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1 Lemissione di raggi (radiazione elettromagnetica) si verifica quando un nucleo si forma in uno stato eccitato (ad es. dopo un decadimento o o dopo un.

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1 1 Lemissione di raggi (radiazione elettromagnetica) si verifica quando un nucleo si forma in uno stato eccitato (ad es. dopo un decadimento o o dopo un urto). La trattazione delle transizioni radiative nei nuclei è generalmente simile a quella per gli atomi, eccetto che Atomo E eV 10 8 fm 10 9 s -1. Solo le transizioni di dipolo sono importanti Nuclei E MeV 10 2 fm s -1. Sono importanti anche transizioni di ordine superiore. Il moto collettivo di. molti p porta a rate di transizione maggiori Decadimento Due tipi di transizioni: Transizioni elettriche (E): sono dovute da una carica oscillante che causa unoscillazione del campo elettrico esterno Transizioni magnetiche (M): sono dovute a una corrente o un momento magnetico variabile che causano un campo magnetico variabile

2 2 Nel caso più semplice, il fotone porta via il momento angolare L quando un protone di un nucleo fa una transizione dallo stato iniziale di momento angolare J i allo stato finale di momento angolare J f Il fotone ha J P =1 - L 1 Lemissione di un singolo è proibita fra due stati J = 0. Transizioni 0 0 possono verificarsi solo attraverso conversione interna o con lemissione di più di un Le probabilità di transizione sono ottenute utilizzando la regola doro di Fermi

3 3 Apriamo una parentesi...

4 4 Le equazioni di Maxwell sono Il campo elettromagnetico Introducendo il potenziale scalare e il potenziale vettore A, il campo elettrico e magnetico possono essere espressi come Queste non determinano i potenziali univocamente, poichè la trasformazione non cambiano E e B invarianza di gauge trasformazione di gauge

5 5 Riscriviamo le eqq. 1 e 2 in termini dei potenziali. Concentriamoci sulla 2. Usando la relazione possiamo riscrivere Linvarianza di gauge ci permette di fissare delle condizioni. Una conveniente è gauge di Coulomb

6 6 Consideriamo adesso il caso del campo libero, cioè assenza di cariche e correnti: = 0, j = 0. In assenza di cariche, eq. 1 diventa che ha come soluzione che si annulla allinfinito = 0. Eq. 2 diventa invece che è unequazione donda. Se assumiamo soluzioni del tipo la condizione fissata dal gauge di Coulomb implica che Quindi A è perpendicolare alla direzione di propagazione del vettore donda k onda trasversale

7 7 Supponiamo che il sistema sia racchiuso in una scatola di lato A. Abbiamo le condizioni di frontiera Le funzioni formano un insieme completo di vettori ortonormali trasversi. Possiamo quindi espandere A in serie di Fourier usando questi campi Questa forma assicura che A sia reale: A = A* Modi normali del campo di radiazione Coefficiente inserito solo per convenienza futura

8 8 Se sostituiamo questa espansione nellequazione donda di A troviamo che ciascun coefficiente a (k,t) soddisfa La soluzione di questa equazione può essere scritta come Se definiamo i vettori lespansione di Fourier assume la forma Questa può essere ulteriormente semplificata introducendo

9 9 Energia del campo elettromagnetico. Vogliamo calcolare lenergia totale del campo in termini di A(k), Per i campi elettrico e magnetico abbiamo Nei quadrati di queste somme, tutti i prodotti con k e k tali che k -k sono nulli nellintegrale perchè contengono termini del tipo Nei termini con k = - k gli esponenziali scompaiono per cui dalle condizioni di frontiera

10 10 Poichè abbiamo Torniamo ai vettori Troviamo che

11 11 Lhamiltoniana delloscillatore armonico classico Loscillatore armonico può essere fattorizzata nel modo seguente In meccanica quantistica dobbiamo fare attenzione allordine perchè x e p non commutano Di conseguenza

12 12 Introduciamo gli operatori Poichè lenergia del sistema è una grandezza definita positiva, segue che anche loperatore N = aa + è definito positivo. Quindi N possiede un autovalore minimo non negativo n 0 0. Dallequazione agli autovalori segue che possiamo riscrivere lhamiltoniana nella forma Quindi a|n> e a + |n> sono autostati di n corrispondenti a autovalori n e n + 1

13 13 Se n 0 è lautovalore minimo, allora Possiamo costruire lo stato |n> applicando ripetutamente a + sullo stato del vuoto Quindi gli autovalori di N sono gli interi n = 0, 1, 2, 3,... Se lo stato |n> è normalizzato a 1, allora anche |n 1> sono normalizzati se Queste sono dunque anche gli autostati dellhamiltoniana delloscillatore armonico con autovalori dellenergia Gli operatori a + / a sono detti di innalzamento/abbassamento o di creazione/distruzione

14 14 Evoluzione temporale. Abbiamo finora fissato il tempo (t = 0). Levoluzione temporale può essere seguita nella rappresentazione di Heisemberg (gli operatori sono funzione del tempo) da cui Confronto con lhamiltoniana del campo di radiazione: - Stessa forma di H (a parte un fattore costante) - Stessa equazione che governa levoluzione temporale dei termini a e a +

15 15 Lhamiltoniana del campo di radiazione è una sovrapposizione di oscillatori armonici. Introduciamo quindi le relazioni di commutazione Quantizzazione del campo di radiazione lhamiltoniana del campo di radiazione diventa Gli operatori N (k) = a + (k) a (k) hanno autovalori n (k) = 0, 1, 2,... e autostati Gli autostati e gli autovalori di H sono

16 16 Lenergia dello stato del vuoto |0> (lo stato in cui non ci sono fotoni) è Questa è però una costante additiva senza significato fisico che può essere eliminata traslando lo zero della scala dellenergia. Il potenziale vettore diventa ora un operatore contiene operatori di distruzione può diminuire il numero di fotoni contiene operatori di creazione può aumentare il numero di fotoni n (k) = numero di fotoni di polarizzazione e momento k. Poichè n (k) = 0, 1, 2,... i fotoni soddisfano la statistica di Bose-Einstein – sono bosoni

17 17 Chiusa parentesi...

18 18 Lhamiltoniana di una particella libera è descritta H = p 2 / 2m. Linterazione con la radiazione è descritta operando la sostituzione Interazione radiazione-materia Abbiamo Gauge di Coulomb Possiamo quindi decomporre H nella parte libera e in quella di interazione Termine lineare in A: descrive processi in cui è emesso o assorbito un fotone Termine quadratico in A: descrive processi in cui sono emessi o assorbiti due fotoni

19 19 In una transizione fra due stati atomici o nucleari un viene emesso o assorbito un fotone. Abbiamo gli stati iniziale e finale Transizioni radiative Abbiamo stato iniziale Dobbiamo quindi calcolare lelemento di matrice stato finale stato nucleare stato fotonico In H I contribuirà solo la parte di A contenente operatori di creazione, e solo il termine dellespansione k che conserva lenergia

20 20 Abbiamo quindi Aspetto interessante: fattore n (k) + 1 emissione stimolata – più fotoni ci sono nello stato finale maggiore è lemissione Emissione spontanea: n (k) = 0 nello stato iniziale Il rate di transizione è dato dalla regola doro di Fermi

21 21 Nellapprossimazione di dipolo si ha Giustificazione: valida se la lunghezza donda della radiazione = 2 / k > dimensioni lineari R del sistema, cosicchè Interazione di dipolo Per raggi emessi da nuclei abbiamo R fm. Inoltre, Quindi lapprossimazione di dipolo è valida per energie tipiche delle transizioni nucleari. Ora Usiamo lequazione del moto

22 22 Quindi La differenza di energia fra lo stato finale e iniziale è uguale allenergia del fotone emesso Arriviamo quindi al risultato Il rate di transizione è

23 23 Densità di stati finali. Il numero di stati fotonici nellintervallo (k, k + dk) è Poichè k = /c possiamo anche riscrivere La densità di stati è Il rate di transizione è quindi

24 24 Somma sugli stati di polarizzazione del fotone. Abbiamo I vettori 1 (k), 2 (k), e k formano un sistema ortonormale. Quindi = angolo fra r BA e k Quindi Otteniamo la probabilità di transizione totale integrando su tutte le direzioni

25 25 Rate di transizione totale Per stimare questo rate poniamo R = raggio nucleare Essendo E = h, Per E = 1 MeV, R = 5 fm, (per una transizione atomica abbiamo w 10 9 s -1 )

26 26 Il rate può essere convertito nellintensità della radiazione (potenza) moltiplicando per lenergia di un fotone Questa è la formula classica dellintensità emessa da un dipolo oscillante avente momento di dipolo illustrazione del principio di corrispondenza

27 27 Poichè le funzioni donda nucleari hanno parità definita, lelemento di matrice può essere non nullo solo se gli stati iniziale e finale hanno parità opposta Regole di selezione Transizione E1 la parità del nucleo cambia Supponiamo di avere uno stato iniziale e finale caratterizzati da numeri quantici n i, l i, m i, e n f, l f, m f (trascuriamo lo spin dei nucleoni). Lelemento di matrice ha la forma Concentriamoci sulla parte angolare. Abbiamo

28 28 Facendo uso di possiamo riscrivere Quindi lintegrale contiene termini del tipo Consideriamo prima lintegrazione azimutale, Questo porta quindi alla regola di selezione

29 29 Assumiamo che lasse z coincida con la direzione del vettore donda k. Allora z = 0 e m = ±1 cosicchè Se l f = m f = 0 allora m = -m i. Assumiamo ad esempio che polarizzazione del lungo z sia mi = 1. Allora m = -1 e il vettore di polarizzazione della radiazione è La conservazione del momento angolare richiede che esso sia portato via dal fotone. Quindi il suo spin deve essere allineato lungo la direzione z positiva deve avere elicità positiva Stato di polarizzazione circolare a sinistra=stato di elicità positiva Stato di polarizzazione circolare a destra=stato di elicità negativa

30 30 Lintegrazione in dà luogo a unaltra regola. Assumiamo il caso l f = 0. Poichè Y 0,0 =1 / (4 ) 1/2, abbiamo Quindi lo stato iniziale deve avere l i = 1. Transizioni 0 0 sono proibite. In generale vale la relazione (C sono detti coefficienti di Wigner) Sostituendo nella parte angolare dellampiezza otteniamo a meno che regola di selezione della radiazione di dipolo elettrico (non ci sono transizioni 0 0)

31 31 Se le regole di selezione proibiscono la transizione di dipolo A B, il processo di emissione può procedere attraverso termini di ordine superiore dellespansione Transizioni di ordine superiore Col secondo termine abbiamo, (=1, 2, 3) sono le componenti cartesiane dei vettori, k, r Lelemento di matrice può essere scritto come somma di una parte simmetrica e una antisimmetrica operatore momento angolare antisimmetrico interazione di dipolo magnetico operatore di quadrupolo elettrico interazione di quadrupolo elettrico

32 32 Interazione di dipolo magnetico: L z = r 1 p 2 – r 2 p 1 proporzionale al momento magnetico Interazione di dipolo magnetico generata dalle correnti elettriche dovute ai protoni Dobbiamo inoltre aggiungere il contributo dei momenti magnetici intrinseci. La componente z dellelemento di matrice contiene quindi loperatore Sotto parità il momento magnetico si trasforma come il momento angolare Transizione M1 non cambia la parità del nucleo

33 33 Tipicamente Possiamo quindi scrivere Nel caso di un protone la sua lunghezza donda Compton è Magnetone nucleare Assumendo R 5 fm, troviamo

34 34 Se gli stati nucleari iniziale e finale differiscono per più di una unità di momento angolare radiazione di multipolo di ordine superiore Classificazione Radiazione di multipolo Ciascun termine successivo in A è ridotto rispetto al precedente di un fattore kR. Per k 1 MeV, R 5 fm kR 5 MeV fm (5 MeV fm / hc). Quindi Dipolo E1 Dipolo M1 Quadrupolo E2 Quadrupolo M2 ottupolo E3

35 35 Lelemento di matrice di una transizione E2 va come r 2 pari sotto trasformazione di parità Abbiamo le regole di selezione della parità transizioni EL parità = (-1) L transizioni ML parità = (-1) L+1 In generale, un decadimento procederà in modo dominante dal processo di ordine più basso permesso dalla conservazione del momento angolare e della parità. Ad esempio, se un processo ha J = 2, la parità non varia, esso procederà via E2, anche se M3 e E4 sono pure permessi. e del momento angolare

36 36 Esempio: Informazioni sulla natura delle transizioni è molto utile per dedurre i valori J P degli stati. Anche gli effetti collettivi possono essere importanti: - molti nucleoni partecipano alle transizioni - Se un nucleo un grande valore di Q stati rotazionali eccitati favoriscono le transizioni E2

37 37 Generalizzazione dei risultati. I calcoli dettagliati danno dovute alle coordinate spaziali dovute al momento magnetico intrinseco Gli elementi di matrice elettrico e magnetico dovuti alle coordinate spaziali possono essere scritti in coordinate polari Ciascuna ampiezza è una somma di Z integrali ! I termini Q Lm, M Lm sono la somma di A integrali e contengono le matrici di Pauli.

38 38 Per fare una stima proviamo qualcosa di semplice. Consideriamo la transizione di un singolo protone Assumiamo che R nL sia costante da r = 0 a r = R. Poniamo Lintegrale radiale è quindi Lintegrazione della parte contenente le funzioni sferiche porta a un fattore S(J i,J f,L) che è dellordine dellunità modulo quadro dellampiezza normalizzazione della funzione donda

39 39 In modo analogo, per transizioni magnetiche si ha Procedendo in modo sistematico si ottengono le stime di Weisskopf Esse forniscono non tanto stime assolute dei rate. Sono utili per confronti relativi dei rate di transizione


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