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Strumentazione per bioimmagini Metodi di ricostruzione da proiezioni.

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Presentazione sul tema: "Strumentazione per bioimmagini Metodi di ricostruzione da proiezioni."— Transcript della presentazione:

1 Strumentazione per bioimmagini Metodi di ricostruzione da proiezioni

2 Ricostruzione 3D Una funzione 3D f(x,y,z) viene ricostruita a partire da un numero P di proiezioni 2D p(x,y|, ) Complessita teorica: ricostruire C=MxNxZ voxels occorrono P=C equazioni (es. risoluzione 200x200x200 voxel = 8 milioni di equazioni!!). Per ogni piano di scansione:

3 Coordinate cilindriche fascio parallelo e assenza di riflessioni (X-ray) riduzione della complessità stima di Z densita bidimensionali: riduzione a Z sistemi indipendenti di MxN equazioni d(x,y,z) p(x,y) y x piani paralleli non interferiscono p(x,y) e determinato solo dai voxel attraversati dal raggio incidente il sistema e separabile coordinate cilindriche r,,z fascio parallelo di illuminazione θ x y z r piano di proiezione

4 –TA realizza in hardware il sistema di coordinate cilindriche –proiezioni radiali bidimensionali: si puo usare la Radon Transform linea di proiezione fascio piano parallelo di illuminazione f(x,y|z) p θ,z (x) Tomografia assiale (TA)

5 Risoluzione del problema inverso Risolvere numericamente le equazioni algebriche direttamente: Computazionalmente oneroso Computazionalmente instabile al crescere delle equazioni Metodi alternativi: –Ricostruzione iterativa –Trasformata di Fourier –Retroproiezione –Retroproiezione filtrata

6 Ricostruzione iterativa Data una stima f*(x,y) di f(x,y) Si calcolano le proiezioni p* (x) Si calcola lerrore p (x)-p* (x) Si aggiorna f*(x,y) Data: proiezione a Stima della proiezione a da f*(x,y) Aggiornamento della stima f*(x,y)

7 Ricostruzione iterativa: schema a blocchi inizializzazione: f * (x,y)=0 dati: p θ (x) sottrai lerrore a tutti i pixel sulla linea di scansione f * (x,y) xcos(q)+ysin(q)=x nuova direzione di proiezione θ=θ k Calcola p* θ (x) dalla stima f*(x,y) e(x)

8 Ricostruzione iterativa:esempio f 1 =5 f 2 =7 f 3 =6f 4 =2 f(x,y)

9 Retroproiezione Da ogni proiezione sappiamo solo che dei punti che sommano alla misura della proiezione sono da qualche parte lungo la linea Le misure di ogni proiezione sono riproiettate indietro sulla linea da cui sono state ottenute, assegnando il valore misurato x y

10 Retroproiezione Retroproiezione a Ricostruzione a partire dalle retroproiezioni

11 Retroproiezione: risposta impulsiva Dato un impulso unitario nellorigine Risposta impulsiva

12 Retropriezione filtrata

13 Calcolo del filtro

14 Ricostruzione

15 Radon Transform: Retro-proiezione filtrata Proiezione di densita bidimensionali trasformata di Radon dalla trasformata Radon ricostruiamo la FFT polare della densita d(x,y) il reticolo polare non e uniforme trasformiamo in reticolo ortogonale (Jacobiano |w|) retroproiezione filtrata RT FT(1D) abs(P(w)| θ ) θ x w |w | w FT -1 p(x)|θ x

16 Ricostruzione da proiezioni in sintesi Il problema generale della ricostruzione da proiezioni e il problema inverso della proiezione di una distribuzione 3D su piani 2D. In generale, il problema e molto oneroso dal punto di vista computazionale Se il sistema di proiezione (problema diretto) segue una geometria cilindrica, il problema inverso 2D->3D diventa un piu semplice problema (1D->2D) x numero di piani sullasse z. Il problema 1D->2D puo essere risolto attraverso metodi diretti (es. ART). i metodi diretti hanno problemi di convergenza. Il problema 1D->2D e piu agevolmente risolto utilizzando la trasformata inversa di Radon (non disponibile nel problema 2D->3D), risolvibile con una IFFT (teorema della sezione centrale). Per ottenere un campionamento cartesiano uniforme dello spettro attraverso la RT occorre utilizzare un filtro di retro-proiezione. La geometria a ventaglio permette un notevole risparmio nella costruzione della TAC in quanto puo essere usata una sorgente compatta di radiazione piuttosto che un array lineare. La geometria a ventaglio richiede un filtro di retro-proiezione piu complesso.


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