La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Il modello della goccia di liquido

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Il modello della goccia di liquido"— Transcript della presentazione:

1 Il modello della goccia di liquido
Uno dei primi modelli del nucleo proposti Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di “molecole” legate fra loro Queste molecole sono in moto costante e diversi tipi di moto sono possibili Consideriamo il nucleo come una sfera di densità uniforme interna, che va a zero in superficie Goccia di liquido Nucleo forze intermolecolari a forza nucleare corto range Densità indip. dalla densità indip. dalla dalla dimensione goccia dimensione nucleare Calore richiesto per B/A  costante evaporare una massa fissa indipendente dalla goccia Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

2 Singoli termini dell’energia di legame
Il termine di volume +avA Termine dominante, proporzionale al volume BR3. Poichè AR3  B A, e B/A=cost. Ciascun nucleone contribuisce per circa 16 MeV. Da questo deduciamo che la forza nucleare ha corto range, corrispondente approssimativamente alla distanza fra due nucleoni. Questo fenomeno è detto saturazione. Infatti, se ciascun nucleone interagisse con tutti gli altri nucleoni, l’energia di legame totale sarebbe proporzionale ad A(A-1) o approssimativamente ad A2. A causa della saturazione, la densità centrale dei nucleoni è la stessa per quasi tutti i nuclei: 0.17 nucleoni/fm3 o 3x1017 kg/m3. La distanza media fra i nucleoni è circa 1.8 fm. Il termine di superficie -asA2/3 I nucleoni in superficie sono circondati da meno nucleoni. Perciò l’energia di legame è minore rispetto ai nucleoni all’interno. Questo contributo è proporzionale all’area della superficie del nucleo (R2 o A2/3) Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

3 Il termine coulombiano –acZ2/A1/3
La forza elettrica repulsiva agente fra i protoni nel nucleo riduce ulteriormente l’energia di legame. Questo termine vale Poichè R A1/3 segue che questo termine è approssimativamente proporzionale a Z2/A1/3 Mettendo tutto assieme troviamo volume superficie Coulomb simmetria Numero di massa A B/A (MeV per nucleone) La formula è ancora inadeguata: per A fissato, predice che il nucleo con Z=0 ha la massima energia di legame (cioè tutti i protoni si convertono in neutroni!) Inoltre l’energia di legame per nucleone presenta ancora una pendenza positiva al crescere del numero di massa. Questo non si osserva in natura Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

4 Un’importante considerazione per le particelle nella buca di potenziale è il principio di Pauli – questo influisce sullo stacking dei singoli protoni e neutroni e quindi sulle rispettive energie buca di protoni buca di neutroni neutrone protone cambiamo 2 protoni in 2 neutroni separazione fra i livelli E cambiamo 2 protoni in 2 neutroni Aumento di energia=2 E Aumento di energia=4x2 E Termine di asimmetria Per passare da N-Z=0 a N>Z con A fissato è richiesta un’energia pari a (N-Z)2E/8 Nuclei con N=Z hanno energia di legame maggiore e sono perciò più fortemente legati di un nucleo con NZ. La correzione viene scalata di 1/A poichè i livelli sono più ravvicinati al crescere di A Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

5 Contributi a B/A Energia di legame per nucleone (MeV)
Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Numero di massa A

6 Il termine di accoppiamento
Questo riflette l’osservazione sperimentale che due protoni o due neutroni sono sempre più fortemente legati di un protone e un neutrone. Questa interazione di accoppiamento favorisce la formazione di coppie di nucleoni dello stesso tipo (pp, nn) con spin opposti  e funzione spaziale d’onda simmetrica Il termine viene aggiunto nel modo seguente: Per nuclei A dispari Z pari, N dispari Z dispari, N pari Per A pari Z dispari, N dispari (Z,A) Z pari, N pari (Z,A) Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

7 La formula di massa semi-empirica (Weizsacher)
La formula finale è per l’energia di legame è Da cui si ottiene la formula di massa semi-empirica I valori esatti dei coefficienti dipendono dal range di masse per cui sono ottimizzati. Un possibile insieme di parametri è av=15.67 MeV as=17.23 MeV ac=0.714 MeV aa= MeV = MeV Z ed N pari 0 MeV A dispari +11.2 MeV Z ed N dispari Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

8 Confronto con l’esperimento
Energia di legame per nucleone dei nuclei con numero di massa A pari La linea continua corrisponde alla formula di massa semi-empirica Deviazioni relativamente grandi per A piccolo Per A grande legame abbastanza più forte a certi Z ed N. Questi cosidetti “numeri magici” vengono spiegati dal modello a shell Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

9 Limiti della formula semi-empirica
Ulteriori studi della saturazione della forza e della repulsione a corto range indicano che il principio di esclusione di Pauli non è sufficiente. Il momento angolare orbitale relativo e lo spin dei nucleoni sono richiesto per spiegare le caratteristiche della natura repulsiva della forza. Queste discussioni sono tuttavia qualitative. Non c’è posto nella formula di massa semi-empirica per gli effetti di spin. L’ipotesi del nucleo sferico implica che il nucleo non ha un momento di quadrupolo elettrico – tuttavia si osservano diversi nuclei aventi momento di quadrupolo diverso da zero. Se il nucleo può essere considerato come una goccia allora ci aspetteremmo fenomeni collettivi come stati rotazionali o vibrazionali. Il modello della goccia di liquido tuttavia ha un potere preditivo molto limitato in questo senso. Il modello però si dimostra molto utile per considerare la linea della stabilità nel decadimento  e la stabilità nucleare nella fissione e nel decadimento . Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

10 Applicazione 1: parabola di massa
Consideriamo nuclei con lo stesso numero di massa A (isobari). La formula di Weizsacker può essere trasformata in dove i coefficienti sono Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Un grafico delle masse nucleari in funzione di Z per A costante dà una parabola di massa per A dispari. Per A pari le masse dei nuclei pari-pari e dispari-dispari si trovano su due parabole spostate verticalmente (di 2ap/A1/2) Il minimo delle parabole si trova per Z=/2. Il nucleo con la massa minore in uno spettro isobarico è stabile rispetto al decadimento .

11 Parabole di massa per A=101, A=106
Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Più dettagli sul decadimento  nelle prossime trasparenze

12 Decadimento  - nuclei di massa dispari
I nuclei di numero di massa dispari sono situati su una singola parabola di massa, ad esempio quelli per A=101 nella trasparenza precedente. M(A,Z) è la massa atomica, per cui la massa dell’elettrone creato viene presa in considerazione automaticamente. La massa del neutrino elettronico è così piccola (<< eV/c2) che può essere trascurata. La reazione del decadimento + è possibile solo all’interno di un nucleo, perchè la massa a riposo del neutrone è maggiore di quella del protone. Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

13 Decadimento  - nuclei di massa pari
Gli isobari di numero di massa pari formano due parabole separate, una per i nuclei pari-pari, l’altra per i nuclei dispari-dispari, che sono separate da due volte l’energia di accoppiamento. Talvolta c’è più di un nucleo pari-pari  stabile. Ad esempio, nel caso di A=106, ci sono 10646Pd e 10648Cd Il primo è genuinamente stabile, poichè è nel minimo della parabola L’isotopo Cd potrebbe invece decadere via doppio decadimento : Tuttavia, la probabilità di tale processo è così piccola che 10648Cd può essere considerato stabile. Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation I nuclei dispari-dispari per A>14 non sono mai stabili, poichè essi hanno sempre un vicino pari-pari più fortemente legato. I nuclei leggeri 21H, 63Li, 105B, 147N sono stabili, poichè l’aumento dell’energia di asimmetria supererebbe la diminuzione dell’energia di accoppiamento.

14 Intermezzo: cattura elettronica
Un diverso processo fisico in competizione col decadimento + è la cattura elettronica: Esiste una probabilità finita di trovare un elettrone di una shell atomica all’interno del nucleo; in particolare per quelli della shell inferiore, la shell K. Poichè una cattura elettronica lascia una vacanza nella shell K, gli elettroni eseguiranno una cascata per riempirla emettendo raggi X caratteristici. La condizione per la cattura elettronica è Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Dove  è l’energia di eccitazione della shell atomica del nucleo figlio. La cattura elettronica ha perciò più energia a disposizione del decadimento + (2mec2- )

15 Esempio: decadimenti del 40K
Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

16 Applicazione 2: fissione spontanea
Per nuclei più pesanti del ferro, l’energia di legame diminuisce al crescere della massa. Un nucleo con Z > 60 può perciò, in linea di principio, suddividersi in due nuclei più leggeri. Fortunatamente, la barriera di potenziale è generalmente così grande che tali reazioni sono molto improbabili. I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è significativa sono certi isotopi dell’uranio. Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation L’altezza della barriera per fissione determina la probabilità di fissione spontanea

17 La massa in assenza e in presenza di deformazione è
Stimiamo la massa a cui i nuclei diventano instabili a causa della fissione considerando una deformazione: La massa in assenza e in presenza di deformazione è Per cui Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Se allora il nucleo è instabile rispetto alla deformazione e può suddividersi.

18 Il termine di volume della SEMF è invariato poichè
Variazione del termine di superficie Variazione del termine coulombiano variazione dell’energia di legame Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Se Z2/A > 2as/ac B>0 il nucleo è instabile per deformazioni

19 Il modello del gas di Fermi
Il potenziale a cui un singolo nucleone è soggetto è la sovrapposizione dei potenziali degli altri nucleoni. Questo potenziale ha la forma di una sfera di raggio R = R0 A1/3 fm, equivalente ad una buca di potenziale quadrata 3-D di raggio R. I nucleoni si muovono liberamente (come un gas) all’interno del nucleo, cioè all’interno della sfera di raggio R. I nucleoni riempiono i livelli nella buca fino all’energia di Fermi EF. Le buche di potenziale di protoni e neutroni in generale possono essere diverse. Se l’energia di Fermi fosse diversa per protoni e neutroni, il nucleo sarebbe soggetto a decadimento b in uno stato energeticamente più favorevole In generale i nuclei pesanti stabili hanno un surplus di neutroni Perciò la buca del gas di neutroni deve essere più profonda di quella dei protoni I protoni sono perciò in media meno legati dei neutroni (repulsione Coulombiana) Possiamo avere 2 protoni/2 neutroni per livello di energia, in quanto gli spin possono essere  Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

20 La differenza fra l’energia di Fermi e la cima della buca di potenziale è l’energia di legame B = 7-8 MeV/nucleone che abbiamo visto nella discussione del modello della goccia di liquido. La profondità della buca V0 è in buona approssimazione indipendente dal numero di massa A Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

21 e abbiamo l’equazione di Schrodinger
L’hamiltoniana del sistema è data dall’energia cinetica dei singoli nucleoni e abbiamo l’equazione di Schrodinger Possiamo scrivere la funzione d’onda nucleare nella forma (separazione delle variabili) Ciascuna delle funzioni d’onda di singolo nucleone soddisfa quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Possiamo operare un’ulteriore fattorizzazione in modo da arrivare a equazioni del tipo

22 con le condizioni di frontiera
Abbiamo la soluzione con le condizioni di frontiera quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Questo implica che il vettore d’onda kix può assumere solo i valori

23 La costante di normalizzazione si trova imponendo
in questo modo arriviamo alla funzione d’onda di singolo nucleone con Definition of nuclear physics Areas of study and the applications A ciascuna terna di interi (nix,niy,niz) corrisponde un autovalore dell’energia di particella singola

24 Nel k-spazio l’intervallo minimo fra due stati diversi è
Nello stato fondamentale tutti gli stati sono riempiti con due protoni e due neutroni. Nel k-spazio l’intervallo minimo fra due stati diversi è Un singolo stato occupa un volume (p/L) Il numero di stati fra k e k + d3k è Il numero totale di stati permessi fino a un valore massimo kF di k è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Otteniamo l’energia più bassa assumendo che N = Z = A / 2 e mettendo 4 particelle in ogni stato fino a kF

25 Energia cinetica e raggio nucleare
Poichè r0 = A / , il momento di Fermi dipende solo dalla densità nucleare Praticamente per tutti i nuclei con A > 12 abbiamo r0 = 0.17 nucleoni / fm3, da cui Un nucleone con momento di Fermi ha energia cinetica L’energia cinetica di un nucleone di momento k è Tk = h2k2/2m. L’energia cinetica totale è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

26 I nucleoni nella buca hanno un’energia cinetica media
Se assumiamo che il nucleo sia una sfera di raggio R di densità uniforme r0, allora Possiamo quindi ricavare il raggio R Se kF = 1.36 fm-1, otteniamo Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

27 Parametri della formula semi-empirica
Nella formula di massa semi-empirica il termine dominante è quello di volume Poichè T/A  23 MeV, bvol (energia di legame per nucleone) deve derivare dal bilanciamento di T/A e un’energia potenziale media per nucleone Per calcolare U assumiamo che fra i nucleoni agisca una forza centrale V(|ri-rj|) identica in tutti gli stati. La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications L’energia potenziale media Uij è il valore di aspettazione di V rispetto a ij termine diretto termine di scambio

28 Consideriamo per semplicità soltanto il termine diretto
Otteniamo l’energia potenziale dell’intero sistema sommando su tutte le coppie, che sono A(A – 1)/2  A2 / Possiamo inoltre porre |f(r)|2 = r(r) / A Nel gas di Fermi la densità è costante r = r0 = A /  Introducendo le coordinate r = ri – rj, R = (ri + rj) / 2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications dove

29 L’energia totale del sistema è approssimativamente
Non dipende da A o dal volume. Nel caso della buca di potenziale di lato a ad esempio L’energia totale del sistema è approssimativamente Possiamo quindi scrivere Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Abbiamo quindi un’energia di legame proporzionale al volume, come nella formula semi-empirica.

30 Equazione di stato del sistema nucleare
Abbiamo visto che D’altra parte possiamo esprimere il momento di Fermi in termini della densità come Per cui Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Equazione di stato del sistema nucleare

31 Se V>0 (forza puramente attrattiva), allora per r   BE/A diventa infinitamente negativa! Il sistema collasserebbe. Esiste una componente repulsiva della forza quando la distanza dei nucleoni è minore di fm Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

32 Il termine di superficie
Presenza di una superficie (S/0): nel conto degli stati fra k e k+d3k dobbiamo sottrarre gli stati per i quali kx (o ky o kz) = 0 Abbiamo quindi Il numero di nucleoni è ora Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

33 Possiamo quindi calcolare l’energia cinetica totale
La presenza della superficie diminuisce la densità del sistema di un termine proporzionale a S/ Possiamo quindi calcolare l’energia cinetica totale L’energia cinetica per nucleone è invece (assumendo S/<<1) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il termine di superficie aumenta <T>

34 Assumendo che R = r0A1/3 e poichè kF=(9p/8)1/3/r0, possiamo scrivere
Il termine dell’energia cinetica dovuto alla superficie è quindi 18 MeV (vicino a bsup) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

35 Energia di simmetria Consideriamo un nucleo con N = Z = A / 2 e supponiamo che l degli Z protoni diventino neutroni Nel caso del nucleo simmetrico Possiamo analogamente definire nel gas asimmetrico Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Abbiamo quindi

36 Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
Per passare a questa nuova configurazione è necessaria una certa energia perchè l’energia dei protoni sotto il livello di Fermi è minore di quella dei neutroni posti sopra il livello di Fermi. La variazione di energia cinetica è Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come Definition of nuclear physics Areas of study and the applications dove

37 Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
Poichè lA = N’ – Z’ bsim = 23.3 MeV  circa il 50% dell’energia di simmetria dei nuclei deriva dal principio di Pauli Il restante 50% dipende dall’energia potenziale che tende ad essere meno attrattivo per momenti grandi per cui i neutroni in eccesso sopra k0F saranno meno legati Inoltre è più attrattivo per coppie n-p (singoletto di isospin) che per coppie p-n, p-p, n-n in tripletto di isospin e il numero di coppie p-n è massimo quando N = Z Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

38 Altre applicazioni del gas di Fermi – nane bianche
Quando una stella esaurisce il suo combustibile comincia a contrarsi. E’ possibile raggiungere una nuova condizione di equilibrio in cui la pressione gravitazionale è bilanciata dalla pressione di degenerazione degli elettroni. Supponiamo che elettroni e protoni formino un gas di Fermi all’interno della stella. La densità di elettroni è Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Se assumiamo che ci sia un ugual numero di protoni ed elettroni, allora il momento di Fermi è identico e np = ne.

39 Calcoliamo la densità di energia. Per gli elettroni
Nel caso dei protoni invece Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation La densità di energia dei protoni è minore poichè la loro massa è circa 2000 volte me

40 In generale abbiamo la relazione fra pressione e densità di energia
Il gas di Fermi possiede una pressione dovuta al principio di esclusione di Pauli che impedisce di mettere più di una particella in un singolo stato. E’ questa pressione che può bilanciare la pressione gravitazionale. In generale abbiamo la relazione fra pressione e densità di energia Quindi nel nostro caso Il contributo alla pressione da parte dei protoni è trascurabile rispetto a quello degli elettroni. Solo questi sono importanti nel contrastare la pressione gravitazionale. D’altra parte, la densità di massa del sistema è Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Nel caso della densità di massa quindi il contributo degli elettroni è trascurabile. Solo i protoni sono importanti.

41 Dalla relazione densità – momento di Fermi ricaviamo
Sostituiamo questo nell’espressione della pressione Possiamo riscrivere Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Questa è l’equazione di stato della materia degenere all’interno della stella.

42 Introduciamo la densità critica
Nel denominatore compare la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone L’equazione di stato può essere riscritta nella forma Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Cosa succede quando r = rC? In questo caso Gli elettroni si muovono alla velocità della luce  gli effetti relativistici sono importanti

43 L’energia di una particella può essere espressa come
Se vc, allora p2c2>>m2c4 e E  pc. Quindi la densità di energia degli elettroni diventa La pressione è Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation Arriviamo, con passaggi simili al caso precedente a

44 Riassumendo, dove Nuclear properties can be summarized into static properties such as size etc….. Nuclear Radius measurements Scattering experiments and their interpretation

45 Modelli a shell Abbiamo visto che il modello della goccia di liquido dà una descrizione abbastanza buona dell’energia di legame. Offre anche una spiegazione qualitativa della fissione spontanea. Il modello del gas di Fermi, assumendo come potenziale una semplice buca quadra 3D (differente per protoni e neutroni) spiega i termini della formula di massa semi-empirica che non era possibile ricavare dal modello della goccia di liquido. Esamineremo ora ulteriori fatti sperimentali che il modello del gas di Fermi non può spiegare e vedremo quindi come sia possibile migliorare il modello Questo ci porterà al Modello a Shell. Vedremo che i nucleoni possono muoversi liberamente all’interno del nucleo. Questo è in accordo con l’idea che essi sono soggetti a un potenziale efficace globale creato dalla somma degli altri nucleoni. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

46 Struttura a shell nucleare
Nuclei con valori di “numeri magici” Z e/o N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 sono molto stabili e presentano deviazioni significative dal comportamento nucleare medio. B/A e le energie di separazione sono grandi per i numeri magici Fe energia dalla fissione nucleare Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione energia dalla fusione nucleare Definition of nuclear physics Areas of study and the applications energia di legame per particella nucleare (nucleone) in MeV hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone La massa media dei frammenti di fissione è circa 118 235U Numero di Massa A

47 Energia di legame dell’ultimo neutrone (MeV)
Energia di separazione dell’ultimo neutrone a cui è sottratto il valore della SEMF Energia di legame dell’ultimo neutrone (MeV) Z Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Numero di neutroni N

48 Energia di particelle a emesse da isotopi di Rn
Energia di particelle a emesse da isotopi di Rn. Picco a N = 128, cioè il nucleo figlio con N = 126 è particolarmente legato Ea MeV Sezione d’urto s (mb) numero di neutroni N numero di neutroni N Definition of nuclear physics Areas of study and the applications I nuclei con numeri magici di neutroni hanno sezioni d’urto di assorbimento neutronico fino a 2 ordini di grandezza minori di altri nuclei di masse simili

49 Abbondanze nucleari 56Fe è l’isotopo più abbondante e stabile. Non ha Z o N uguale a un numero magico! 56Fe Oscillazioni delle abbondanze a seconda che Z e N pari o dispari Abbondanza relativa Le abbondanze piccano per Z o N uguali a un numero magico N=50 Nucleo doppiamente magico Z=82 N = Pb Z=50 N=82 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Numero di massa A

50 Nuclei doppiamente magici
Nuclei che hanno sia il numero di neutroni che quello di protoni uguale a uno dei numeri magici sono detti doppiamente magici e sono particolarmente stabili Energia di legame sopra la formula di Weizsacher (MeV) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Il calcio fornisce un buon esampio. L’esistenza di molti isotopi di calcio può essere dovuto al fatto che Z = 20 è un numero magico. I due isotopi mostrati hanno numero di neutroni 20 e 28, anch’essi numeri magici

51 Le shell sono riempite in base al principio di esclusione di Pauli.
Analogia col comportamento atomico man mano che gli elettroni riempiono le shell ⇒ Modello del gas di Fermi Atomo Gli elettroni si muovono indipendentemente nel potenziale centrale V(r)~1/r (campo coulombiano del nucleo). Le shell sono riempite in base al principio di esclusione di Pauli. Le proprietà dell’atomo sono definite dagli elettroni di valenza I livelli dell’energia sono ottenuti risolvendo l’equazione di Schrödinger col potenziale centrale (dovuto al nucleo) Numero magico Z → atomi di gas nobili Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

52 Modello a shell nucleare
I nucleoni si muovono in un potenziale nucleare che rappresenta l’effetto medio delle interazioni con gli altri nucleoni nel nucleo e occupano stati di definito momento angolare orbitale Forza nucleare a corto range  vicino al centro potenziale costante Vicino alla superficie la densità diminuisce  V(r) diminuisce V(r) per i protoni è modificato dall’interazione di Coulomb (decadimento a) 1. Buca quadra 2. Potenziale armonico Definition of nuclear physics Areas of study and the applications 3. Potenziale di Woods-Saxon V(r) generato dai nucleoni forma funzionale analoga a quella della densità del nucleo r(r) ma con maggiore estensione

53 Postulato: i nucleoni sono in orbite ben definite con energie discrete
Nello stato fondamentale i nucleoni occupano livelli di energia del potenziale nucleare che minimizzano l’energia totale senza violare il principio di Pauli. Il principio di esclusione di Pauli opera indipendentemente per i protoni e i neutroni Tendenza a Z=N E minima Postulato: i nucleoni sono in orbite ben definite con energie discrete Obiezione: i nucleoni hanno dimensione simile a quella del nucleo. Ci aspettiamo molti urti. Come ci possono essere orbite ben definite (c.f. Elettroni negli atomi)? Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Principio di Pauli: se l’energia è trasferita in un urto allora i nucleoni si devono muovere in nuovi stati. Tuttavia tutti gli stati vicini sono occupati ∴ nessun urto, cioè quasi tutti i nucleoni in un nucleo si muovono liberamente se esso è nello stato fondamentale.

54 Giustificazione per un potenziale centrale:
I momenti di quadrupolo misurati dei nuclei sono relativamente piccoli, almeno vicino ai “numeri magici” che ci interessa spiegare; A metà strada fra i numeri magici, ad esempio attorno a Z o N = 70, 100 le cose cambiano e dovremo usare un approccio diverso, ma almeno per i nuclei più leggeri questa ipotesi dovrebbe essere ragionevole

55 La soluzione dell’equazione di Schrodinger ha la forma
Trattiamo quindi ciascun nucleone indipendentemente e risolviamo l’equazione di Schrödinger col potenziale nucleare per ottenere i livelli di energia La soluzione dell’equazione di Schrodinger ha la forma Ylm (armoniche sferiche) è la parte angolare ed è la stessa per tutti i potenziali centrali. R(r) è la soluzione dell’equazione radiale Gli stati permessi sono specificati da n, l, m: n numero quantico radiale (numero di nodi nella funzione d’onda radiale) l momento angolare orbitale (qualunque per dato n) (in fisica atomica lmax=n-1) m numero quantico magnetico (m = -l……+l) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

56 Se scegliamo il corretto potenziale V(r) allora la funzione d’onda dell’intero nucleo può essere scritta come un prodotto di funzioni d’onda di singola particella corrispondenti agli A nucleoni Sovrasemplificazione ... In realtà deve essere scritta come un prodotto di funzioni d’onda antisimetrizzato poichè i nucleoni sono fermioni identici. Il momento angolare totale è La parità del nucleo è Sempre pari per un numero pari di nucleoni

57 Potenziale armonico Soluzione della parte radiale  prodotto di un esponenziale e polinomio Oscillazione nella regione classicamente permessa e decadimento esponenziale in quella proibita. I livelli dell’energia possono essere espressi come Per N>0 sono tutti degeneri: più coppie (n,l) danno luogo alla stessa energia. N pari  L pari e può essere al più uguale a N N dispari  L dispari e può essere al più uguale a N Esempio per n = 5 i valori permessi di L sono 1, 3, 5. Poichè E non dipende anche da mL, per ogni L abbiamo un’ulteriore degenerazione (2L + 1). Quindi N = 5 ha una degenerazione (2 x 1 + 1) + (2 x 3 + 1) + (2 x 5 + 1) = 21. Abbiamo infine la degenerazione di spin pari a 2. La degenerazione è complessiva è quindi 42. In generale la degenerazione è Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

58 Diagramma dei livelli di energia (la degenerazione va moltiplicata per 2):
Definition of nuclear physics Areas of study and the applications nL: Ridefiniamo il numero quantico n in modo tale da contare il numero di livelli col dato valore di l.

59 Shell chiusa  numero magico
Riempiamo le shell sia per i protoni che che per i neutroni Degenerazione di un livello nL: (2s+1)(2l+1) = 2(2l+1) (s=1/2) Shell chiusa  numero magico Occupazione Totale Enl Definition of nuclear physics Areas of study and the applications I nuclei con Z(N) = 2, 8 , 20, ... sono particolarmente stabili  shell chiuse (livelli completamente occupati) Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare nei primi tre livelli del potenziale armonico. Le successive shell d’altra parte non coincidono

60 Shell chiusa  numero magico
Potenziale di Woods-Saxon Una dipendenza radiale più realistica modifica un pò la successione dettagliata dei livelli  parte della degenerazione L dell’oscillatore è rimossa. Ma i numeri magici non sono molto diversi da quelli dell’oscillatore Shell chiusa  numero magico Occupazione Totale Enl Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

61 Woods-Saxon vs armonico
Poichè entrambi i potenziali sono sfericamente simmetrici, la sola differenza è nella dipendenza radiale delle funzioni d’onda Incredibilmente, quando i parametri vengono aggiustati per rendere uguale il potenziale medio, la differenza delle densità di probabilità radiali è molto piccola per questi due potenziali! Dato questo fatto, la semplicità del potenziale armonico fa si che sia preferito nella costruzione del modello Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

62 Misuriamo la densità di carica elettrica con lo scattering elettronico
Come possiamo essere sicuri che il concetto di nucleone con definite proprietà orbitali sia valido all’interno del nucleo? Misuriamo la densità di carica elettrica con lo scattering elettronico quadrato della funzione d’onda dell’oscillatore armonico per l’ultimo protone di 206Pb, numeri quantici n = 3, L = Funziona!!! La differenza di densità di carica fra 205Tl e 206Pb è proporzionale al quadrato della funzione d’onda per il protone extra in 206Pb, cioè possiamo misurare il quadrato della funzione d’onda di un singolo protone in un nucleo complesso in questo modo!  Conferma della validità delle basi del modello a shell (descrizione a particelle indipendenti) esperimento differenza densità di carica (e/fm3) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications raggio (fm)

63 Interazione spin-orbita
Le shell principali osservate sperimentalmente si possono spiegare introducendo una interazione di spin-orbita relativamente forte Se definiamo il momento angolare di un nucleone abbiamo che j può assumere i due valori Abbiamo quindi In assenza del potenziale VSO la base utilizzata per descrivere il moto orbitale e lo spin è |LmL,sms>, mentre con tale potenziale è meglio usare |j mj, L S> in cui è diagonale Abbiamo quindi Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

64 In generale si ottiene un buon accordo con l’esperimento con
Abbiamo dunque Quindi il potenziale di spin-orbita introduce una separazione dei livelli di definito momento angolare orbitale in due livelli definiti da j Quindi se V1 > 0 il livello j = L + 1/2 viene spostato verso il basso, quello con j = L – 1/2 verso l’alto Definition of nuclear physics Areas of study and the applications In generale si ottiene un buon accordo con l’esperimento con

65 1f5/2 capacità 6 nucleoni 1f7/2 capacità 8 nucleoni
Consideriamo ad es. un livello come 1f (L = 3) che ha degenerazione 2(2L + 1) = 14. I valori possibili di j sono La degenerazione di ciascun livello è 2j + 1, che proviene dai valori di mj La capacità dei livelli è dunque 1f5/2 capacità 6 nucleoni f7/2 capacità 8 nucleoni Lo splitting di energia dipende dipende da L. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

66 Shell principali: elevata separazione di energia
splitting livello 1f: Il livello 1f7/2 ora appare nel gap fra la seconda e la terza shell. La sua capacità di 8 nucleoni produce il numero magico 28. splitting livello 1g: g9/2 è spinto in basso verso la shell principale inferiore. I suoi 10 nucleoni si aggiungono ai 40 in modo da produrre il numero magico 50. Shell principali: elevata separazione di energia Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Shell minori: gruppo di livelli in cui la separazione di energia non è molto grande protoni neutroni

67 Numeri quantici dei nuclei nel modello a particelle indipendenti
Nel modello a shell protoni e neutroni riempiono indipendentemente i livelli. In aggiunta si assume che coppie di nucleoni identici siano dinamicamente accoppiati in modo tale da essere in stati: j,m e j,-m  Jtot= 0 non contribuiscono al momento angolare totale del nucleo Consideriamo prima una “shell chiusa” che corrisponde a un insieme di stati di singola particella completamente riempiti, ad es. 1s1/2, 1p3/2 ecc. contenente (2j + 1) protoni o neutroni.  Tutti i nucleoni sono dinamicamente accoppiati e non contribuiscono al momento angolare totale. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La parità totale è 2j + 1 è sempre pari Quindi la parità di una shell chiusa è sempre positiva.

68 nuclei pari-dispari: JP = dato dal nucleone o buca spaiati
Per una shell chiusa + n nucleoni il momento angolare e la parità sono determinati dagli n nucleoni di “valenza” in quanto la shell chiusa dà un contributo Jp=0+ La parità è univocamente determinata, ma ci possono essere diversi valori di J consistenti con le regole di accoppiamento del momento angolare nuclei pari-pari JP = 0+ nuclei pari-dispari: JP = dato dal nucleone o buca spaiati nuclei dispari-dispari: p ed n spaiati accoppiamento jj  Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

69 Stato di buca: 1p-11/2  lo spin del nucleo è 1/2
In alcuni casi in cui manca un nucleone per riempire una shell, le proprietà del nucleo sembrano riflettere quelle del nucleone mancante. Buche: per uno stato quasi pieno, è più semplice considerare l’accoppiamento del momento angolare dei nucleoni mancanti piuttosto che di quello dei nucleoni presenti I moduli delle due somme parziali devono essere uguali, con valori m opposti risultato per una shell chiusa Lo stato descrivente una buca può essere espresso in termini di uno stato di particella tramite Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Esempio: 15N 7 protoni e 8 neutroni  un protone in meno nel livello 1p1/2 rispetto alla shell chiusa Stato di buca: 1p-11/2  lo spin del nucleo è 1/2

70 Momenti di dipolo magnetico
Nuclei pari-pari: J = 0  m = 0 A dispari: m dovuto al nucleone o buca spaiati Singolo nucleone Il momento di dipolo magnetico misurato è il valor medio nello stato |j,m=j> della componente z Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Misura fatta in uno stato in cui j è massimalmente allineato con z: assumiamo (classicamente) che mz sia la proiezione di su proietta m su J ... ... quindi J su z

71 L2 e S2 sono diagonali rispetto a |j,m=j> per cui
Ora Poichè abbiamo L2 e S2 sono diagonali rispetto a |j,m=j> per cui Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Possiamo quindi scrivere m = gJ mN J dove

72 Abbiamo due possibilità per il singolo nucleone (s = 1 / 2)
Le espressioni che abbiamo ricavato sono note come momenti di Schmidt o momenti di singola particella Questo schema funziona bene solo per nuclei con una particella in più o meno (buca) rispetto a una shell chiusa. Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

73 Il momento è in buon accordo soprattutto nei nuclei leggeri
Il momento è in buon accordo soprattutto nei nuclei leggeri. Quando il numero di nucleoni aumenta, le discrepanze aumentano ... Definition of nuclear physics Areas of study and the applications (msp = momento di singola particella calcolato col modello a shell)

74 Abbiamo quindi due linee per j=j+, j=j- note come linee di Schmidt
Possiamo riportare m in funzione di j in due diagrammi, uno per i protoni e uno per i neutroni. Abbiamo quindi due linee per j=j+, j=j- note come linee di Schmidt Tutti i momenti magnetici ricadono entro la fascia compresa fra le due linee Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

75 Definition of nuclear physics
Areas of study and the applications Cosa è sbagliato? Il modello a particelle indipendenti è troppo semplice – i nucleoni interagiscono fra loro Le configurazioni possono essere miscelate, cioè diverse combinazioni di diversi stati del modello a shell - I momenti magnetici dei nucleoni legati possono differire da quelli dei nucleoni liberi ...

76 Stati eccitati dei nuclei
Possiamo predire gli stati in cui è eccitato un singolo nucleone utilizzando il modello a shell. Funziona bene per piccole eccitazioni di nuclei A dispari vicino a shell chiuse. Esempio: il nucleo 178O Ci sono 8 protoni e 9 neutroni, per cui dobbiamo considerare solo gli stati bassi nello spettro per capire i livelli di energia neutrone di valenza Stato fondamentale: pieno fin qui neutrone Definition of nuclear physics Areas of study and the applications I numeri quantici dello stato fondamentale dovrebbero essere quelli del neutrone di valenza nello stato 1d5/2: Jp = 5/2+ OK! Predizione del momento magnetico: j = L + 1/2, neutrone dispari  m = mneutrone = mN valore misurato –1.89 mN accordo eccellente!

77 primo stato eccitato Jp = 1/2+
Possiamo immaginare che negli stati eccitati il neutrone di valenza venga promosso in un livello più alto: primo stato eccitato Jp = 1/2+ stato 1/2+ Stato fondamentale: pieno fin qui neutrone Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

78 Stato eccitato successivo: Jp = 1/ Si spiega promuovendo un neutrone dal livello 1p1/2 riempito al livello 1d5/2 coppia 0+ buca neutronica 1/2- Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Altro esempio: 20782Pb Ci aspettiamo un neutrone dispari nella sottoshell 2f5/ Interazione di accoppiamento: accoppiamento del neutrone 2f5/2 e un neutrone da 3p1/2 energeticamente favorevole lasciando una buca in 3p-11/2  Jp = 1/2-

79 Interazione residua In generale se ci sono due o più nucleoni al di fuori di un core pieno o quando l’energia di eccitazione è grande, il modello a particelle indipendenti non funziona bene. Esempio: 90Zr neutroni (shell chiuse) protoni (38 in shell chiuse) + 2 in 2p1/2 o 1g9/2 (livelli praticamente degeneri) Possibili configurazioni: (2p1/2) j1=j2=1/  solo J= (1g9/2) j1=j2=9/  solo J = 0, 2, 4, 6, 8 permessi (2p1/2,1g9/2) j1=1/2, j2=9/2  J=4, 5 Spettro di eccitazione osservato: tutti gli stati elencati sopra, ma non sono degeneri! Definition of nuclear physics Areas of study and the applications  Interazioni residue reciproche fra i nucleoni di valenza determinano quale dei J permessi ha l’energia minore – non possiamo predirlo a priori ma possiamo imparare dall’esperimento. Non sono descritte da un potenziale sfericamente simmetrico o dall’interazione spin-orbita e aumenta con L dei nucleoni.

80 Perchè gli stati J dispari non sono permessi?
Consideriamo due nucleoni identici con momento angolare totale j, m1 e j, m2 Esprimiamo lo stato di momento angolare totale in termini degli stati relativi alle singole particelle Coefficienti di Clebsch-Gordan |JM> deve essere antisimmetrico rispetto allo scambio di particelle cioè scambio di m1 e m2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications  antisimmetrico solo se J pari

81 Hamiltoniana modello a shell
V12 – interazione residua V12 perturbazione rispetto a H0 Correzione al primo ordine dell’energia non perturbata degli stati degeneri: diagonalizziamo V12 V12 è diagonale automaticamente usando gli stati |JMj1j2> per cui

82 Esempio di interazione residua: forza-d
Elemento di matrice fra due funzioni d’onda Misura la sovrapposizione fra le funzioni d’onda. Funzioni d’onda molto diverse (es. Una particella vicino al centro del nucleo, l’altra vicino alla superficie)  contributo dell’interazione residuo piccolo Misura la interazione forte prevalentemente attrattiva  V0 negativo Due particelle con funzioni d’onda simili portano a stati di energia più bassa

83 Nuclei deformati e ulteriori migliorie
Lontano da shell chiuse, specie in nuclei pesanti, si osservano nuclei con un momento di quadrupolo Q grande  nuclei non sfericamente simmetrici  V(r) non è più sfericamente simmetrico Modello di Nilsson: potenziale armonico anisotropo oscillazione nel piano x-y oscillazione lungo z b = parametro di deformazione L’accordo del modello con le osservazioni può poi essere ulteriormente migliorato introducendo nel potenziale anche un termine proporzionale a L2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

84 Momenti di quadrupolo elettrico
Misura della deviazione dalla simmetria sferica. Abbiamo visto che Il momento di quadrupolo osservato è Shell chiusa: J = 0  Q = 0. Consideriamo i nuclei con un protone esterno a shell chiuse in uno stato |jm>. Dobbiamo calcolare Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Esprimiamo lo stato |jm> in termini di |lml,sms>

85 Coefficienti di Clebsch-Gordan - ml = j – 1/2
Abbiamo Coefficienti di Clebsch-Gordan - ml = j – 1/2 j = L + 1/2 j = L - 1/2 - ml = j + 1/2 j = L + 1/2 Definition of nuclear physics Areas of study and the applications j = L - 1/2 In questo modo si trova

86 Per calcolare il valore di aspettazione <r2>nl usiamo le funzioni d’onda dell’oscillatore armonico, che portano a Cosicchè infine Momento di quadrupolo con un protone esterno sempre negativo (a parte j=1/2 che dà Q=0) Solo i protoni possono contribuire. Ma il moto di un neutrone produce un rinculo del resto del sistema che può dar luogo a un momento di quadrupolo (Z/A2 volte minore di Q di un protone) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

87 Momenti di quadrupolo e tipi di eccitazione attraverso la carta nucleare:
Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

88 Connessione fra il potenziale medio del modello a shell e il potenziale microscopico nucleone-nucleone Potenziale medio: media delle interazione di una singola particella con tutte le altre E’ possibile determinare questo potenziale medio a partire dalle interazioni microscopiche in modo autoconsistente col metodo di Hartree-Fock. Principio variazionale Consideriamo l’equazione di Schrodinger per N nucleoni Definition of nuclear physics Areas of study and the applications La funzione d’onda rende stazionaria la quantità

89 L’hamiltoniana del sistema ha la forma
Calcoliamo <|H|  > fattorizzando per semplicità la funzione d’onda in un prodotto di funzioni di singola particella L’i-esimo termine cinetico dà E quindi

90 D’altra parte Quindi

91 ei = “moltiplicatori” di Lagrange
Consideriamo il funzionale vincolo che le fi siano normalizzate ei = “moltiplicatori” di Lagrange F è stazionario rispetto a variazioni di una soluzione dell’equazione di Schrodinger  le derivate funzionali rispetto a fi sono uguali a zero: Derivata funzionale

92 ei = autovalori dell’energia
Quindi Equazioni di Hartree ei = autovalori dell’energia Equazioni di particella singola. Ogni particella è soggetta al potenziale Un nucleone interagisce col campo ottenuto mediando sulle posizioni dei restanti nucleoni. UH  potenziale medio del modello a Shell

93 Le equazioni di Hartree devono essere risolte in modo autoconsistente perchè le soluzioni sono necessarie per costruire il potenziale: - Partiamo da funzioni di prova ad esempio le autofunzioni dell’oscillatore armonico - calcoliamo il potenziale e risolviamo le equazioni - con le nuove soluzioni ricalcoliamo il potenziale e procediamo iterativamente fino a che il processo converge

94 Eccitazioni collettive nei nuclei
Circa la metà dei nuclei noti hanno configurazioni (Z,N) pari, Jp = 0+ Ricordiamo che nella formula di massa semi-empirica è incluso un termine empirico di accoppiamento per tener conto della loro insolita stabilità Il termine di accoppiamento non è descritto dal modello a shell, che ignora del tutto le interazioni fra le particelle! Costa molta energia rompere una coppia di nucleoni e popolare stati più alti di singola particella. La rottura porta a stati eccitati di alta energia osservati, ma (quasi) sistematicamente lo stato eccitato più basso ha Jp = 2+ Definition of nuclear physics Areas of study and the applications E (MeV) 130Sn

95 E (MeV) A Jp=2+  eccitazioni dei nuclei pari-pari tendono ad essere di natura collettiva La distribuzione di materia nucleare come un tutt’unico presenta vibrazioni quantizzate in alcuni casi e rotazioni in altri, con frequenze caratteristiche Gli spettri vibrazionali sono osservati in nuclei che hanno una forma sferica intrinseca Le eccitazioni rotazionali tendono a verificarsi in nuclei con deformazioni di quadrupolo permanenti Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

96 Stati vibrazionali Modello: oscillazioni quantizzate di una goccia di liquido a densità costante (perchè?  comportamento repulsivo a piccole distante della forza N-N!) Consideriamo le oscillazioni attorno a una forma sferica di equilibrio, con una superficie di frontiera dipendente dal tempo espressa come combinazione lineare di funzioni armoniche sferiche L’espansione descrive qualunque forma, dati gli appropriati coefficienti. Ciascun contributo può oscillare in linea di principio ad una diversa frequenza I modi normali del sistema corrispondono a eccitazioni con un particolare valore di l e m, e questi si verificheranno a frequenze caratteristiche Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Applicazione ai nuclei: Le vibrazioni sono quantizzate, En = h Quanti di vibrazione: fononi

97 OK Illustrazione: sequenza temporale delle forme nucleari oscillanti
Definition of nuclear physics Areas of study and the applications OK

98 Le oscillazioni di quadrupolo si verificano all’energia più bassa: Jp = 2+
Tipicamente h  1 MeV in vari nuclei pari-pari L’energia di eccitazione è bassa, per cui ci possiamo aspettare di osservare fino a diversi “fononi” di quadrupolo nello spettro Eccitazioni bosoniche, per cui si richiede una funzione d’onda simmetrica rispetto allo scambio delle particelle (fononi) questo restringe il Jp totale Ad esempio per due fononi: Definition of nuclear physics Areas of study and the applications spettro del modello

99 Esempio di eccitazioni vibrazionali: 12052Te68
stato 3-? stati fononici l = 2, idealmente degeneri Al contrario aggiungendo un neutrone ... Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

100 Lo stato 3- è un fonone di ottupolo, l = 3
Jp = h3  h2  2 – 3 MeV tipicamente si osserva un fonone di ottupolo per spettro Riassunto: Le eccitazioni di bassa energia nei nuclei sferici pari-pari hanno lo stesso andamento caratteristico dell’energia di eccitazione fino a qualche MeV: 0+ (stato fondamentale) 2+ (fonone di quadrupolo) (2 fononi: 0+, 2+, 4+) (3 fononi: 0+, 2+, 3+ 4+, 6+) 3- (ottupolo) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

101 Stati rotazionali Un moto rotazionale collettivo può essere osservato solo in nuclei con forme di equilibrio non sferiche (cioè lontano da shell chiuse, grande Q). Un nucleo deformato rotante è una forma di equilibrio stabile determinata da nucleoni in rapido moto interno nel potenziale nucleare con l’intero nucleo rotante lentamente in modo da non influire sulla struttura nucleare. Sostituiamo L col momento angolare rotazionale J Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Momento di inerzia fissa la scala dell’andamento dei livelli di energia I J permessi determinano la separazione caratteristica dei livelli

102 J è quantizzato; “bande rotazionali” sono spettri caratterizzati da un dato valore del momento di inerzia I e da una serie di livelli di energia: nuclei pari-pari: J = 0, 2, 4, 6, 8, (restrizione su J a causa del fatto che p = +) nuclei deformati dispari-pari: J = semi-intero Esempio: 176Yb (stati di energia quantizzata di un pallone da football!) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Rotazioni attorno all’asse di simmetria sono indistinguibili; il momento angolare rotazionale deve essere perpendicolare all’asse di simmetria I maggiore significa minore separazione fra i livelli di energia

103 Il momento di inerzia dà una misura della forma nucleare:
Parametrizziamo la forma, il momento di quadrupolo e di inerzia assumendo la forma di di un ellissoide di rivoluzione la cui superficie è Poichè Y20 non dipende da f, R() ha simmetria cilindrica Il parametro di deformazione b è legato all’eccentricità DR=differenza fra semi-asse maggiore e minore b > 0 ellissoide prolato b < 0 ellissoide oblato Un nucleo con una deformazione stabile ha un grande momento di quadrupolo elettrico Definition of nuclear physics Areas of study and the applications A Q(2+) (b)

104 Nucleo rotante come un solido (modello del corpo rigido)
Nucleo rotante come una goccia di liquido (modello del fluido rotante) La realtà stà nel mezzo ... Analisi spettrale: un plot di E vs J(J + 1) dovrebbe dare una linea retta di pendenza h2/2I Confermato per 174Hf ma per 158Er la pendenza decresce (il momento di inerzia cresce) al crescere di J ... Definition of nuclear physics Areas of study and the applications ... come se fosse un fluido rotante: si verifica uno stretching centrifugo lungo l’asse di simmetria al crescere del momento angolare!

105 Abbiamo 3 bande rotazionali:
Bande rotazionali possono essere create da qualunque stato intrinseco, ad esempio uno stato vibrazionale in cui il nucleo vibra attorno a una forma di equilibrio deformata. banda dello stato fondamentale banda vibrazionale g banda vibrazionale b Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Abbiamo 3 bande rotazionali: Stato fondamentale Vibrazione g: v di superficie normale all’asse di simmetria Vibrazione b: v di superficie lungo l’asse di simmetria

106 Momenti degli stati eccitati collettivi
Consideriamo nuclei pari-pari. Lo stato fondamentale è JP = 0+, m = 0 Momenti di dipolo magnetico I moti collettivi vibrazionali e rotazionali danno al nucleo un momento di dipolo magnetico. Assumiamo che i protoni e i neutroni siano accoppiati (): -Il momento magnetico di spin non contribuisce -Il moto dei protoni crea una corrente elettrica. Ciascun protone avrà un momento magnetico m = mN L. -Se i moti collettivi di protoni e neutroni sono uguali, allora il contributo al momento angolare nucleare totale da parte dei protoni è Z / A. -Allora, se il moto collettivo dei neutroni non contribuisce al momento di dipolo magnetico Definition of nuclear physics Areas of study and the applications

107 Momenti magnetici del primo stato eccitato dei nuclei pari-pari
shell chiuse Definition of nuclear physics Areas of study and the applications (qui il modello collettivo non è valido) Basso A Z / A  m  1 mN Alto A Z / A  m  0.8 mN  Ragionevole accordo

108 Definition of nuclear physics
Areas of study and the applications

109 Buca sferica infinita La soluzione dell’equazione di Schrodinger ha la forma dove Ylm sono le armoniche sferiche, mentre R(r) è soluzione dell’equazione radiale Le soluzioni radiali possono essere espresse in termini delle funzioni di Bessel sferiche jl(knr). Troviamo gli autovalori dell’energia dalla condizione di frontiera (la funzione d’onda si deve annullare sul bordo della buca) Definition of nuclear physics Areas of study and the applications Consideriamo ad es. L = 0. Gli zeri di j0(x) si hanno per x = 3.14, 6.28, 9.42, Per L = 1 i primi zeri si hanno per x = 4.49, 7.73, 10.9, ... Poichè E = h2k2/2m, possiamo quindi determinare E ripetendo il processo per ogni L e costruire così lo spettro di energia.

110 Shell chiusa  numero magico
Notazione spettroscopica degli stati radiali: n = 1, 2, 3, 4, L = s, p, d, f, g, h, ... = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... I livelli nL sono 2 x (2L + 1) degeneri. Shell chiusa  numero magico Occupazione Totale Enl Definition of nuclear physics Areas of study and the applications I nuclei con Z(N) = 2, 8 , 20, ... sono particolarmente stabili  shell chiuse (livelli completamente occupati) Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare nei primi due livelli della buca. Il successivo riempimento d’altra parte non coincide


Scaricare ppt "Il modello della goccia di liquido"

Presentazioni simili


Annunci Google