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1 La forza forte Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze fondamentali: elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale.

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1 1 La forza forte Tutte le interazioni fra particelle possono essere spiegate in termini di 4 forze fondamentali: elettromagnetica, debole, forte e gravitazionale I nucleoni sono soggetti allinterazione forte a piccole distanze (qualche fm)

2 2 La forza fra i nucleoni I nucleoni sono composti dai quark, particelle puntiformi di spin 1/2 I quark sono tenuti assieme dallinterazione forte derivante dallo scambio di altri quark e gluoni di spin 1 La forza fra i nucleoni (la forza nucleare forte) è un problema a molti corpi in cui i quark non si comportano come se fossero completamente indipendenti allinterno del volume nucleare nè si comportano come se fossero completamente legati in modo da formare protoni e neutroni La forza nucleare forte perciò non è calcolabile in dettaglio al livello dei quark e può essere solo dedotta empiricamente a partire dai dati nucleari esempio: interazione pp

3 3 Caratteristiche generali Il fatto che un nucleo esista implica che la forza nucleare è Forte: più forte della forza elettromagnetica, debole e gravitazionale A corto range: i nuclei sono soggetti allinterazione forte a piccole distanze ( 2 fm) quando cominciano a sovrapporsi Attrattiva Nocciolo repulsivo: Il volume è A, e il nucleo non collassa verso densità infinita Saturata: B/A costante; in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini Indipendente dalla carica: non cè distinzione fra protoni e neutroni. Si ha evidenza di ciò dalla tendenza dei piccoli nuclei ad avere N=Z e dalla somiglianza dei livelli di bassa energia di coppie di nuclei speculari

4 4 Il potenziale nucleone-nucleone Studiamo le caratteristiche dettagliate attraverso le interazioni fra due nucleoni: Il deutone e lo scattering nucleone-nucleone Forza = Nocciolo repulsivo B/A~8 MeV V 0 ~ qualche decina di MeV Andamento della parte centrale del potenziale

5 5 IL DEUTONE

6 6 Caratteristiche generali del deutone ( 2 H o 2 D) Il deutone è il solo stato legato a due nucleoni (n-p). Non esistono stati legati p-p o n-n. Riassunto delle proprietà: Energia di legame B = 2.23 MeV R = 2.1 fm Non si osservano stati eccitati J P = 1 + Deduzioni sul momento magnetico: stato legato n-p 3 S 1 (L = 0, S = 1, ): = p + n = 0.88 N 1 S 0 (L = 0, S = 0, ): = p - n = 4.71 N Valore sperimentale = N n = 1 non ci sono (quasi) contributi orbitali a (L = 0) Il deutone è uno stato (quasi puro) 3 S 1 Deduzioni sul momento di quadrupolo Q = +2.83x10-31 m 2

7 7 Sistema di due particelle Lhamiltoniana di un sistema di due particelle è Introduciamo le variabili Possiamo allora scrivere Il momento totale del sistema è R = centro di massa r = coordinata relativa =massa totale

8 8 Lenergia cinetica totale è Abbiamo lequazione di Schrodinger per il moto relativo attorno al centro di massa Consideriamo un potenziale centrale Il sistema è invariante per rotazioni consideriamo ad esempio una rotazione infinitesima attorno allasse z M=massa totale m = massa ridotta E Eq. Di Schrodinger nel riferimento del centro di massa

9 9 dopo la rotazione la funzione donda è Se introduciamo loperatore L z componente z del momento angolare Allora possiamo definire lo stato ruotato come Richiedendo che (stesso autovalore dellenergia) troviamo Troviamo quindi

10 10 Linvarianza per rotazioni rispetto allasse x e y mostra che tutte le componenti del vettore momento angolare commutano con H dove o, in componenti Quindi un autostato dellhamiltoniana è anche un autostato del momento angolare orbitale. Gli stati del sistema saranno etichettati da numeri quantici del tipo n, l, m z.

11 11 Si dimostra da cui Poichè in coordinate polari arriviamo allequazione Ponendo si ha Equazione di Schrodinger in coordinate polari Armoniche sferiche Funzione donda radiale

12 12 Abbiamo quindi una separazione delle variabili e arriviamo allequazione radiale Si ha arriviamo al risultato finale Poniamo R(r) = u(r) / r (r = distanza fra i nucleoni) Probabilità che la particella si trovi fra r e r + dr

13 13 Rispetto al caso undimensionale abbiamo due differenze. La prima è che il potenziale è modificato da un termine repulsivo dipendente da L Per uno stato legato E < 0 = - energia di legame b = range dellinterazione La seconda è che u(r=0) = 0 affinchè R resti finita nellorigine. Questo equivale ad assumere che V = + a sinistra. Consideriamo una buca quadra buca quadra

14 14 Ricerchiamo stati legati caratterizzati da unenergia di legame B Per L = 0 la funzione u soddisfa lequazione Abbiamo due regioni 1) r < b La soluzione generale è Il problema del deutone

15 15 Richiediamo che u(r) = 0 per r = 0 C = 0 vale a dire, non vogliamo una densità infinita |R(r)| 2 al centro del nucleo) Quindi 2) r > b La soluzione generale è Per r exp(kr) per cui poniamo F = 0 Quindi

16 16 Richiediamo che in r = b sia u(r) che du(r)/dr siano continue Il rapporto ci dà Assumiamo che V 0 >> B. Le due incognite sono b e V 0 Abbiamo energia minima Continuità di V 0 è la profondità minima che dà luogo allo stato legato Per b = 2 fm

17 17 In realtà la soluzione esatta è un pò maggiore di 25 MeV. Lequazione trascendente può essere risolta graficamente La soluzione è data dallintersezione delle due curve

18 18 Grande probabilità di trovare protone e neutrone separati a una distanza > b u(r) non dipende molto dalla forma esatta di V(r) La dimensione del deutone è determinata dallenergia di legame non dal range della forza La lunghezza caratteristica su cui u(r) diminuisce di 1/e è detta il raggio del deutone. Questo è più del doppio del range b del potenziale. Quindi i nucleoni hanno una considerevole probabilità di trovarsi al di fuori della buca di potenziale in media si trovano sui suoi bordi

19 19 SCATTERING NEUTRONE-PROTONE E PROTONE-PROTONE A BASSA ENERGIA

20 20 Numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria per unità di tempo v a = velocità delle particelle n a = densità numero Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del bersaglio è N b = numero di centri diffusori nel bersaglio = sezione durto di reazione Sezione durto Consideriamo una rezione della forma Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato. Il flusso di particelle a è definito come

21 21 N inc = numero di particelle del fascio incidenti in un tempo t In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t (secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può essere riscritto come N b / S è il numero di centri diffusori per unità darea. Ora L = lunghezza del bersaglio Daltra parte

22 22 Teoria dello scattering La funzione donda prima dello scattering è Nucleone incidente: onda piana Scattering elastico dal centro di un nucleone nucleo z Lo stadio finale dellinterazione è dato dalla sovrapposizione di in e di questa onda sferica onda piana incidente onda sferica scatterata r 2 d d nel processo di scattering in interagisce con V(r). Dal centro di interazione diverge unonda sferica della forma

23 23 Sezione durto differenziale Assumendo che la densità numero di particelle incidenti sia 1, il flusso è Sia d il numero di particelle incidenti/sec scatterate sullarea r 2 d da cui Sezione durto: numero di neutroni scatterati per unità di tempo nellangolo compreso fra ϑ e ϑ +d ϑ da un protone quando il flusso del fascio è un neutrone per unità darea e di tempo

24 24 Polinomio di Legendre dove Funzione di Bessel sferica soluzione dellequazione di Schrodinger in coordinate sferiche con V(r)=0 Espansione di in in armoniche sferiche Scattering nucleare a basse energie: dobbiamo considerare solo l=0 Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering. Asintoticamente abiamo

25 25 Argomento classico. Se p è la quantità di moto e b è il parametro dimpatto (distanza classica di massimo avvicinamento) allora Se le forze nucleari hanno un range finito a, linterazione ha luogo solo se b < a, cosicchè a = 2.8 fm Scattering neutrone-protone a basse energie Quando contribuirà solo londa parziale Lenergia al di sotto della quale abbiamo solo onda S è m = massa ridotta = m N /2 Al di sotto di questa energia l = 0 per ogni l diverso da zero.

26 26 Coefficiente |B l (R)| 2 nellespansione in onde parziali |B l (R)| 2 kr r = 2 fm

27 27 se L=0 lespansione in onde parziali si riduce a In presenza del potenziale: per londa uscente out Non è modificata per r>range del potenziale (cioè prima che la particella raggiunga il centro di scattering) Scattering elastico: lampiezza deve essere come la parte e -ikr non vengono nè create nè distrutte particelle spostamento di fase onda sferica uscente dallorigine onda sferica entrante verso lorigine

28 28 V(r) 0 cambia la fase dellonda uscente Convenzione: 2 0 spostamento di fase nellonda parziale uscente 0 spostamento di fase nellonda scatterata l=0 Probabilità di scattering data da f( ϑ ) Poichè l + n producono lo stesso valore, la fase è determinata nellintervallo - /2,+ /2 o 0-

29 29 Formalismo per qualunque momento angolare

30 30 Lanalisi quantitativa richiede la soluzione dellequazione di Schrodinger in coordinate sferiche Polinomio di Legendre dove Funzione di Bessel sferica Nello studio del processo, ci interessano le particelle lontano dal centro di scattering. Asintoticamente abiamo onda sferica divergente dal centro di scattering onda sferica convergente verso il centro di scattering Equazione per una particella di massa ridotta m: stiamo lavorando nel centro di massa. Quando V(r) = 0 la soluzione generale è

31 31 Se V(r)0, nel processo di scattering compare unulteriore onda sferica uscente. Quindi la relazione fra onda convergente e divergente cambia in se non cè assorbimento, il flusso di particelle nelle due onde non deve cambiare. Quindi l (k) è reale ed è detto spostamento di fase Abbiamo quindi Questa può essere riscritta anche come onda sferica Ampiezza dellonda sfericaonda piana

32 32 Poichè out = exp(ikz) + f( ) exp(ikr)/r otteniamo definendo lampiezza di scattering per londa parziale L La sezione durto totale è data da Tenendo conto dellortogonalità dei polinomi di Legendre otteniamo la sezione durto di scattering elastico

33 33

34 34 Il segno della fase è determinato dalla natura della forza Attrazione: u(r) è spinta verso la buca attrattiva e la funzione donda acquista uno spostamento di fase positivo Repulsione: u(r) è espulsa dal range del potenziale repulsivo e acquista uno spostamento di fase negativo Spostamento di fase Particella libera Potenziale attrattivo Potenziale repulsivo Interpretazione degli spostamenti di fase

35 35 Il segno della fase non influisce sulla sezione durto modulo quadro dellampiezza Determinazione del segno della fase interferenza fra scattering nucleare e coulombiano interferenza di due scattering nucleari con diverse orientazioni dello spin

36 36 Al di sotto di 10 MeV (nel sistema del laboratorio) ci aspettiamo quindi che se le forze nucleari sono a corto range, si abbia scattering solo in onda S e la sezione durto è La sezione durto è indipendente dalla direzione simmetria sferica Simmetria sferica dello scattering a bassa energia confermato dalla osservazioni sperimentali Da cui

37 37 La dipendenza dello spostamento di fase dallenergia o da k può essere determinata risolvendo lequazione di Schrodinger nella regione di interazione Questo permette di stabilire una relazione col potenziale di interazione Bisogna congetturare una forma specifica del potenziale. Esempio: buca rettangolare (come nel caso del deutone) Esempio di determinazione dello spostamento di fase e della sezione durto

38 38 Lequazione donda radiale per u(r) = r R(r) è Regione I (r < b) V = -V 0 Regione II (r > b) V = 0 La buca ha quindi la stessa profondità della buca del deutone e assumiamo che E ( > 0 ) sia simile allenergia di legame B (quindi abbiamo scattering a bassa energia)

39 39 Possiamo ricavare la fase congiungendo la soluzione interna a quella esterna in r = b. La derivata logaritmica della soluzione esterna in r = b è La derivata logaritmica della soluzione interna in r = b è Uguagliando le due derivate troviamo Utilizziamo i parametri del deutone: V 0 ~ 35 MeV e b ~ 2.1 fm Per E < 10 KeV la sezione durto è [barn]

40 40 A basse energie la sezione durto in realtà dipende debolmente dalla forma specifica del potenziale Analisi dello scattering indipendente dalla forma specifica lunghezza di scattering La sezione durto è Scattering a bassissime energie e stati legati a = lunghezza di scattering (definita a meno di un segno) Assumiamo che a energie molto basse la sezione durto resti finita. Allora per k 0 La funzione donda asintotica al di fuori del raggio dazione delle forze nucleari per k piccolo è proporzionale a a definita come lintercetta di questa funzione donda Linea retta

41 41 Potenziale repulsivo: a>0 (sempre) Potenziale attrattivo (buca poco profonda): a<0 Potenziale attrattivo (buca profonda): a>0 b b b Segno meno consistente con la definizione come intercetta della funzione donda esterna

42 42 Funzione donda piatta per r>b e simile a exp(-kr) ma exp(-kr): funzione donda di uno stato legato con E infinitesimalmente negativa Funzione donda in r0 Ma se E~0 stessa funzione donda b

43 43 Funzione donda piatta C(r-a) per r>b e simile a exp(-kr) Stesse funzioni donda per r

44 44 Generalizzazione: per scattering a energie non nulle, introduciamo una funzione a(k) tale che per k 0 a(0) = a Segno meno consistente con la definizione come intercetta della funzione donda esterna Raggio efficace nel limite k 0 abbiamo posto [barn] r 0 = raggio efficace distanza media fra protone e neutrone durante linterazione Per scattering in tripletto di spin i valori misurati di a e r 0 sono

45 45 segno della lunghezza di scattering: informazioni sulla possibilità che si formi uno stato legato. Lequazione Ammette una soluzione k reale, a cui corrisponde uno stato legato, solo se a>0 Dalle misure di sezione durto totale si ricava solo il valore assoluto della lunghezza di scattering. Tuttavia, è possibile determinare il segno tramite misure di scattering coerente. Neutroni di energia nulla: stato di tripletto ha a t > 0 buca di potenziale abbastanza profonda quando S=1

46 46 Neutroni di energia nulla: stato di singoletto ha a s < 0 non si può formare uno stato legato in singoletto di spin buca di potenziale non abbastanza profonda quando S=0 La funzione donda esterna non piega verso il basso

47 47 Raggio efficace: trattazione quantitativa

48 48 A basse energie (per scattering in onda S) 1/a(k) è una funzione lineare dellenergia: Lintersezione con k=0 dà la lunghezza di scattering a La pendenza definisce un secondo parametro detto raggio efficace Consideriamo lequazione donda di due stati S di energia E 1 ed E 2 Moltiplicando la prima per u 2, la seconda per u 1, sottraendo e integrando fra zero e un valore arbitrario R otteniamo

49 49 Consideriamo la forma asintotica delle funzioni u per r grande rispetto al raggio dazione delle forze nucleari c scelto in modo che =1 nellorigine sono autofunzioni della particella libera, e possiamo scrivere Assumiamo che R sia maggiore del raggio dazione delle forze. Allora, sottraendo membro a membro abbiamo Per r= R u(R) e (R) coincidono Per r=0 u(0) = 0

50 50 Per k 2 = k arbitraro e k 1 0 ricaviamo Dove abbiamo definito Le funzioni e u differiscono solo allinterno del raggio dazione delle forze – Ma qui dipendono molto poco dallenergia poichè lenergia potenziale e molto maggiore di k 2 (per lo meno fino a 10 MeV). Quindi Costante indipendente dallenergia: raggio efficace r 0 = distanza media fra protone e neutrone durante linterazione

51 51 Consideriamo lo stato fondamentale del deutone e poniamo Energia di legame del deutone Allora con k 1 0 Funzione donda del deutone al di fuori del raggio dazione delle forze nucleari e Nellapprossimazione del raggio efficace (0,-B) = r 0, cosicchè Valido per buche di forma qualsiasi

52 52

53 53 Le misure a basse energie portano a = 20 barn Se le orientazioni dei neutroni nel fascio incidente e dei protoni nel bersaglio sono casuali, allora Per k 0 Sezione durto di scattering n-p Energia cinetica del neutrone (eV) (barn) Poichè abbiamo utilizzato i parametri dei deutone, la sezione durto calcolata deve corrispondere a scattering S=1 Daltra parte, la sezione durto totale sarà formata da una miscela di interazioni negli S = 0 1 S 0 - S = 1 3 S 1,, + Confronto con lesperimento

54 54 Possiamo scrivere la dipendenza della sezione durto dallenergia Buon accordo con lesperimento a bassa energia se B s = 60 keV Facendo uso della teoria del raggio efficace, i risultati sperimentali sono descritti fino a 10 MeV con Conclusione: - Forte dipendenza dallo spin dellinterazione nucleare - Non esiste uno stato legato di singoletto di spin N.B. Lo stato di singoletto n-p non è uno stato legato reale stato legato virtuale. B s non ha un significato fisico particolare

55 55 Scattering di neutroni su orto e para H 2 Per separare i contributi di t e s, consideriamo linterazione di neutroni di energia molto bassa (E < 1 KeV) con orto- e para-idrogeno (H 2 ) orto-H 2 p( )p( ) S H2 = 1 para-H 2 p( )p( ) S H2 = 0 Neutroni di bassa energia (E > separazione dei protoni in H 2 Abbiamo quindi scattering coerente (nel caso di scattering incoerente avremmo = (ampiezza) 2 ) Gli operatori di spin del neutrone e di ciascun protone sono Dove n e n sono le matrici di Pauli.

56 56 Poichè S 2, S 2 n, S 2 p sono costanti del moto con autovalori S(S+1), S n (S n +1), S p (S p +1), abbiamo Abbiamo pertanto Studiamo gli autovalori di. Il quadrato dello spin totale del sistema neutrone- protone è A basse energie lampiezza di scattering è pari alla lunghezza di scattering. La seguente formula dà il risultato corretto per scattering nello stato di singoletto o tripletto

57 57 Quindi nel caso di scattering coerente di un neutrone sui due protoni dellidrogeno possiamo scrivere Nel caso del para-H 2 abbiamo S p1 +S p2 = 0 per cui Nel caso dellorto-idrogeno possiamo scrivere

58 58 Arriviamo quindi al risultato para-H 2 orto-H 2 n o-H 2 Se la forza nucleare fosse indipendente dallo spin, t = s e a t = a s per cui para e orto dovrebbero essere uguali. Le sezioni durto misurate sono invece La forza nucleare è dipendente dallo spin e ricaviamo

59 59 La grande differenza fra i valori misurati mostra che a t a s e che a t e a s devono avere segni diversi in modo da rendere para piccola rispetto a orto lo stato di singoletto non è legato lo stato di tripletto è legato Come misurare le sezioni durto: Ad alte temperature il rapporto del numero di molecole orto e para è 3:1. A basse temperature (diciamo 20 K) la maggior parte delle molecole sono nel loro stato fondamentale. Lo stato fondamentale di orto-H 2 è eV più alto di para-H 2 Quindi a 20 K H 2 è tutto para-idrogeno

60 60 Riassunto A basse energie (< 10 MeV) la meccanica quantistica non relativistica descrive adeguatamente i processi di scattering in onda S introducendo un semplice potenziale La sezione durto non dipende sensibilmente dalla forma del potenziale. Possiamo ricavare solo una stima del range dellinterazione ma non la forma dettagliata del potenziale stesso Linterazione nucleare dipende dallo spin (più dettagli in seguito) Possiamo ricavare informazioni sullesistenza (o non esistenza) di stati legati nucleone-nucleoni in diversi stati di spin e momento angolare orbitale

61 61 Scattering protone-protone Poichè non esiste lo stato legato 2 He, la forza protone-protone può essere studiata solo attraverso il processo di scattering. Sperimentalmente lo studio è più semplice: è più semplice produrre fasci collimati e monocromatici e inoltre è molto più semplice rivelare i protoni. Oltre alla forza nucleare, è presente anche la forza coulombiana repulsiva. Questo dà luogo a un effetto di interferenza che permette di determinare il segno degli spostamenti di fase dellinterazione nucleare. A basse energie ci aspettiamo che linterazione nucleare sia dominata dallo stato L=0. Daltra parte, essendo linterazione coulombiana a lungo range, per questa ci sono contributi anche per L 0.

62 62 La sezione durto differenziale è data d /d = |f( ϑ )| 2. Classicamente le particelle sono distinguibili e la probabilità di osservare o luna o laltra è Studiamo il processo nel riferimento del centro di massa come nel caso dello scattering neutrone-protone Al contrario, quantisticamente le particelle sono indistinguibili e non possiamo quindi distinguere fra questi due diagrammi, i quali devono essere sommati È presente un effetto dinterferenza

63 63 Gli spin 1/2 dei due protoni si combineranno in uno stato di spin totale 1 simmetrico rispetto allo scambio dei due protoni 1 e 2 Il sistema di due protoni deve obbedire al principio di esclusione di Pauli, per cui la funzione donda totale deve essere antisimmetrica nello scambio delle due particelle. La funzione donda ha la forma oppure in uno stato di spin totale zero, antisimmetrico rispetto allo scambio dei due protoni 1 e 2 parte spaziale parte di spin S=1, S z = 1 S=1, S z = 0 S=1, S z = -1 S=0, S z = 0

64 64 Scambiare le particelle equivale a operare la trasformazione, per cui Di conseguenza abbiamo le due possibilità In coordinate polari lo scambio implica Protoni in singoletto di spin scattering in singoletto di spin Funzione donda spaziale simmetrica Protoni in tripletto di spin Funzione donda spaziale anti- simmetrica Corrispondentemente, avremo le ampiezze di scattering scattering in tripletto di spin

65 65 La sezione durto differenziale per scattering in singoletto di spin è La sezione durto differenziale per scattering in tripletto di spin è invece Se si utilizzano fasci di protoni non polarizzati, allora gli spin si combineranno in modo da formare una miscela con pesi statistici 3/4 (tripletto) e 1/4 (singoletto)

66 66 Calcolo dellampiezza di scattering – interazione coulombiana Approssimazione di Born Dove e = momento trasferito = massa ridotta Interazione coulombiana In questo caso abbiamo già calcolato lintegrale sopra nella discussione dello scattering Rutherford

67 67 Lampiezza di scattering coulombiano è dunque Il momento trasferito può essere espresso come Dove v rel è la velocità relativa delle due particelle, v rel = 2v. Arriviamo quindi allampiezza di scattering nel referimento del centro di massa

68 68 La sezione durto differenziale per scattering coulombiano (con fasci non polarizzati) è corrispondentemente Nel riferimento del laboratorio uno dei protoni è fermo, mentre laltro si muove con velocità v lab = v rel. In questo riferimento langolo di scattering è Quindi, ponendo E 0 = m N v 2 lab / 2 (energia cinetica del protone incidente)

69 69 La formula di Born è approssimata (ordine più basso di unespansione perturbativa). Daltra parte una soluzione asintotica dellequazione di Schrodinger per lo scattering di due protoni nel centro di massa è dove Utilizzando g( ϑ ) la sezione durto differenziale (nel centro di massa) è Onda incidente approssimativamente piana (a causa del lungo range dellinterazione coulombiana) Onda sferica diffusa

70 70 Questa espressione della sezione durto si riduce alla precedente quando Questa condizione è soddisfatta per cioè

71 71 Linterazione nucleare in onda S è descritta dallampiezza Inclusione dellinterazione nucleare Lampiezza di scattering totale (in approssimazione di Born per la parte coulombiana) è quindi e corrispondentemente (la parte nucleare non ha dipendenza angolare e quindi scompare nellampiezza antisimmetrica)

72 72 Procedendo come prima La sezione durto totale diventa Termine di interferenza. Dipendenza lineare: permette di determinare spostamenti di fase molto piccoli Inoltre si può determinare il segno nello stato L = 0 il potenziale è attrattivo Termine che descrive lo scattering se non ci fosse interazione coulombiana Ad alte energie domina a causa di v 2

73 73 0 è lunica incognita Dalla misura di d /d ricaviamo il segno e il modulo di 0 Linterferenza permette di determinare il segno Totale Mott d /d (cms) interferenza

74 74 I dati sperimentali di scattering protone-protone possono essere analizzati col formalismo della lunghezza di scattering e del raggio efficace proprio come nel caso neutrone-protone. I valori ricavati sono affetti dalla presenza dellinterazione coulombiana. Tuttavia è possibile da essi determinare quale valore avrebbero in assenza di interazione coulombiana (cioè se fosse presente la sola forza nucleare). Il risultato è per lo scattering nello stato 1 S 0 Buon accordo con lo scattering n-p in singoletto In buona approssimazione linterazione puramente nucleare neutrone-protone è uguale allinterazione protone-protone. Indipendenza dalla carica dellinterazione nucleare Equivalenza delle forze neutrone-protone e protone- protone Lunghezza di scattering negativa non esistono stati legati p-p 1 S 0. Daltra parte il principio di Pauli esclude lo stato 3 S 1 analogo del deutone.

75 75 Lo scattering n-n è difficile poichè non esistono bersagli composti solo da neutroni Usiamo reazioni per creare 2 neutroni a distanza reciproca minore del range nucleare (paragonabili a un esperimento di scattering) termine di interferenza Se 2n legato monocromatico, stato finale a due corpi Se n-n non legato energia ripartita fra 3 particelle La forza nucleare è indipendente dalla carica Scattering neutrone-neutrone

76 76 LISOSPIN

77 77 Confronto fra protone e neutrone Trascurando le interazioni elettromagnetiche, protoni e neutroni sono molto simili Hanno masse praticamente identiche:

78 78 Momenti magnetici

79 79 I momenti di dipolo magnetici derivano da - il moto orbitale di particelle cariche - lo spin intrinseco Il momento di dipolo magnetico è la componente misurabile massima delloperatore momento di dipolo magnetico Momenti magnetici La meccanica quantistica porta allo stesso risultato Momento magnetico orbitale Classicamente se abbiamo una spira di corrente Fattore g: g l = 1 particelle cariche. g l = 0 particelle neutre

80 80 La teoria di Dirac (m.q. relativistica) delle particelle di spin 1/2 predice g s =2 Momento magnetico intrinseco Loperatore momento magnetico intrinseco dovuto allo spin intrinseco di una particella è dove B =eħ/2m e è il magnetone di Bohr Si osservano piccole differenze rispetto a g s =2 a causa di correzioni di ordine superiore di QED Elettrone Esperimento e teoria sono in accordo entro 1 parte su 10 8 !

81 81 dove è il magnetone nucleare Protone e neutrone Ci aspettiamo che p spin 1/2, carica +e, s = N. n spin 1/2, carica 0, s = Si osserva invece p s = N g s = n s = N g s = Protoni e neutroni non sono particelle puntiformi: sono stati legati di quark carichi e gluoni

82 82 Chiusa parentesi

83 83 Trascurando le interazioni elettromagnetiche, protoni e neutroni sono molto simili La componente anomala di questo momento magnetico è Il momento magnetico del neutrone è interamente anomalo Il momento magnetico del protone è Quindi Hanno masse praticamente identiche: Confronto fra protone e neutrone

84 84 Protone e neutrone possono essere considerati come due stati quantici di una stessa entità, il nucleone. Definiamo un numero quantico intrinseco detto isospin Definendo z = 2t z, abbiamo Le altre due componenti dellisospin sono definite in analogia con lo spin Lisospin

85 85 Possiamo definire degli operatori di conversione protone neutrone (operatori di innalzamento e abbassamento dellisospin) che sono tali che In questo formalismo Q può essere espresso come Loperatore di carica deve essere tale che

86 86 Lisospin si compone come lo spin e un singoletto di isospin T = 0 Consideriamo un sistema di due nucleoni i cui stati di isospin sono Abbiamo quindi un tripletto di isospin T=1 Sistema di due nucleoni |T=1, T z = 1> |T=1, T z = 0> |T=1, T z = -1> |T=0, T z = 0>

87 87 Vediamo che Daltra parte, e sono stati misti protone-neutrone. Lo stato in cui la prima particella è un protone e la seconda è un neutrone è una sovrapposizione degli stati di isospin totale T=1 e T=0 con componente z T z =0 stato protone-protone stato neutrone-neutrone

88 88 Nel formalismo di isospin protoni e neutroni sono considerati come stati di una singola particella. La funzione donda di una coppia di nucleoni è espressa come un prodotto (corretto se si trascurano nellhamiltoniana interazioni fra spin e isospin, spin e coordinate, ecc.) Possiamo generalizzare il principio di Pauli in modo da richiedere che la funzione donda totale deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio di tutte le variabili (coordinate spaziale, spin, isospin) funzione donda spaziale Funzione (spinore) di spin Funzione (spinore) di isospin Per un sistema p-p o n-n la funzione di isospin è Simmetrica rispetto allo scambio delle due particelle Antisimmetrica rispetto allo scambio delle coordinate e spin usuale principio di Pauli per due fermioni identici Principio di Pauli generalizzato o

89 89 Se i due nucleoni sono in uno stato di momento angolare orbitale L, la simmetria dello stato rispetto allo scambio delle particelle è Se due nucleoni formano uno stato legato, è ragionevole assumere che lo stato di energia più bassa abbia L = 0 S + T = dispari. Poichè nel caso del deutone S = 1, questo deve essere un singoletto di isospin T=0. Esistono due nuclei con A = 3 che formano un doppietto di isospin T = 1/2 Esiste un solo nucleo con A = 4 ( 4 2 He) che è un singoletto di isospin ed è una configurazione particolarmente stabile con energia di legame pari a 28.3 MeV

90 90 Rotazioni

91 91 Consideriamo una rotazione attorno allasse z axis di un angolo Rotazioni o, in forma matriciale con la matrice di rotazione

92 92 È interessante considerare una rotazione infinitesima. In questo caso dove abbiamo introdotto la matrice e possiamo scrivere J z è detto il generatore delle rotazioni attorno allasse z e vediamo che possiamo scrivere

93 93 Lordine con cui eseguiamo due rotazioni è importante. Ad esempio In modo simile, se consideriamo rotazioni attorno allasse x o y, abbiamo i corrispondenti generatori Le rotazioni non commutano: il gruppo delle rotazioni (SO(3)) non è abeliano

94 94 Possiamo costruire una rotazione finita a partire da una infinitesima ponendo Il fatto che le rotazioni non commutino implica che anche le matrici dei generatori non commutano. Possiamo facilmente verificare che, ad esempio, e permutazioni cicliche Queste sono esattamente le relazioni di commutazione soddisfatte in meccanica quantistica dagli operatori del momento angolare. gli operatori del momento angolare sono i generatori delle rotazioni Allora

95 95 Questo può essere facilmente verificato definendo lesponenziale di una matrice attraverso la sua espansione in serie di Taylor Una rotazione finita attorno ad un asse n di un angolo può essere scritta come

96 96 Chiusa parentesi

97 97 J è il momento angolare. Una rotazione spaziale induce una rotazione sullo stato di un nucleone nello spazio di isospin ponendo J = / 2, Lesponenziale può essere sviluppato in modo da ottenere Ad esempio, una rotazione di 180 gradi attorno allasse x dà (a parte un fattore i) Una rotazione di un angolo ϑ attorno ad un asse n può essere rappresentata attraverso loperatore Indipendenza dalla carica dellinterazione nucleare Questa inverte lasse z per cui trasforma un protone in un neutrone (e viceversa).

98 98 Come abbiamo visto, due nucleoni possono essere in uno dei tre stati di isospin T=1 oppure in singoletto di isospin T = 0. Possiamo ruotare lo stato di isospin |T,T z > della coppia tramite loperatore Dove abbiamo posto J=T, essendo T lisospin totale Vogliamo adesso ruotare simultaneamente un sistema di due nucleoni Dagli esperimenti di scattering abbiamo visto che n-p e p-p in 1 S 0 interagiscono allo stesso modo. Stato p-p 1 S 0 : antisimmetrico nelle variabili spaziali e di spin, T=1, T z =1. Stato p-n 1 S 0 : antisimmetrico nelle variabili spaziali e di spin, T=1, T z =0. postuliamo che la forza non dipenda da T z allinterno di un multipletto (ma può dipendere da T)

99 99 e il valor medio rispetto agli stati ruotati Lindipendenza dalla carica significa che il valore di aspettazione non cambia se effettuiamo una rotazione. Quindi Questo implica che V N commuta con loperatore rotazione e quindi in definitiva con i generatori delle rotazioni di isospin T Possiamo definire lindipendenza dalla carica nel modo seguente. Consideriamo il valor medio del potenziale nucleare rispetto al dato stato di isopin

100 100 Autostato con la stessa energia Possiamo formare autostati simultanei di H, T 2, T z e denotarli. Abbiamo Consideriamo lhamiltoniana completa del sistema di nucleoni, dove K è lenergia cinetica. Poichè K commuta con T, lintera hamiltoniana commuta Assumiamo che |n> e D(R)|n> siano distinti sono stati degeneri In generale combinazione lineare Tutti gli stati |n,T,T z > con T z diverso devono avere la stessa energia

101 101 Il valor medio di H rispetto a uno qualunque di essi è lo stesso. Una coppia n-p daltra parte può trovarsi anche in singoletto di isospin Quindi, se consideriamo i tre stati p-p, n-n, e n-p del tripletto di isospin T=1 Questo sarà un autostato dellhamiltoniana in generale con autovalore dellenergia diverso. Linterazione non dipende dalla componente z dellisospin, ma porterà a energia diverse a seconda che T=0 o T=1.

102 102 Linvarianza di V N rispetto a isorotazioni implica che V N deve essere uno scalare nello spazio dellisospin- ad esempio Invariante rispetto a rotazioni Poichè abbiamo e Allinterno di un dato multipletto lenergia non dipende da T z nuclei speculari membri di un dato multipletto di isospin con ±T z

103 103 Chiara corrispondenza fra i livelli. I livelli però non sono esattamente identici. Perchè? Lindipendenza da T z implica che un livello corrispondente a un certo valore di T si presenta in 2T + 1 isobari corrispondenti a tutti i possibili valori di T z. Livello fondamentale di 6 Li: ha T = 0 per cui è un singoletto Livello eccitato a 3.56 MeV: ha T = 1 e si presenta in tre nuclei 6 He, 6 Li, 6 Be:

104 104 Consideriamo ora lazione delloperatore x Loperatore agendo su una funzione donda nucleare converte tutti i neutroni in protoni e viceversa protoni neutroni protoni Simmetria di carica La simmetria di carica deve implicare Ciò implica che linterazione n-n è uguale allinterazione p-p. Quindi, lindipendenza dalla carica è una condizione più forte della simmetria di carica

105 105 Nuclei speculari Illustrano la simmetria di carica (indipendenza da T z ) interazione p-p = interazione n-n Ciò non implica che p-n = p-p o n-n perchè il numero di coppie p-n è lo stesso in entrambi i nuclei Esempio 23 Na 23 Mg

106 106 Il pione esiste in tre stati carichi +, -, 0. Di conseguenza possiamo definire un tripletto di isospin T=1 e la carica è data da Lisospin è conservato nelle interazioni forti. Consideriamo ad esempio le due reazioni T=1 50% T=0 50% T=1 T=0T=1T=0T=1 Estensione del concetto di isospin: il pione Conservazione significa che lisospin dello stato finale deve essere uguale allisospin dello stato iniziale. ciascuna delle due reazioni può procedere solo attraverso il canale T=1. Abbiamo di conseguenza la predizione In accordo con le misure!

107 107 In generale lhamiltoniana completa di un nucleo contiene anche il termine di interazione coulombiana V c Interazioni coulombiane: rottura della simmetria di isospin Poichè la carica di un singolo nucleone è linterazione coulombiana fra due protoni separati da una distanza r è Possiamo ragionare in termini di interazione coulombiana fra due nucleoni i e j sostituendo al posto di e 2 il prodotto delle cariche Q i Q j

108 108 Lenergia potenziale elettrostatica totale è quindi Vediamo quindi che V c è invariante rispetto a rotazioni attorno allasse z. Daltra parte però, poichè T z non commuta con T x e T y, in generale abbiamo Quindi linterazione coulombiana non è invariante rispetto a qualunque rotazione nello spazio di isospin. In pratica questo implica che il valore di aspettazione di H rispetto a uno stato |n,T,T z > acquisterà una dipendenza da T z che rimuove la degenerazione.

109 109 Chiara corrispondenza fra i livelli. I livelli però non sono esattamente identici. Perchè? effetto coulombiano che rimuove la degenerazione.

110 110 FORZE DIPENDENTI DALLO SPIN E FORZE NON CENTRALI

111 111 Consideriamo un potenziale dipendente dallo spin della forma Abbiamo Poichè S i = hslash i /2 Diversi potenziali per gli stati di tripletto e singoletto V S può essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle Forza dipendente dallo spin - 1

112 112 Interazione tensoriale – considerazioni generali Il deutone ha un piccolo ma non trascurabile momento di quadrupolo elettrico, Q=2.82x m 2. Quindi la funzione donda non è sfericamente simmetrica. La distribuzione di carica è fusiforme forza tensoriale funzione non solo della distanza n-p ma anche dellangolo formato dal loro spin con la congiungente delle due particelle. r forza attrattiva (configurazione del deutone a forma di sigaro) forza repulsiva (configurazione del deutone a forma di disco) N S N S N S N S r Esempio classico di forza tensoriale: due barrette magnetiche forza attrattiva forza repulsiva

113 113 r forza attrattiva (configurazione del deutone a forma di sigaro) forza repulsiva (configurazione del deutone a forma di disco) Il potenziale tensoriale ha la forma

114 114 Momenti elettrici

115 115 Momenti nucleari Le proprietà elettromagnetiche statiche dei nuclei sono specificate in termini dei momenti elettromagnetici che danno informazioni sul modo in cui il magnetismo e la carica sono distribuiti allinterno del nucleo. I due momenti più importanti sono Momento di quadrupolo elettrico Q Momento di dipolo magnetico Momenti elettrici Dipendono dalla distribuzione di carica allinterno del nucleo e sono una misura della forma nucleare (contorni di densità di carica costante). La forma nucleare è parametrizzata tramite unespansione di multipolo del campo elettrico esterno r-r

116 116 Eseguiamo unespansione in serie di potenze Possiamo quindi riscrivere il potenziale elettrico come

117 117 Definiamo quindi Nel limite quantistico Supponiamo che r definisca lasse z

118 118 Le unità sono m 2 o barn (unarea) Nel caso di simmetria sferica si ha z 2 =r 2 /3 per cui Q=0 In particolare, tutti i nuclei con J=0 hanno Q=0 Momento di quadrupolo elettrico sferoide prolato Q=+ve a>b=c sigaro sferoide oblato Q=-ve a=b>c dosco o lenticchia Ellitticità Sperimentalmente è tipicamente 10%

119 119 Chiusa parentesi

120 120 Se ipotizziamo che linterazione nucleare sia invariante rispetto a traslazioni, rotazioni e riflessione degli assi, allora la forma più generale è (Wigner) V i possono essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle potenziale centrale potenziale tensoriale Forma del potenziale dettata da principi di invarianza

121 121 Uninterazione della forma è invariante sotto rotazioni. Tuttavia, abbiamo un vincolo addizionale: la conservazione della parità nelle interazioni forti. r è un vettore A questa trasformazione nello spazio ordinario corrisponde un operatore agente nello spazio vettoriale degli stati di un sistema, Parità e invarianza sotto riflessioni spaziali Una trasformazione di parità è una riflessione rispetto allorigine in cui tutte le coordinate cambiano segno Come è definita?

122 122 Ricordando che r in meccanica quantistica diventa un operatore (come il momento angolare), possiamo fare lipotesi plausibile r è un vettore L è uno pseudovettore – lo spin ha la stessa proprietà di trasformazione Dire che la parità è conservata significa che lhamiltoniana del sistema è invariante sotto U p, Poichè, loperatore quantità di moto ha la medesima proprietà di trasformazione. Abbiamo quindi le proprietà di trasformazione degli operatori posizione e momento angolare La proprietà di invarianza può essere anche riformulata come

123 123 r non è invariante sotto riflessioni spaziali potenze pari sono invarianti ( r) ( r) (potenze maggiori della seconda possono essere ridotte alla seconda tramite le relazioni di commutazione per due particelle identiche) Se ipotizziamo che linterazione nucleare sia invariante rispetto a traslazioni, rotazioni e riflessione degli assi, allora la forma più generale è (Wigner) V i possono essere funzione del momento orbitale del sistema e della carica delle particelle potenziale centrale potenziale tensoriale Forma del potenziale dettata da principi di invarianza

124 124 Potenziale tensoriale e stati del deutone Il potenziale V C (r) + V S (r) 1 2 è invariante rispetto a rotazioni delle coordinate e nello spazio di spin separatamente. Il momento angolare orbitale e di spin totali L, S sono i generatori delle rotazioni L ed S commutano con H Questo implica che m zL, m zS sono buoni numeri quantici, ossia costanti del moto: un autostato di H è caratterizzato da valori definiti di m zL, m zS Inoltre, anche L 2 e S 2 commutano con H, oltre che con L z, S z. Quindi, complessivamente un autostato di H è anche autostato di L 2, S 2, L z e S z con numeri quantici L,S, m zL, S zL Il potenziale V T (r)S 12 è invariante solo rispetto a rotazioni simultanee delle coordinate e nello spazio di spin. J = L + S è il generatore di tali rotazioni, per cui J commuta ancora con H. Tuttavia, si può mostrare che L non commuta più con H un autostato di H può essere una sovrapposizione di stati di L diverso E per quanto riguarda lo spin?

125 125 Ancora sulla parità e parità degli stati nucleari Sotto una trasformazione di parità la funzione donda di un sistema si ottiene invertendo tutte le coordinate Supponiamo che sia una autofunzione di U P. Allora Tuttavia, per cui Questo implica Le autofunzioni della parità restano invariate o cambiano segno rispetto allo scambio delle coordinate spaziali.

126 126 Torniamo a considerare il deutone e sia ora unautofunzione dellhamiltoniana del sistema p-n Consideriamo lequazione di Schrodinger per lautofunzione trasformata sotto parità U P (r k ). Poichè H e U P commutano, troviamo Quindi anche U P (r k ) è unautofunzione di H con autovalore E. Pertanto deve essere Applicando di nuovo U P, deve essere anche (r k ) = K (-r k ), poichè H (r k ) = E (r k ) Da cui segue che K= ±1. Quindi la funzione donda del deutone è anche unautofunzione della parità. Proprietà generale: le funzioni donda di sistemi nucleari hanno definite proprietà di trasformazione rispetto allinversione spaziale.

127 127 Le funzioni donda di sistemi nucleari hanno definite proprietà di trasformazione rispetto allinversione spaziale. Questo implica che il momento di dipolo di un nucleo è zero Sotto inversione spaziale * non cambia segno, mentre z cambia. Quindi E 1 -E 1 per cui E 1 =0 La condizione di non degenerazione di è essenziale. Consideriamo ad esempio, lhamiltoniana di una particella libera H = p 2 / 2m. Le autofunzioni (onde piane) = exp(±ipx/h) sono degeneri poichè hanno lo stesso autovalore E = p 2 /2m. H commuta con U P, mentre daltra parte le onde piane non hanno una parità definita.

128 128 Per gli stati del deutone abbiamo trovato che è caratterizzato dai numeri quantici J, m J e la parità. H ed S non commutano. Tuttavia, lhamiltoniana corrrispondente al potenziale è simmetrica rispetto allo scambio degli spin. Considerazioni simili a quelle sulla parità: gli stati di spin devono essere simmetrici (corrispondenti a S=1) o antisimmetrici (corrispondenti a S=0) rispetto allo scambio delle coordinate di spin lautovalore di S 2 è un buon numero quantico m S non è un buon numero quantico (possiamo avere sovrapposizioni di diversi stati di tripletto con diverso m S ) Completamento della discussione sugli stati del deutone

129 129 Mixing di stati di momento angolare orbitale diverso Poichè H e L non commutano a causa del potenziale tensoriale, lo stato del deutone in generale può essere una sovrapposizione di stati di L diverso. Poichè L e U P commutano, un autostato del momento angolare (L 2,L z ) è anche un autostato della parità. Utilizzando coordinate polari sferiche abbiamo visto che la funzione donda corrispondente a un definito momento angolare orbitale ha la forma Sotto parità Lespressione esplicita delle funzioni sferiche è Autostato di L 2 e L z

130 130 Abbiamo per m = 0 il caso speciale A seconda del grado L, il polinomio di Legendre è o pari o dispari Vediamo quindi che sotto inversione spaziale Introduciamo gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare Poichè L communta con U P, anche L commutano con la parità e quindi in generale sotto inversione spaziale

131 131 Poichè L e U P commutano e poichè U P e H commutano, possiamo avere o sovrapposizione di stati di L pari o sovrapposizione di stati L dispari. non si possono mescolare stati L pari con stati L dispari. Il deutone ha J=1 e consiste essenzialmente dello stato 3 S 1 in presenza di forze centrali. In presenza del potenziale tensoriale consideriamo quindi lo stato 3 S D 1, cioè una sovrapposizione di stati L=0 e L=2. consistente col momento magnetico osservato. Quindi la parità di uno stato di momento angolare orbitale è

132 132 Il momento magnetico del deutone Il momento magnetico del deutone riceve un contributo dai momenti magnetici intrinseci del protone e del neutrone, e un contributo dovuto al momento angolare orbitale del protone. La componente intrinseca è Il moto orbitale del protone forma (classicamente) una spira di corrente che dà luogo a un momento magnetico orbitale Poichè protone e neutrone hanno sostanzialmente la stessa massa, il momento angolare orbitale del protone L p è metà del momento angolare orbitale totale

133 133 Il momento magnetico totale è dunque Il momento angolare totale è Immaginiamo di eseguire misure lungo lasse z. La misura del momento angolare dà Lasse z può essere definito ad esempio da un campo magnetico uniforme. In tale campo lenergia dipende da m j e J non sono allineati

134 134 La misura è fatta in uno stato in cui J è massimalmente allineato con z: assumiamo (classicamente) che z sia la proiezione di su J Il momento magnetico misurato è per definizione la sua proiezione massimale sullasse z definito dalla direzione del campo magnetico con m j =J proietta su J quindi J su z Quindi

135 135 Essendo J=1 per il deutone Usiamo e scriviamo loperatore come Ma gli spin del protone e del neutrone sono allineati (per dare S=1) per cui, il secondo termine deve dare zero.

136 136 Quindi per il deutone possiamo scrivere effettivamente Trucco per i valori di aspettazione. Poichè Quindi

137 137 Possiamo scrivere i momenti magnetici corrispondenti a L=0 e L=2 (J=1, S=1) Il momento magnetico osservato del deutone è Assumiamo quindi che la funzione donda del deutone sia una combinazione lineare di stati S e D Possiamo quindi aggiustare i coefficienti in modo da render conto del momento magnetico osservato b 2 =0.04 o una miscela con onda D al 4% spiega il momento magnetico!

138 138 Lo stato del deutone può essere L=0 o L=2. In entrambi i casi S tot =1 e S z =1. Si può mostrare che Il potenziale tende ad allineare r con z modificando la densità del sistema momento di quadrupolo positivo

139 139 SATURAZIONE DELLE FORZE NUCLEARI E FORZE DI SCAMBIO

140 140 Finora abbiamo considerato delle funzione V i (r) attrattive a tutte le distanze e indipendenti dal momento angolare. Consideriamo un nucleo con A nucleoni. La sua energia totale sarà K + U, dove U = energia potenziale. Per un potenziale attrattivo fra ciascuna coppia di nucleoni Saturazione f(r) = funzione della distanza media fra i nucleoni K = energia cinetica. Se immaginiamo i nucleoni come un gas di fermioni in una sfera di raggio R Per grandi valori di A, E tende ad essere dominata da U per cui ci aspetteremmo che lenergia di legame cresca come A 2 (o potenze maggiori). Daltra parte si osserva che lenergia di legame dei nuclei cresce come A. Questo fatto sembra quindi implicare una saturazione della forza nucleare: Una particella interagisce solo con un numero limitato di altre particelle.

141 141 Inoltre possiamo stimare lenergia dello stato fondamentale col metodo variazionale minimizzando raggio dazione della forze nucleari Se usiamo come funzioni donda onde piane che si propagano nella sfera di raggio R che rappresenta il nucleo, allora si trova che indipendentemente da A. Daltra parte di osserva invece che i raggi nucleari crescono come Questa discrepanza è di nuovo una conseguenza del fatto che il potenziale tende a tenere troppo unite le particelle. E invece necessario un potenziale che impedisca alle particelle di avvicinarsi troppo. Abbiamo alcune possibilità: 1. Potenziale repulsivo a piccole distanze (lo investigheremo più avanti). 2. Forze di scambio.

142 142 Scriviamo la funzione donda n-p nella forma (r 1,s 1,r 2,s 2 ) (1,2). Analogamente il potenziale V(r 1,s 1,r 2,s 2 ) V(1,2). Il valore di aspettazione è Forze di scambio Tuttavia, anzichè V (detto anche potenziale di Wigner) possiamo considerare un operatore dato dal prodotto di V per uno dei seguenti operatori VP H V H interazione di Heisemberg: scambia le particelle sia le coordinate spaziali che di spin VP M V M interazione di Majorana: scambia le coordinate spaziali delle particelle VP B V B interazione di Bartlett: scambia le coordinate di spin delle particelle

143 143 Forza di Majorana. Lo scambio delle coordinate spaziali equivale a r -r. Ma sotto inversione spaziale Per cui linterazione di Majorana è Potenziale indipendente dallo spin che cambia segno a seconda che L sia pari o dispari. Forza di Bartlett. Scambio delle coordinate di spin: stato di singoletto di spin antisimmetrico il segno cambia stato di tripletto di spin simmetrico il segno non cambia Quindi Per cui linterazione di Bartlett è Potenziale che ha segno opposto per stati S = 0 e S = 1. Linterazione nucleare non può essere di Bartlett pura.

144 144 Per due particelle abbiamo Per cui possiamo scrivere linterazione di Bartlett come Forza di Heisemberg. Poichè in questo caso vengono scambiate sia le coordinate spaziali che quelle di spin, abbiamo Potenziale che cambia segno a seconda che L+S sia pari o dispari:

145 145 Per due nucleoni abbiamo e possiamo scrivere Infatti questa cambia segno a seconda che lo stato di isospin sia simmetrico o antisimmetrico, che equivale a dire, in base al principio di Pauli generalizzato, a seconda che (r 1,s 1,r 2,s 2 ) sia antisimmetrica o simmetrica rispetto allo scambio delle coordinate spaziali e di spin.

146 146 La differenza fra linterazione n-p in 3 S 1 e 1 S 0 può spiegarsi assumendo - ~ 25% interazione di Heisemberg o Bartlett - ~ 75% interazione di Wigner o Majorana Forze di scambio e saturazione Linterazione di Bartlett non porta a saturazione. Infatti tende ad allineare gli spin e nei nuclei pesanti lenergia di legame sarebbe A 2. Si può mostrare invece che sia linterazione di Majorana che di Heisemberg, cambiando segno in stati di L pari o dispari, danno entrambe luogo a saturazione. Linterazione di scambio predominante sembra essere quella di Majorana. Fino al nucleo 4 He la saturazione non dovrebbe manifestarsi perchè possiamo accomodare tutti i nucleoni in onda S (sia i 2 protoni che i 2 neutroni in singoletto di spin). In effetti, lenergia di legame cresce da D, ad 3 H e ad 4 He consistente con lassunzione che in D abbiamo 2 particelle e un legame, in 3 H abbiamo 3 particelle e 3 legami, in 4 He abbiamo 4 particelle e 6 legami più legami ci sono maggiore è lenergia di legame. Se aggiungiamo un quinto nucleone, deve essere necessariamente in onda P. Il segno del potenziale cambia per cui non risulta legato agli altri saturazione. In effetti 5 He e 5 Li sono entrambi instabili.

147 147 Lo scattering n-p ad alta energia (100 MeV) dimostra lesistenza delle forze di scambio. Lampiezza di scattering nellapprossimazione di Born nel centro di massa è Evidenza sperimentale delle forze di scambio m = massa ridotta r = r 1 – r 2 V(r) a corto range: lintegrale ha un valore non nullo solo per Scattering in avanti: ci aspettiamo di osservare un (solo) massimo a ϑ~0 d /d altrimenti lesponenziale oscilla così rapidamente da dare mediamente un risultato nullo

148 148 Tuttavia la sezione durto osservata presenta un massimo anche per ϑ ~ 180 o corrispondente a neutroni che rinculano indietro. d /d Se ci fosse una forza di scambio di Majorana, allora r va scambiato con –r e Allora f( ϑ ) è grande per k i + k f ~ 0 scattering del neutrone indietro (e di p in avanti)!

149 149 La sezione durto a 100 MeV (la prima ad essere misurata) presenta due massimi simili. Questo suggerì una miscela di forze ordinarie e di Majorana in parti uguali nota come interazione di Serber, V Serber è attrattivo per L pari e zero per L dispari. Questo implica che la distribuzione angolare è data da np n p ϑ Interazione diretta np p n ϑ Interazione di scambio

150 150 Poichè P L (cos ϑ ) è pari per L pari, abbiamo infine, come richiesto dalle osservazioni sperimentali a 100 MeV Tuttavia, misure a energie maggiori mostrano che il massimo a 180 o aumenta progressivamente per cui anche il peso delle forze di scambio aumenta rispetto a quello delle forze ordinarie. d /d Inoltre, dati di scattering p-p mostrano come anche gli stati L dispari contribuiscano.

151 151 SCATTERING AD ALTA ENERGIA: ALTRE CARATTERISTICHE DELLINTERAZIONE NUCLEARE

152 152 Gli elettroni atomici sono soggetti a un accoppiamento spin-orbita derivante dallinterazione degli spin elettronici col campo magnetico dellatomo I nucleoni sono soggetti ad un accoppiamento spin-orbita derivante dallinterazione del loro spin e del momento angolare orbitale. Si ha evidenza di un termine di spin-orbita dalla polarizzazione dei nucleoni scatterati Polarizzazione: numero di nucleoni con spin up N( ) diverso dal numero di nucleoni con spin down N( ) Una forza dipendente dal momento può essere rappresentata da un termine di spin- orbita nel potenziale Potenziale spin-orbita - P = % polarizzazione - P = 0 assenza di polarizzazione

153 153 Abbiamo 3 possibilità: (i) il nucleone del fascio ha spin, il nucleone bersaglio ha spin, lo spin totale è S = 1 Osserviamo la polarizzazione del nucleone scatterato quando fascio e bersaglio non sono polarizzati Assumiamo Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 repulsivo Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 attrattivo Tutti gli spin incidenti su spin (bersagli) sono deflessi nella stessa direzione a causa del potenziale spin-orbita

154 154 (ii) il nucleone del fascio ha spin, il nucleone bersaglio ha spin, lo spin totale è S = 1 Nucleone 1: L = r x p nel piano V > 0 attrattivo Nucleone 2: L = r x p fuori dal piano V< 0 repulsivo Linterazione spin-orbita deflette la componente di spin del fascio incidente a sinistra e la componente di spin del fascio incidente a destra Abbiamo polarizzazione (iii) il nucleone del fascio ha spin o, il nucleone bersaglio ha spin o, lo spin totale è S = 0 non cè deflessione a causa dellaccoppiamento spin-orbita

155 155 Qualunque singolo nucleone che passa attraverso linterno di un nucleo incontrerà in media un ugual numero di nucleoni con spin e spin, per cui linterazione spin-orbita complessiva è nulla. Tuttavia, uninterazione di spin-orbita non nulla si può avere per quei nucleoni che passano vicino alla superficie del nucleo Leffetto si osserva soltanto quando lenergia del fascio incidente è abbastanza alta da poter avere L > 0 La polarizzazione cresce con lenergia

156 156 A 300 MeV lo spostamento di fase S diventa negativo forza repulsiva Classicamente Il nocciolo repulsivo del nucleone incidente range della forza nucleare Per E lab = 300 MeV abbiamo p 1.7 fm -1. Con L max 1 troviamo

157 157 dove in generale ciascun termine Vi (i = C, LS, ecc.) è funzione delle distanze e velocità relative, del momento angolare orbitale e isospin, Riassunto sui potenziali fenomenologici Riassumendo, la forma più generale del potenziale nucleone-nucleone è Inoltre abbiamo parte isoscalareparte isovettoriale operatore quadratico di spin-orbita

158 158 TEORIA MESONICA

159 159 Lidea della forza mediata dallo scambio di particelle scattering atteso Una possibile spiegazione si ha se assumiamo che durante lurto una particella carica venga scambiata fra protone e neutrone, cosicchè il neutrone incidente diventa un protone e il protone diventa un neutrone. Abbiamo visto che le misure di scattering n-p ad alte energie evidenziano, oltre un massimo a piccoli angoli, anche un massimo pronunciato a

160 160 Poichè il processo spontaneo di creazione di una particella virtuale viola la conservazione dellenergia, vale la relazione di indeterminazione dove E = mc 2 è lenergia richiesta per creare la particella (trascurando lenergia cinetica ). Se la particella si muove alla velocità della luce, allora t R / c cosicchè otteniamo il range lunghezza donda Compton della particella Per ottenere un range di circa 2 fm la massa deve essere circa 100 MeV (hslashc = 200 MeV fm)

161 161 In elettromagnetismo, i fotoni, particelle di massa nulla, soddisfano lequazione di campo (equazione di Poisson) Scambio di particelle di massa non nulla La soluzione di questa equazione si ottiene integrando sul volume Possiamo ricavare unequazione donda relativistica per una particella di massa non nulla a partire dallinvariante Operando le sostituzioni Questo porta allequazione donda Equazione di Klein-Gordon Equazione del moto della particella libera

162 162 Consideriamo la soluzione in condizioni statiche per cui / t = 0. In elettromagnetismo le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettromagnetico (i fotoni). In analogia con lelettromagnetismo, supponiamo che un nucleone sia sorgente di queste particelle di massa m possiamo porre Consideriamo un nucleone di massa infinita fisso nellorigine La soluzione di questa equazione è il potenziale di Yukawa A causa della forma esponenziale, diretta conseguenza della massa non nulla delle particelle, questo potenziale ha il desiderato range finito

163 163 Questa stima è abbastanza piccola: il pione comincia a dominare proprio oltre questo range. Applicando un fattore 3 o 4 si ottiene una stima più realistica. Lenergia di interazione con un secondo nucleone posto nel campo del primo è Possiamo valutare lordine di grandezza della costante di accoppiamento forte g, considerando la sezione durto di interazione nucleone-nucleone. Abbiamo Lintegrale è propagatore del campo bosonico

164 164 Assumiamo che la sezione durto totale (a bassa energia q 0) sia Daltra parte Lordine di grandezza della costante di accoppiamento è dunque come ci aspetta dal fatto che a r = 1/m linterazione nucleare fra protoni deve essere molto maggiore della repulsione coulombiana

165 165 Il potenziale che abbiamo ricavato descrive lemissione e lassorbimento di un pione neutro. Corrisponde quindi ai processi Mesoni carichi e neutri. Teoria simmetrica Le forze di scambio indicano però che si può avere anche emissione e assorbimento di pioni carichi

166 166 Dobbiamo includere anche i pioni carichi. Introduciamo quindi tre campi e modifichiamo lequazione di Klein-Gordon (abbiamo unequazione per ciascun campo) sono operatori che agiscono sulla funzione di isospin del nucleone. Quando viene scambiato un pione neutro (campo 3 ), il nucleone non cambia per cui 3 deve trasformare un protone in un protone o un neutrone in un neutrone: Possiamo quindi porre

167 167 Con 1 e 2 dobbiamo rappresentare lemissione (assorbimento) di pioni positivi e negativi nei processi Gli operatore 1 e 2 devono quindi trasformare il neutrone in un protone e viceversa. Poniamo quindi Abbiamo visto già che le combinazioni lineari ( x ± i y )/2 scambiano protoni con neutroni e viceversa, per cui poniamo solo i protoni emettono + solo i neutroni emettono -

168 168 Restano da fissare le costanti c 1 e c 2. Richiediamo che sia uguale a Poichè Troviamo quindi Questa scelta assicura che i mesoni carichi (che possono essere emessi solo da un tipo di nucleoni per ogni carica) siano legati ai nuclei altrettanto fortemente dei neutri (che possono essere emessi sia da neutroni che da protoni).

169 169 Le soluzioni delle tre equazioni di Klein-Gordon sono Lenergia di interazione fra un nucleone b posto nel campo di un nucleone a è Qui è uguale, per come abbiamo fissato le costanti di di normalizzazione a scalare nello spazio dellisospin invarianza di carica rispettata Problema: a b ha segno positivo in tripletto e negativo in singoletto di isospin. Quindi nello stato fondamentale del deutone, che ha T = 0, avremmo una forza repulsiva! la teoria non funziona!

170 170 Consideriamo una reazione come La parità intrinseca La funzione donda dello stato iniziale i e dello stato finale i saranno caratterizzate da una certa parità, La conservazione della parità implica che la parità dello stato finale deve essere uguale alla parità dello stato iniziale Tutto ciò è basato sulla definizione della legge di trasformazione di una funzione donda U P (r k ) = (-r k ). Adesso generalizziamo questa definizione in dove Prodotto di parità intrinseche di protone e neutrone

171 171 La parità dello stato iniziale e finale diventano Tuttavia, in fisica delle particelle però possono aver luogo reazioni in cui si ha creazione o distruzione di particelle. Ad esempio In questo caso la condizione di conservazione della parità è La condizione di conservazione della parità sopra non viene modificata perchè le parità intrinseche nello stato iniziale e finale sono le stesse e quindi si cancellano. Le parità intrinseche del protone e del neutrone si cancellano come prima, ma la parità intrinseca del pione è osservabile e a priori può essere sia +1 che -1. Nella reazione di scambio carica Le parità intrinseche dei nucleoni non si cancellano possiamo assegnare una parità intrinseca a tutte le particelle, ma alcune di queste devono essere fissate per definizione

172 172 La parità intrinseca dei pioni (carichi) può essere determinata studiando la reazione Pioni lenti vengono catturati dal deuterio in un orbitale K in onda S (l = 0). Il momento angolare dello stato iniziale è quindi La conservazione del momento angolare implica che il momento angolare dello stato finale è Si è soliti assumere per definizione Scelta naturale legata alla simmetria di isospin: p ed n diversi stati di carica della stessa particella Se L n = 0 allora il principio di Pauli detta che gli spin siano antiparalleli e J nn non può essere 1. Quindi deve essere L n = 1.

173 173 Poichè nella reazione la parità è conservata, la parità dello stato finale è Concludiamo quindi che, essendo L n = 1, Il pione ha parità intrinseca negativa! – è una particella pseudoscalare. La parità dello stato iniziale è

174 174 Lequazione di Poisson di un dipolo elettrico nellorigine è Il potenziale viene ottenuto da Interazione del mesone pseudoscalare col nucleone Laccoppiamento fra pione pseudoscalare e nucleone può essere descritto correttamente solo con la teoria di Dirac facendo uso delloperatore 5. Qui svilupperemo unapprossimazione non relativistica basata su unanalogia con lelettromagnetismo.

175 175 Torniamo adesso le equazioni di Klein-Gordon matrice di spin del nucleone è una quantità pseudoscalare, interpretabile come un dipolo magnetico dallanalogia con lelettrostatica, che tiene conto del fatto che i nucleoni hanno spin. Sfruttando lanalogia con lelettrostatica per la soluzione del potenziale, abbiamo la soluzione delle equazioni di Klein-Gordon Poichè (r) è una quantità pseudoscalare, anche deve essere pseudoscalare. Poniamo

176 176 Lenergia di interazione fra un nucleone in r 2 nel campo pionico generato da un altro nucleone posto in r 1 è e integriamo su tutto lo spazio. In questo modo arriviamo al potenziale di scambio di un pione Sostituiamo il campo pionico

177 177 Facendo agire gli operatori gradiente su exp(-m r)/r arriviamo al risultato finale stati spazialmente simmetrici (ad. es. L=0) Il termine Dà luogo a una potenziale centrale di scambio a causa del fattore ( 1 2 )( 1 2 ). Inoltre Quindi la forza centrale prevista negli stati 3 S e 1 S è la stessa ed è attrattiva.

178 178 In modo più completo stati spazialmente simmetrici La parte centrale di U è attrattiva in stati pari e repulsiva in stati dispari. Il termine È un interazione tensoriale col segno corretto per spiegare il momento di quadrupolo del deutone. stati spazialmente antisimmetrici E presente anche un termine di contatto (r). Tuttavia, prima che diventi importante, entrano in gioco altre componenti repulsive dellinterazione.

179 179 Mesoni … diamo uno sguardo alla tavola del Particle Data Group (PDG)

180 180

181 181 Pseudoscalari J P =0 - scalari J P =0 + vettoriali J P =1 -

182 182 I mesoni sono stati legati formati da un quark e un antiquark. Consideriamo i flavor di quark più leggeri u (up), d (down), s(strange). Come il protone e il neutrone, i quark up e down formano un doppietto di isospin 1/2 Mesoni pseudoscalari e vettoriali carica elettrica Gli antiquark anti-up e anti-down formano un altro doppietto di isospin carica elettrica Il quark s ha isospin zero, ma possiede un numero quantico detto stranezza

183 183 Combinando un quark (up o down) con un antiquark (anti-up o anti-down) possiamo formare stati di isospin 1 oppure 0. Fra questi abbiamo i pioni (tripletto di isospin) e il mesone (singoletto di isospin) I pioni e il mesone sono pseudoscalari. La parità del sistema quark-antiquark è dunque Questo implica che il momento angolare orbitale è nullo. Inoltre, poichè sia i pioni che la hanno spin nullo, gli spin del quark e antiquark si combinano in un singoletto di spin.

184 184 Consideriamo adesso anche il quark quark s (strange). Possiede un numero quantico detto stranezza. Possiamo combinare i flavor up, down e strange in una simmetria più ampia di quella di isospin SU(2) Simmetria SU(3) Si possono formare 9 stati (un ottetto e un singoletto di SU(3))

185 185 In modo analogo possiamo costruire 9 mesoni vettoriali quando la coppia qqbar si trova in uno stato di spin pari a uno. Mesoni vettoriali

186 186 Generalizzazione: interazione mediata dallo scambio di vari mesoni anche vettoriali e scalari oltre che pseudoscalari. One boson exchange potential (OBEP)

187 187 Lungo range Riassunto: le parti più importanti della forza nucleare Forza centrale Range intermedio Corto range Forza tensoriale: Forza spin-orbita: Scambio di due pioni correlati in uno stato di momento angolare totale zero

188 188 La forza nucleare alla luce della QCD

189 189 La forza forte fondamentale è fra quark e non fra nucleoni! Se i nucleoni non si sovrappongono, cosa succede fra di essi? Si ha solo uninterazione residua! Ci sono altre forze residue in natura, ad esempio la forza di Van der Waals fra due atomi neutri Scambio di due fotoni: interazione dipolo-dipolo

190 190 Analogamente, i quark colorati in un nucleone si combinano in uno stato senza colore. In prima approssimazione un nucleone appare neutro dal punto di vista dellinterazione forte così come un atomo appare neutro dal punto di vista dellinterazione elettromagnetica. Lanalogia perfetta della forza di Van der Waals corrisponde allo scambio di due gluoni Tuttavia questa idea non può essere vera perchè creerebbe una forza di range infinito (i gluoni sono senza massa), mentre la forza nucleare ha range finito. Esiste qualcosaltro che può funzionare nel caso di due nucleoni che non si sovrappongono?

191 191 Lo stesso ma in termini più professionali Ma se affermiamo che stiamo usando la QCD, allora dobbiamo calcolare questo vertice in termini di scambi di quark e gluoni. Buona fortuna!

192 192 Quando due nucleoni si sovrappongono, abbiamo un problema a sei quark con interazioni non perturbative fra i quark (scambi gluonici non perturbativi). Un problema formidabile! Attualmente sono in corso tentativi di calcolare questa interazione con la formulazione della QCD su reticolo.

193 193 Forze nucleari: 1. Teoria elementare del nucleo – H. Bethe e P. Morrison 2. Nuclei e particelle – E. Segrè 3. Introduzione alla fisica nucleare - Alberico 4. The meson theory of nuclear forces - Machleidt (adv. nucl. phys. 19 (1989) 189 Meccanica quantistica, teoria dello scattering: 1. Quantum mechanics - Sakurai 2. Quantum physics - Gasiorowicz Letture

194 194 Come abbiamo visto, due nucleoni possono essere in uno dei tre stati di isospin T=1 oppure in singoletto di isospin T = 0. Possiamo ruotare lo stato di isospin di ciascun nucleone tramite loperatore Lesponenziale può essere sviluppato in modo da ottenere Dove T è lisospin totale ruota |t1,t1z> ruota |t2,t2z> Vogliamo adesso ruotare simultaneamente un sistema di due nucleoni

195 195 e il valor medio rispetto agli stati ruotati Linvarianza dalla carica significa che il valore di aspettazione non cambia se effettuiamo una rotazione. Quindi Questo implica che V N commuta con loperatore rotazione e quindi in definitiva che Possiamo definire linvarianza dalla carica nel modo seguente. Consideriamo il valor medio del potenziale nucleare rispetto al dato stato di isopin

196 196 Scattering p-p. E presente sia linterazione coulombiana che forte. Espressione teorica di d /d per lo scattering p-p scattering Rutherford termine classico Rutherford termine di interferenza correzione per due particelle identiche Scattering Mott Termini di interferenza fra parte coulombiana e nucleare potenziale nucleare T= energia cinetica nel lab = angolo di scattering nel c.m.s. = (e 2 /4 ) -1 ( = v/c) 0 =spostamento di fase L = 0

197 197 I mesoni sono stati legati formati da un quark e un antiquark. Consideriamo i flavor di quark più leggeri u (up), d (down), s(strange) aventi carica elettrica Mesoni pseudoscalari Gli anti-quark hanno carica opposta Gli antiquark anti-up e anti-down formano un altro doppietto di isospin carica elettrica Il quark s ha isospin zero, ma possiede un numero quantico detto stranezza Come il protone e il neutrone, i quark up e down formano un doppietto di isospin 1/2

198 198 A grandi distanze linfluenza del campo è così debole che la funzione donda mantiene la sua forma originale salvo che per la comparsa dello spostamento di fase In particolare la funzione donda per L = 0 sarà data da e Poichè l + n producono lo stesso valore, la fase è determinata nellintervallo - /2,+ /2 o 0- Interpretazione degli spostamenti di fase

199 199 Nellapprossimazione più semplice consideriamo un range r 0 nullo. Allora Essendo (E = energia nel CMS) Ricaviamo Poichè lenergia cinetica del neutrone nel sistema del lab è T = 2E, otteniamo infine la sezione durto in funzione di T ~2.4 barn a bassissima energia T (MeV) barn) raggio del deutone = 4.3 fm


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