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1 Lezione 18 Lagrangiane dei campi fondamentali Matrice S (cenni) Diagrammi di Feynman (cenni)

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Presentazione sul tema: "1 Lezione 18 Lagrangiane dei campi fondamentali Matrice S (cenni) Diagrammi di Feynman (cenni)"— Transcript della presentazione:

1 1 Lezione 18 Lagrangiane dei campi fondamentali Matrice S (cenni) Diagrammi di Feynman (cenni)

2 2 Matrice S (cenni) Prendiamo linterazione seguente: in cui le particelle 1 e 2 spariscono creando le particelle 3 e 4. La matrice S descrive la probabilità che tale interazione avvenga, connettendo lo stato iniziale di due particelle libere 1 e 2 allo stato finale di due particelle libere 3 e 4: = = Il diagramma di Feynman è un modo grafico di rappresentare un determinato processo e presenta al tempo stesso diversi vantaggi: 1) la visualizzazione grafica dellinterazione; 2) lassociazione rigorosa ad ogni elemento del grafico di una quantità matematica che consente di calcolare direttamente lampiezza di probabilità (gambe esterne = particelle iniziali e finali; vertici = costanti di accoppiamento; gambe interne = propagatori = particelle scambiate nellinterazione)

3 3 Regole per costruire un grafico di Feynman ELEMENTI FONDAMENTALI Spazio-tempo: ogni punto del foglio rappresenta un evento, cioè un puntodello spazio-tempo (tempo in ascissa e spazio in ordinata) tempo spazio xPxP tPtP P=(x P, t P ) Linee: uniscono tra loro punti dello spazio-tempo, rappresentano particelle reali o virtuali, possono essere bosoni o fermioni, esterne o interne Vertici: sono i punti dello spazio-tempo in cui avviene linterazione; in essi deve esserci conservazione di energia, impulso e carica elettrica e numero fermionico N.B. Poichè l'interazione minimale campo fermionico - campo e.m. è descritta dal termine visto prima, ciò significa che in un vertice potranno interagire due campi fermionici e un campo e.m. cioè due fermioni (o fermione-antifermione) e un fotone rispettando le suddette leggi di conservazione.

4 4 Linee esterne: rappresentano le particelle reali entranti e uscenti nella reazione, cioè le particelle rivelabili; se sono entranti, si propagano libere fino a un punto in cui avviene linterazione (vertice); se sono uscenti, si propagano a partire dal vertice in cui sono prodotte. Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) e+e+ e-e- vertice e-e- e+e+ Alla linea esterna è associato un operatore di creazione o distruzione di una particella (fermionica o bosonica) con un certo quadrimpulso.

5 5 Linee interne: rappresentano le particelle virtuali (cioè non rivelabili) che mediano linterazione; uniscono il vertice nel quale interagiscono le particelle iniziali e il vertice nel quale vengono prodotte le particelle finali. e+e+ e-e- e-e- e+e+ Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) Alla linea interna è associato unespressione matematica detta propagatore, che è caratteristica del tipo di particella scambiata (propagatore fermionico o bosonico).

6 6 Elettrone e positrone: sono rappresentati da linee orientate che rappresentano il verso di propagazione nel tempo. Se la freccia è orientata come la freccia del tempo, allora la linea rappresenta un elettrone, altrimenti rappresenta un positrone. Una freccia elettronica non può mai scomparire in un vertice: sarebbe come se scomparisse un unità di numero fermionico (ricorda che un elettrone non può scomparire). Pertanto in qualunque vertice deve esserci una continuità della freccia della linea fermionica. Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) e+e+ e-e-

7 7 Fotone: il fotone è rappresentato con una linea ondulata. Può essere una particella reale iniziale o finale oppure una particella virtuale mediatrice delle forze e.m. Nel grafico vediamo un fotone che parte dal punto x1 al tempo t1 e arriva nel punto x2 al tempo t2, cioè si propaga nello spazio- tempo dal punto (x1, t1) al punto (x2, t2). Regole per costruire un grafico di Feynman (continua)

8 8 Bosoni W ± e Z 0 : sono i mediatori delle interazioni deboli. Anchessi, come il fotone sono rappresentati da linee ondulate. Attenzione: mentre lo Z 0 si comporta esattamente come un fotone pesante, cioè lascia inalterata la carica elettrica della particella che lo emette, al contrario il W + o il W - si portano via ununità di carica elettrica (positiva o negativa). ( e ) e-e- Z0Z0 Z0Z0 W+W+ e e-e- e-e- Regole per costruire un grafico di Feynman (continua)

9 9 Prendiamo ad esempio un elettrone che emette un fotone per interagire con unaltra particella. Esso rimarrà sempre un elettrone. Pertanto nello spazio-tempo avremo una freccia che si propaga da sinistra verso destra. ee Prendiamo invece un annichilazione e + e - dalla quale viene prodotto un fotone. In tal caso avremo una freccia diretta verso i tempi crescenti (e - ) e una diretta verso i tempi decrescenti (e + ), in modo che nel vertice di emissione del fotone vi sarà continuità della freccia fermionica. e+e+ e-e- Regole per costruire un grafico di Feynman (continua) t

10 10 Prendiamo invece uninterazione tra un fotone e un elettrone, come avviene ad esempio nella diffusione Compton nella quale un fotone incide su un elettrone e ne viene assorbito. Anche in tal caso abbiamo continuità della linea fermionica nel vertice di interazione. e-e- e-e- Regole per costruire un grafico di Feynman (continua)

11 11 Vertice: il vertice rappresenta il punto dello spazio-tempo nel quale ha luogo linterazione. In esso convergono tre linee, di cui due rappresentano particelle reali e la terza rappresenta la particella virtuale che serve a mediare linterazione. Al vertice è associata una costante di accoppiamento che quantifica lintensità dellinterazione. Ad esempio, nel caso dellinterazione e.m. questa costante è = 1/137, la costante di struttura fine. e e Regole per costruire un grafico di Feynman (continua)

12 12 Con alcune semplici regolette è pertanto possibile calcolare lampiezza di probabilità di un processo, tracciando i diagrammi di Feynman attraverso cui si può realizzare tale processo e associando ai vari elementi del diagramma la loro espressione matematica. Vediamo qualche esempio di reazione. Regole per costruire un grafico di Feynman (continua)

13 13 Grafici di Feynman DIFFUSIONE COMPTON e e e-e- e-e- Un elettrone reale emette un fotone reale in P, trasformandosi in elettrone virtuale e quindi ridiventa reale assorbendo un fotone reale in Q. Questo se: P(x 1,t 1 ) Q(x 2,t 2 ) e-e- e-e- P(x 1,t 1 ) Q(x 2,t 2 ) t 2 > t 1 Altrimenti, un fotone reale emette un elettrone reale e un antielettrone virtuale in Q, e quest ultimo interagisce con un elettrone reale in P emettendo un fotone reale. Questo se: t 1 > t 2 t t

14 14 Grafici di Feynman (continua) DIFFUSIONE COMPTON (continua) e e In realtà la sezione durto della diffusione Compton sarà ottenuta integrando su tutto lo spazio-tempo, cioè eseguendo la trasformata di Fourier nello spazio degli impulsi e questo ci permetterà di usare il Formalismo degli operatori di creazione e distruzione. e-e- e k p p k p- k e p k k p k+p e

15 15 Grafici di Feynman (continua) DIFFUSIONE MØLLER ELETTRONE-ELETTRONE e - e - e - e - o e + e + e + e + e-e- p e-e- p k k e-e- e-e- Un elettrone reale di impulso p emette un fotone virtuale, trasformandosi in un elettrone reale di impulso p. Il fotone virtuale viene assorbito da un elettrone reale di impulso k che acquista limpulso k. ANNICHILAZIONE e + e - e + e - p k p k e+e+ e-e- e-e- e+e+ Un elettrone e un positrone reali si annichilano producendo un fotone virtuale, che si rimaterializza in un elettrone e in un positrone reali. k- k

16 16 Ricordiamo che avevamo così sviluppato i campi e : Pertanto il termine di interazione può essere così riscritto:

17 17 Ciascuno dei quattro termini della somma corrisponde ad una precisa situazione fisica:

18 18 In particolare avendo definito di indicare nello spazio degli impulsi l'emissione di un positrone a energia positiva come l'assorbimento di un elettrone a energia negativa, cioè: e+e+ = e-e- e+e+ = e-e- i quattro grafici di prima diventeranno:

19 19 SCATTERING MOLLER e - e - (o e + e + ) I processi del primo ordine (così detti perchè vi è solo un vertice di interazione) esaminati prima non possono mai verificarsi se le tre particelle coinvolte sono tutte e tre reali, in quanto non sono soddisfatte le leggi di conservazione di energia e impulso. Essi possono verificarsi solo se si combinano tra di loro o se il fotone emesso è virtuale in quanto viene poi riassorbito da un campo esterno (come ad esempio un nucleo). Un processo del secondo ordine (cioè con due vertici di interazione) è lo "scattering" (diffusione) Møller e - e - e - e - (si può avere anche lo scattering Møller e + e + e + e + ). Per l'indistinguibilità dei due fermioni, se p i e p i ' sono i quadri-impulsi delle particelle nello stato iniziale e p f e p f ' quelli dello stato finale, i due diagrammi che contribuiscono alla sezione d'urto di tale scattering sono i seguenti:

20 20 Limitiamoci al primo dei due diagrammi. Lo stato iniziale e lo stato finale sono composti da due fermioni, pertanto essi potranno essere espressi come: | I > = b (p i ) b (p i ') | 0 > | F > = b (p f ) b (p f ') | 0 > I vertici di interazione saranno due, uno localizzato nel punto x 1 dello spazio tempo e l'altro nel punto x 2, e l'interazione è descritta dai seguenti due termini della lagrangiana: N.B. In un prodotto di operatori si intende che tutti gli operatori di distruzione devono essere applicati a destra e quelli di costruzione devono essere applicati a sinistra. Il prodotto di operatori ordinati nel modo suddetto è detto "prodotto normale" ed è indicato così:

21 21 L'elemento di matrice sarà dato da: Nel prodotto di più campi fermionici, quando dobbiamo invertire due campi tra loro, poichè essi anticommutano, dobbiamo introdurre un segno negativo. Ade esempio nel prodotto di quattro campi fermionici (che è il nostro caso):

22 22 Pertanto l'elemento di matrice si ridurrà a: N.B. Il simbolo A A sta ad indicare il propagatore del fotone, un oggetto matematico che descrive la propagazione di un fotone virtuale da un vertice all' altro. Esso è dato da (non lo dimostriamo): x1x1 x2x2 Le relazioni di anticommutazione degli operatori b e d permettono di eliminare tutti i termini degli integrali che non abbiano p 1 = p f ', p 2 = p i ', p 3 = p f, p 4 = p i perchè deve essere:

23 23 Quadricorrente e.m. Propagatore del fotone Conservazione quadrimpulso totale Questa espressione deve essere integrata su tutto lo spazio-tempo:

24 24 In sintesi, nel grafico abbiamo sostituito al vertice superiore la quantità: al vertice inferiore la quantità: al propagatore del fotone la quantità: e abbiamo associato a ciascun vertice la costante di accoppiamento e.


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