nello stato fondamentale. Tendenza a Z=N E minima

54 54 Giustificazione per un potenziale centrale: I momenti di quadrupolo misurati dei nuclei sono relativamente piccoli, almeno vicino ai numeri magici che ci interessa spiegare; A metà strada fra i numeri magici, ad esempio attorno a Z o N = 70, 100 le cose cambiano e dovremo usare un approccio diverso, ma almeno per i nuclei più leggeri questa ipotesi dovrebbe essere ragionevole

55 55 Y lm (armoniche sferiche) è la parte angolare ed è la stessa per tutti i potenziali centrali. R(r) è la soluzione dellequazione radiale Trattiamo quindi ciascun nucleone indipendentemente e risolviamo lequazione di Schrödinger col potenziale nucleare per ottenere i livelli di energia La soluzione dellequazione di Schrodinger ha la forma Gli stati permessi sono specificati da n, l, m: n numero quantico radiale (numero di nodi nella funzione donda radiale) l momento angolare orbitale (qualunque per dato n) (in fisica atomica l max =n-1) m numero quantico magnetico (m = -l……+l)

56 56 Se scegliamo il corretto potenziale V(r) allora la funzione donda dellintero nucleo può essere scritta come un prodotto di funzioni donda di singola particella corrispondenti agli A nucleoni Sovrasemplificazione... In realtà deve essere scritta come un prodotto di funzioni donda antisimetrizzato poichè i nucleoni sono fermioni identici. Il momento angolare totale è La parità del nucleo è Sempre pari per un numero pari di nucleoni

57 57 Soluzione della parte radiale prodotto di un esponenziale e polinomio. Oscillazione nella regione classicamente permessa e decadimento esponenziale in quella proibita. I livelli dellenergia possono essere espressi come Potenziale armonico Per N>0 sono tutti degeneri: più coppie (n,l) danno luogo alla stessa energia. N pari L pari e può essere al più uguale a N N dispari L dispari e può essere al più uguale a N Esempio per n = 5 i valori permessi di L sono 1, 3, 5. Poichè E non dipende anche da m L, per ogni L abbiamo unulteriore degenerazione (2L + 1). Quindi N = 5 ha una degenerazione (2 x 1 + 1) + (2 x 3 + 1) + (2 x 5 + 1) = 21. Abbiamo infine la degenerazione di spin pari a 2. La degenerazione è complessiva è quindi 42. In generale la degenerazione è

58 58 Diagramma dei livelli di energia (la degenerazione va moltiplicata per 2): nL: Ridefiniamo il numero quantico n in modo tale da contare il numero di livelli col dato valore di l.

59 59 Shell chiusa numero magico OccupazioneTotaleEnl I nuclei con Z(N) = 2, 8, 20,... sono particolarmente stabili shell chiuse (livelli completamente occupati) Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare nei primi tre livelli del potenziale armonico. Le successive shell daltra parte non coincidono Riempiamo le shell sia per i protoni che che per i neutroni Degenerazione di un livello nL: (2s+1)(2l+1) = 2(2l+1) (s=1/2)

60 60 Una dipendenza radiale più realistica modifica un pò la successione dettagliata dei livelli parte della degenerazione L delloscillatore è rimossa. Ma i numeri magici non sono molto diversi da quelli delloscillatore Potenziale di Woods-Saxon Shell chiusa numero magico OccupazioneTotaleEnl

61 61 Poichè entrambi i potenziali sono sfericamente simmetrici, la sola differenza è nella dipendenza radiale delle funzioni donda Incredibilmente, quando i parametri vengono aggiustati per rendere uguale il potenziale medio, la differenza delle densità di probabilità radiali è molto piccola per questi due potenziali! Dato questo fatto, la semplicità del potenziale armonico fa si che sia preferito nella costruzione del modello Woods-Saxon vs armonico

62 62 Misuriamo la densità di carica elettrica con lo scattering elettronico La differenza di densità di carica fra 205 Tl e 206 Pb è proporzionale al quadrato della funzione donda per il protone extra in 206 Pb, cioè possiamo misurare il quadrato della funzione donda di un singolo protone in un nucleo complesso in questo modo! Conferma della validità delle basi del modello a shell (descrizione a particelle indipendenti) raggio (fm) differenza densità di carica (e/fm 3 ) quadrato della funzione donda delloscillatore armonico per lultimo protone di 206Pb, numeri quantici n = 3, L = 0 Funziona!!! esperimento Come possiamo essere sicuri che il concetto di nucleone con definite proprietà orbitali sia valido allinterno del nucleo?

63 63 Le shell principali osservate sperimentalmente si possono spiegare introducendo una interazione di spin-orbita relativamente forte Interazione spin-orbita Se definiamo il momento angolare di un nucleone abbiamo che j può assumere i due valori Abbiamo quindi In assenza del potenziale V SO la base utilizzata per descrivere il moto orbitale e lo spin è |Lm L,sm s >, mentre con tale potenziale è meglio usare |j m j, L S> in cui è diagonale. Abbiamo quindi

64 64 Abbiamo dunque Quindi il potenziale di spin-orbita introduce una separazione dei livelli di definito momento angolare orbitale in due livelli definiti da j Quindi se V 1 > 0 il livello j = L + 1/2 viene spostato verso il basso, quello con j = L – 1/2 verso lalto In generale si ottiene un buon accordo con lesperimento con

65 65 Consideriamo ad es. un livello come 1f (L = 3) che ha degenerazione 2(2L + 1) = 14. I valori possibili di j sono La degenerazione di ciascun livello è 2j + 1, che proviene dai valori di m j. La capacità dei livelli è dunque 1f 5/2 capacità 6 nucleoni 1f 7/2 capacità 8 nucleoni Lo splitting di energia dipende dipende da L.

66 66 Shell principali: elevata separazione di energia Shell minori: gruppo di livelli in cui la separazione di energia non è molto grande splitting livello 1f: Il livello 1f 7/2 ora appare nel gap fra la seconda e la terza shell. La sua capacità di 8 nucleoni produce il numero magico 28. splitting livello 1g: 1g 9/2 è spinto in basso verso la shell principale inferiore. I suoi 10 nucleoni si aggiungono ai 40 in modo da produrre il numero magico 50. protonineutroni

67 67 Numeri quantici dei nuclei nel modello a particelle indipendenti Consideriamo prima una shell chiusa che corrisponde a un insieme di stati di singola particella completamente riempiti, ad es. 1s 1/2, 1p 3/2 ecc. contenente (2j + 1) protoni o neutroni. Tutti i nucleoni sono dinamicamente accoppiati e non contribuiscono al momento angolare totale. La parità totale è Quindi la parità di una shell chiusa è sempre positiva. 2j + 1 è sempre pari Nel modello a shell protoni e neutroni riempiono indipendentemente i livelli. In aggiunta si assume che coppie di nucleoni identici siano dinamicamente accoppiati in modo tale da essere in stati: j,m e j,-m J tot = 0 non contribuiscono al momento angolare totale del nucleo

68 68 Per una shell chiusa + n nucleoni il momento angolare e la parità sono determinati dagli n nucleoni di valenza in quanto la shell chiusa dà un contributo J =0 + La parità è univocamente determinata, ma ci possono essere diversi valori di J consistenti con le regole di accoppiamento del momento angolare.. nuclei pari-pari J P = 0 + nuclei pari-dispari: J P = dato dal nucleone o buca spaiati nuclei dispari-dispari: p ed n spaiati accoppiamento jj

69 69 Buche: per uno stato quasi pieno, è più semplice considerare laccoppiamento del momento angolare dei nucleoni mancanti piuttosto che di quello dei nucleoni presenti risultato per una shell chiusa I moduli delle due somme parziali devono essere uguali, con valori m opposti Lo stato descrivente una buca può essere espresso in termini di uno stato di particella tramite In alcuni casi in cui manca un nucleone per riempire una shell, le proprietà del nucleo sembrano riflettere quelle del nucleone mancante. Esempio: 15 N 7 protoni e 8 neutroni un protone in meno nel livello 1p1/2 rispetto alla shell chiusa Stato di buca: 1p -1 1/2 lo spin del nucleo è 1/2

70 70 Momenti di dipolo magnetico Nuclei pari-pari: J = 0 = 0 A dispari: dovuto al nucleone o buca spaiati Singolo nucleone proietta su J quindi J su z Il momento di dipolo magnetico misurato è il valor medio nello stato |j,m=j> della componente z Misura fatta in uno stato in cui j è massimalmente allineato con z: assumiamo (classicamente) che z sia la proiezione di su

71 71 Ora Poichè abbiamo Possiamo quindi scrivere = g J N J dove L 2 e S 2 sono diagonali rispetto a |j,m=j> per cui

72 72 Abbiamo due possibilità per il singolo nucleone (s = 1 / 2) Le espressioni che abbiamo ricavato sono note come momenti di Schmidt o momenti di singola particella Questo schema funziona bene solo per nuclei con una particella in più o meno (buca) rispetto a una shell chiusa.

73 73 Il momento è in buon accordo soprattutto nei nuclei leggeri. Quando il numero di nucleoni aumenta, le discrepanze aumentano... sp = momento di singola particella calcolato col modello a shell)

74 74 Possiamo riportare in funzione di j in due diagrammi, uno per i protoni e uno per i neutroni. Abbiamo quindi due linee per j=j +, j=j - note come linee di Schmidt Tutti i momenti magnetici ricadono entro la fascia compresa fra le due linee

75 75 Cosa è sbagliato? -Il modello a particelle indipendenti è troppo semplice – i nucleoni interagiscono fra loro -Le configurazioni possono essere miscelate, cioè diverse combinazioni di diversi stati del modello a shell - I momenti magnetici dei nucleoni legati possono differire da quelli dei nucleoni liberi...

76 76 Stati eccitati dei nuclei Possiamo predire gli stati in cui è eccitato un singolo nucleone utilizzando il modello a shell. Funziona bene per piccole eccitazioni di nuclei A dispari vicino a shell chiuse. Esempio: il nucleo 17 8 O Ci sono 8 protoni e 9 neutroni, per cui dobbiamo considerare solo gli stati bassi nello spettro per capire i livelli di energia Stato fondamentale: pieno fin qui + 1 neutrone neutrone di valenza I numeri quantici dello stato fondamentale dovrebbero essere quelli del neutrone di valenza nello stato 1d 5/2 : J = 5/2 + OK! Predizione del momento magnetico: j = L + 1/2, neutrone dispari = neutrone = N valore misurato –1.89 N accordo eccellente!

77 77 Possiamo immaginare che negli stati eccitati il neutrone di valenza venga promosso in un livello più alto: primo stato eccitato J = 1/2 + Stato fondamentale: pieno fin qui + 1 neutrone stato 1/2 +

78 78 Stato eccitato successivo: J = 1/2 - Si spiega promuovendo un neutrone dal livello 1p 1/2 riempito al livello 1d 5/2 buca neutronica 1/2 - coppia 0 + Altro esempio: Pb Ci aspettiamo un neutrone dispari nella sottoshell 2f 5/2 Interazione di accoppiamento: accoppiamento del neutrone 2f 5/2 e un neutrone da 3p 1/2 energeticamente favorevole lasciando una buca in 3p -1 1/2 J p = 1/2 -

79 79 In generale se ci sono due o più nucleoni al di fuori di un core pieno o quando lenergia di eccitazione è grande, il modello a particelle indipendenti non funziona bene. Esempio: 90 Zr - 50 neutroni (shell chiuse) - 40 protoni (38 in shell chiuse) + 2 in 2p 1/2 o 1g 9/2 (livelli praticamente degeneri) Possibili configurazioni: - (2p 1/2 ) 2 j 1 =j 2 =1/2 solo J= (1g 9/2 ) 2 j 1 =j 2 =9/2 solo J = 0, 2, 4, 6, 8 permessi - (2p 1/2,1g 9/2 ) j 1 =1/2, j 2 =9/2 J=4, 5 Spettro di eccitazione osservato: tutti gli stati elencati sopra, ma non sono degeneri! Interazioni residue reciproche fra i nucleoni di valenza determinano quale dei J permessi ha lenergia minore – non possiamo predirlo a priori ma possiamo imparare dallesperimento. Non sono descritte da un potenziale sfericamente simmetrico o dallinterazione spin- orbita e aumenta con L dei nucleoni. Interazione residua

80 80 Perchè gli stati J dispari non sono permessi? Esprimiamo lo stato di momento angolare totale in termini degli stati relativi alle singole particelle Consideriamo due nucleoni identici con momento angolare totale j, m 1 e j, m 2 Coefficienti di Clebsch-Gordan |JM> deve essere antisimmetrico rispetto allo scambio di particelle cioè scambio di m1 e m2 antisimmetrico solo se J pari

81 81 Hamiltoniana modello a shellV 12 – interazione residua V 12 perturbazione rispetto a H 0 Correzione al primo ordine dellenergia non perturbata degli stati degeneri: diagonalizziamo V 12 V 12 è diagonale automaticamente usando gli stati |JMj1j2> per cui

82 82 Esempio di interazione residua: forza- Elemento di matrice fra due funzioni donda Misura la sovrapposizione fra le funzioni donda. Funzioni donda molto diverse (es. Una particella vicino al centro del nucleo, laltra vicino alla superficie) contributo dellinterazione residuo piccolo Misura la interazione forte prevalentemente attrattiva V 0 negativo Due particelle con funzioni donda simili portano a stati di energia più bassa

83 83 Lontano da shell chiuse, specie in nuclei pesanti, si osservano nuclei con un momento di quadrupolo Q grande nuclei non sfericamente simmetrici V(r) non è più sfericamente simmetrico Modello di Nilsson: potenziale armonico anisotropo Nuclei deformati e ulteriori migliorie oscillazione nel piano x-y oscillazione lungo z Laccordo del modello con le osservazioni può poi essere ulteriormente migliorato introducendo nel potenziale anche un termine proporzionale a L2 = parametro di deformazione

84 84 Momenti di quadrupolo elettrico Misura della deviazione dalla simmetria sferica. Abbiamo visto che Il momento di quadrupolo osservato è Shell chiusa: J = 0 Q = 0. Consideriamo i nuclei con un protone esterno a shell chiuse in uno stato |jm>. Dobbiamo calcolare Esprimiamo lo stato |jm> in termini di |lml,sms>

85 85 Abbiamo Coefficienti di Clebsch-Gordan - m l = j – 1/2 j = L + 1/2 j = L - 1/2 j = L + 1/2 j = L - 1/2 - m l = j + 1/2 In questo modo si trova

86 86 Per calcolare il valore di aspettazione nl usiamo le funzioni donda delloscillatore armonico, che portano a Cosicchè infine Momento di quadrupolo con un protone esterno sempre negativo (a parte j=1/2 che dà Q=0) Solo i protoni possono contribuire. Ma il moto di un neutrone produce un rinculo del resto del sistema che può dar luogo a un momento di quadrupolo (Z/A 2 volte minore di Q di un protone)

87 87 Momenti di quadrupolo e tipi di eccitazione attraverso la carta nucleare:

88 88 Connessione fra il potenziale medio del modello a shell e il potenziale microscopico nucleone- nucleone Potenziale medio: media delle interazione di una singola particella con tutte le altre E possibile determinare questo potenziale medio a partire dalle interazioni microscopiche in modo autoconsistente col metodo di Hartree-Fock. Principio variazionale Consideriamo lequazione di Schrodinger per N nucleoni La funzione donda rende stazionaria la quantità

89 89 Calcoliamo fattorizzando per semplicità la funzione donda in un prodotto di funzioni di singola particella Lhamiltoniana del sistema ha la forma Li-esimo termine cinetico dà E quindi

90 90 Quindi Daltra parte

91 91 F è stazionario rispetto a variazioni di una soluzione dellequazione di Schrodinger. le derivate funzionali rispetto a i sono uguali a zero: Consideriamo il funzionale vincolo che le i siano normalizzate i = moltiplicatori di Lagrange Derivata funzionale

92 92 Equazioni di Hartree Quindi Equazioni di particella singola. Ogni particella è soggetta al potenziale Un nucleone interagisce col campo ottenuto mediando sulle posizioni dei restanti nucleoni. U H potenziale medio del modello a Shell i = autovalori dellenergia

93 93 Le equazioni di Hartree devono essere risolte in modo autoconsistente perchè le soluzioni sono necessarie per costruire il potenziale: - Partiamo da funzioni di prova ad esempio le autofunzioni delloscillatore armonico - calcoliamo il potenziale e risolviamo le equazioni - con le nuove soluzioni ricalcoliamo il potenziale e procediamo iterativamente fino a che il processo converge

94 94 Eccitazioni collettive nei nuclei Circa la metà dei nuclei noti hanno configurazioni (Z,N) pari, J = 0 + Ricordiamo che nella formula di massa semi-empirica è incluso un termine empirico di accoppiamento per tener conto della loro insolita stabilità Il termine di accoppiamento non è descritto dal modello a shell, che ignora del tutto le interazioni fra le particelle! Costa molta energia rompere una coppia di nucleoni e popolare stati più alti di singola particella. La rottura porta a stati eccitati di alta energia osservati, ma (quasi) sistematicamente lo stato eccitato più basso ha J = 2 + E (MeV) 130 Sn

95 95 J =2 + eccitazioni dei nuclei pari-pari tendono ad essere di natura collettiva La distribuzione di materia nucleare come un tuttunico presenta vibrazioni quantizzate in alcuni casi e rotazioni in altri, con frequenze caratteristiche Gli spettri vibrazionali sono osservati in nuclei che hanno una forma sferica intrinseca Le eccitazioni rotazionali tendono a verificarsi in nuclei con deformazioni di quadrupolo permanenti E (MeV) A

96 96 Stati vibrazionali Modello: oscillazioni quantizzate di una goccia di liquido a densità costante (perchè? comportamento repulsivo a piccole distante della forza N-N!) Consideriamo le oscillazioni attorno a una forma sferica di equilibrio, con una superficie di frontiera dipendente dal tempo espressa come combinazione lineare di funzioni armoniche sferiche Lespansione descrive qualunque forma, dati gli appropriati coefficienti. Ciascun contributo può oscillare in linea di principio ad una diversa frequenza Applicazione ai nuclei: 1.Le vibrazioni sono quantizzate, E n = h 2.Quanti di vibrazione: fononi I modi normali del sistema corrispondono a eccitazioni con un particolare valore di e, e questi si verificheranno a frequenze caratteristiche

97 97 Illustrazione: sequenza temporale delle forme nucleari oscillanti OK

98 98 Le oscillazioni di quadrupolo si verificano allenergia più bassa: J = 2 + Tipicamente h 1 MeV in vari nuclei pari-pari Lenergia di eccitazione è bassa, per cui ci possiamo aspettare di osservare fino a diversi fononi di quadrupolo nello spettro Eccitazioni bosoniche, per cui si richiede una funzione donda simmetrica rispetto allo scambio delle particelle (fononi) questo restringe il J totale Ad esempio per due fononi: spettro del modello

99 99 Esempio di eccitazioni vibrazionali: Te 68 stato 3 - ? stati fononici = 2, idealmente degeneri Al contrario aggiungendo un neutrone...

100 100 Lo stato 3 - è un fonone di ottupolo, = 3 J = 3 - h 3 h 2 2 – 3 MeV tipicamente si osserva un fonone di ottupolo per spettro Riassunto: Le eccitazioni di bassa energia nei nuclei sferici pari-pari hanno lo stesso andamento caratteristico dellenergia di eccitazione fino a qualche MeV: 0 + (stato fondamentale) 2 + (fonone di quadrupolo) (2 fononi: 0 +, 2 +, 4 + ) (3 fononi: 0 +, 2 +, , 6 + ) 3 - (ottupolo)

101 101 Stati rotazionali Un moto rotazionale collettivo può essere osservato solo in nuclei con forme di equilibrio non sferiche (cioè lontano da shell chiuse, grande Q). Un nucleo deformato rotante è una forma di equilibrio stabile determinata da nucleoni in rapido moto interno nel potenziale nucleare con lintero nucleo rotante lentamente in modo da non influire sulla struttura nucleare. Sostituiamo L col momento angolare rotazionale J Momento di inerzia fissa la scala dellandamento dei livelli di energia I J permessi determinano la separazione caratteristica dei livelli

102 102 J è quantizzato; bande rotazionali sono spettri caratterizzati da un dato valore del momento di inerzia I e da una serie di livelli di energia: nuclei pari-pari: J = 0, 2, 4, 6, 8, 10 (restrizione su J a causa del fatto che = +) nuclei deformati dispari-pari: J = semi-intero Esempio: 176 Yb (stati di energia quantizzata di un pallone da football!) Rotazioni attorno allasse di simmetria sono indistinguibili; il momento angolare rotazionale deve essere perpendicolare allasse di simmetria I maggiore significa minore separazione fra i livelli di energia

103 103 Il momento di inerzia dà una misura della forma nucleare: Parametrizziamo la forma, il momento di quadrupolo e di inerzia assumendo la forma di di un ellissoide di rivoluzione la cui superficie è Un nucleo con una deformazione stabile ha un grande momento di quadrupolo elettrico Poichè Y 20 non dipende da, R( ) ha simmetria cilindrica. Il parametro di deformazione è legato alleccentricità R=differenza fra semi-asse maggiore e minore > 0 ellissoide prolato < 0 ellissoide oblato Q(2 + ) (b) A

104 104 Nucleo rotante come un solido (modello del corpo rigido) Nucleo rotante come una goccia di liquido (modello del fluido rotante) La realtà stà nel mezzo...Analisi spettrale: un plot di E vs J(J + 1) dovrebbe dare una linea retta di pendenza h 2 /2I Confermato per 174 Hf ma per 158 Er la pendenza decresce (il momento di inerzia cresce) al crescere di J come se fosse un fluido rotante: si verifica uno stretching centrifugo lungo lasse di simmetria al crescere del momento angolare!

105 105 Stato fondamentale Vibrazione : v di superficie normale allasse di simmetria Vibrazione : v di superficie lungo lasse di simmetria Bande rotazionali possono essere create da qualunque stato intrinseco, ad esempio uno stato vibrazionale in cui il nucleo vibra attorno a una forma di equilibrio deformata. banda dello stato fondamentale banda vibrazionale Abbiamo 3 bande rotazionali:

106 106 Momenti degli stati eccitati collettivi Consideriamo nuclei pari-pari. Lo stato fondamentale è J P = 0 +, = 0 Momenti di dipolo magnetico I moti collettivi vibrazionali e rotazionali danno al nucleo un momento di dipolo magnetico. Assumiamo che i protoni e i neutroni siano accoppiati ( ): -Il momento magnetico di spin non contribuisce -Il moto dei protoni crea una corrente elettrica. Ciascun protone avrà un momento magnetico = N L. -Se i moti collettivi di protoni e neutroni sono uguali, allora il contributo al momento angolare nucleare totale da parte dei protoni è Z / A. -Allora, se il moto collettivo dei neutroni non contribuisce al momento di dipolo magnetico

107 107 Momenti magnetici del primo stato eccitato dei nuclei pari-pari Basso A Z / A Alto A Z / A Ragionevole accordo shell chiuse (qui il modello collettivo non è valido)

108 108

109 109 La soluzione dellequazione di Schrodinger ha la forma Buca sferica infinita dove Y lm sono le armoniche sferiche, mentre R(r) è soluzione dellequazione radiale Le soluzioni radiali possono essere espresse in termini delle funzioni di Bessel sferiche j l (k n r). Troviamo gli autovalori dellenergia dalla condizione di frontiera (la funzione donda si deve annullare sul bordo della buca) Consideriamo ad es. L = 0. Gli zeri di j 0 (x) si hanno per x = 3.14, 6.28, 9.42,... Per L = 1 i primi zeri si hanno per x = 4.49, 7.73, 10.9,... Poichè E = h 2 k 2 /2m, possiamo quindi determinare E ripetendo il processo per ogni L e costruire così lo spettro di energia.

110 110 Notazione spettroscopica degli stati radiali: n = 1, 2, 3, 4,... L = s, p, d, f, g, h,... = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... I livelli nL sono 2 x (2L + 1) degeneri. OccupazioneTotale Shell chiusa numero magico Enl I nuclei con Z(N) = 2, 8, 20,... sono particolarmente stabili shell chiuse (livelli completamente occupati) Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare nei primi due livelli della buca. Il successivo riempimento daltra parte non coincide


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