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Diffrazione di Fraunhofer e di Fresnel La diffrazione si presenta quando unonda e.m. incontra unapertura od un ostacolo. Ad es. un foro circolare o rettangolare.

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1 Diffrazione di Fraunhofer e di Fresnel La diffrazione si presenta quando unonda e.m. incontra unapertura od un ostacolo. Ad es. un foro circolare o rettangolare in uno schermo opaco; un ostacolo: es. filo o un disco assorbente. Nello spazio dietro lostacolo vi è propagazione in direzioni diverse dallincidente e si originano differenze di percorso e interferenze tra onde con cammini diversi; linterferenza redistribuisce il flusso luminoso dando luogo a figure di diffrazione. Tali effetti sono tanto maggiori quanto le dimensioni delle aperture o degli ostacoli sono prossime alla lunghezza donda della radiazione. Nella fig. è mostrata la diffrazione prodotta su uno schermo C da un ostacolo con bordo netto: spigolo vivo; si vede che vi è luce anche nella zona di ombra geometrica e che nella parte illuminata lintensità presenta fluttuazioni (frange) i massimi delle quali superano il valor medio I 0 dellintensità luminosa uniforme (a grandi distanze dal bordo).

2 Nella fig. è mostrata la diffrazione di un disco opaco. Vi è un punto luminoso al centro e frange chiare e scure circolari analoghe a prima. Il punto chiaro appare a prima vista sorprendente ed infatti fu previsto da Fresnel e negato da Poisson; oggi si chiama punto chiaro di Poisson! Diffrazione di Fresnel: la sorgente S e lo schermo C a distanza finita dallapertura; i fronti donda non sono piani. E il caso di un ostacolo generico come quelli considerati. Diffrazione di Fraunhofer: la sorgente S e lo schermo C sono a grande distanza dallapertura; i fronti donda sono piani. Questa situazione è la più facile da trattare e la si realizza utilizzando lenti; L 1 trasforma londa sferica emessa da S in onda piana con fronte donda contenente lapertura. L 2 focalizza i raggi in P. Applichiamo il principio di Huyghens-Fresnel e con-

3 sideriamo i soli punti liberi quelli non interessati dallostacolo. Diffrazione da una fenditura rettilinea Una fenditura è costituita da un foro di larghezza a = AB e lunghezza L >> a su uno schermo opaco. La figura di diffrazione si osserva sul piano focale della lente di focale f. Sulla fenditura incide unonda piana di lunghezza donda. Suddividiamo la fenditura in N striscie di larghezza y. Ciascuna striscia funge da sorgente e contribuisce con lampiezza E al campo E R nel punto P corrispon- dente allangolo rispetto alla normale. I contributi E relativi a due striscie adiacenti hanno in P la differenza di fase: derivante dalla differenza di cammino y sin. Il calcolo di come varia E R in funzione di si farà dopo. Esaminiamo ora alcuni risultati ottenibili per similitudine con lesperienza di Young: nella direzione = 0 tutte le onde sono in fase: E R è max e così lintensità in O e vale I = (c 0 E R 2 )/2. Per un angolo generico la diff di fase tra londa emessa da B e quella emessa dal centro della fenditura distante a/2 da B

4 è: se questa diff è = : = ; a sin = le due onde in P sono in opposizione di fase e interferiscono distruttivamente. Pensando la fenditura divisa in due parti ad ogni sorgente della parte superiore ne corrisponde una nella parte inferiore in opposizione di fase. Il campo è nullo in P per dato dalla precedente. Se dividiamo la fenditura in 4 parti e ci poniamo allangolo tale che: a sin = 2 si ha la stessa situazione: la prima parte interf distruttivamente con la seconda, la terza con la quarta e lintensità è 0. Lo stesso se si divide in 6 parti e si pone: a sin = 3 La condizione generale per interf distruttiva è sin = m /a; m = 1, 2,.. La relazione fornisce le posizioni delle zone scure nella figura di diffrazione. Pertanto lintensità max al centro diminuisce fino ad annullarsi simmetricamente ai due lati per i valori di di sopra con m = 1. La grandezza (sin ) = 2 /a si chiama larghezza angolare del massimo centrale di diffrazione.

5 Tra il primo (m = 1) ed il secondo (m = 2) minimo ci deve essere un massimo che si chiama secondario (< intensità di quello centrale): sia per positivi che negativi. La figura mostra leffetto su uno schermo; è riportata anche la funzione I( ) che troveremo. Si vede che l80% della potenza è nel massimo centrale: esso rappresenta limmagine della fenditura.

6 Intensità della figura di diffrazione Utilizziamo il metodo dei fasori per calcolare E R. Gli N fasori rappresentano le ampiezze E delle singole sorgenti elementari in cui si è suddivisa la fenditura e costituiscono una polinomiale di N lati. Langolo tra un fasore ed il successivo è: la differenza tra londa emessa da B e da A è: pari allangolo tra il primo e lultimo fasore. Passiamo al limite y 0 N ; la poligonale diventa un arco di cerchio di raggio con angolo al centro. E R è pari alla corda che sottende larco: ; la lunghezza dellarco è E max = e corrisponde allampiezza max che si osserva al centro dello schermo quando = 0 e tutte le onde sono in fase. Da cui Ora lintensità è proporzionale al quadrato dellampiezza e vale: Questa funzione è mostrata in figura per i valori a =, 5, 10. Lintensità trasmessa dalla fenditura si annulla:

7 minimi di diffrazione per: i primi minimi a destra e sinistra del max centrale si hanno per sin = /a e permettono di definire: come larghezza angolare del massimo centrale di diffrazione. Per a >> il massimo è molto stretto e leffetto della diffrazione è trascurabile; il massimo si allarga se a diminuisce tendendo a. Per a = il primo ed unico minimo si forma a = 90 o e con a < tutto lo spazio al di là della fenditura è illuminato. Tra due minimi di intensità esiste un massimo secondario: la posizione è data dai massimi della funzione (sin 2 )/ 2. Si trova tg =, equazione trascendente che si risolve graficamente (a parte il caso =0). Peraltro risulta buona lapprossimazione di cercare il max di sin 2 ( a sin / ) ovvero quando: Lintensità dei massimi secondari risulta:

8 Nel primo massimo, m = 1, I 1 /I max = cioè lintensità è il 4.5% del massimo principale; per m = 2 I 2 /I max 0.016; per m = 3 I 3 /I max E da notare che si ha il massimo di ampiezza quando tutti i fasori sono disposti lungo una retta = 0; si ha invece E R = 0 quando i fasori si dispongono su una circonferenza per cui la differenza di fase tra gli estremi è: = 2m. Per λ « a la larghezza angolare del max centrale è: Δθ = 2λ/a e sul piano focale della lente Δx = fΔθ = 2fλ/a Diffrazione prodotta da unapertura e da un disco opaco Quando lapertura è circolare per ragioni di simmetria anche la figura di diffrazione è circolare: un disco centrale luminoso circondato da una serie di corone alternativamente chiare e scure. Il sistema presenta ana- logie con la figura di diffrazione di una fenditura anche se più complicato da trattare. Le frange si osservano in condizioni di Fraunhofer

9 Si trova che langolo a cui cade il primo minimo di intensità, corrispondente al bordo del massimo centrale è dato da: se D ed R sono il diametro ed il raggio dellapertura; si confronti con sin = /a per la direzione del primo minimo di una fenditura larga a. Landamento completo dellintensità è data in scala normalizzata in figura: I/I max in funzione di x = 2 R θ/λ. In molte applicazioni per la luce <

10 le cui dimensioni sono determinate dal rapporto f/D tra distanza focale e diametro (utile) della lente: d = 2 f = 2.44 λ f/D. Diffrazione da un disco opaco I risultati trovati per lapertura circolare di diametro D si applicano anche per un disco dello stesso diametro. Un principio dovuto a Babinet dice che con lesclusione della direzione = 0 la figura di diffrazione di Fraunhofer prodotta da un disco opaco di diametro D coincide con quella di un foro dello stesso diametro. Consideriamo unonda piana monocromatica che incide su unapertura G di diametro h >>. A grande distanza sullo schermo non si osserva diffrazione: Il campo E G e lintensità sono diversi da zero solo nella direzione = 0. Poniamo sullapertura G un disco opaco A di diametro h avente al centro un foro circolare di diametro D. In un punto P visto sotto langolo vi sarà il campo E A ( ) e lintensità I A ( ) propor a E A 2 ( ).

11 Se invece di A poniamo un disco opaco B di diametro D nello stesso punto P vi sarà il campo E B ( ) e lintensità I B ( ) propor a E B 2 ( ): la luce ora raggiunge lo schermo passando attraverso unapertura anulare compresa tra raggio D/2 e h/2. Le due aperture foro nel disco A e anello sono complementari ossia non hanno zone in comune; se sovrapponiamo i loro effetti è come se ci fosse solo lapertura G. Per cui: E G ( ) = E A ( ) + E B ( ); daltra parte E G ( ) = 0 per 0 per cui: E B ( ) = - E A ( ); I B ( ) = I A ( ) per 0. Questo risultato, principio di Babinet dice che, a parte la direzione = 0, la figura di diff prodotta da un foro di diametro D coincide con quella prodotta da un disco opaco dello stesso diametro. Il calcolo dellintensità nel punto P può essere fatto suddividendo il fronte donda piano che incide sul disco in tanti anelli circolari di area S che inviano in P contributi della stessa ampiezza ΔE. La risultante si calcola con il metodo dei fasori tenendo conto delle differenze di percorso. Il risultato mostra che il campo in P è sempre diverso da zero

12 Limite di risoluzione delle lenti La figura mostra due sorgenti puntiformi incoerenti S 1 ed S 2 lontane viste dalla lente sotto langolo ; se >> = 1.22 /D non vi è sovrapposizione tra i due dischetti che rappresentano le immagini di S 1 e S 2 : le due sorgenti appiano distinte o risolte. Al diminuire di le due figure di diffrazione si sovrappongono e le due immagini si fondono. Quando S 1 e S 2 sono viste dalla lente sotto langolo R = 1.22 /D il primo mini- mo della figura di diff di una sorgente coincide con il centro del max della seconda: le due sorgenti sono ap- pena risolte; criterio di Rayleigh. Langolo R = ango- lo minimo risolvibile; = 1/ R = D/(1.22 ): potere risolutivo o separatore della lente. La figura mostra i casi > R,curve risolte; = R, curve appena risolte; < R, curve non risolte. Tutti gli strumenti ottici, sia semplici o complessi come il telescopio, il microscopio e locchio hanno una lente di diametro D e focale f.

13 Un aspetto importante è la capacità di osservare come distinti due punti luminosi separati (es. due stelle o due porzioni di una piccola struttura). Da qui si vede che è la diffrazione (causa ineliminabile dovuta alla natura ondulatoria della luce) la causa limitante sempre presente anche quando le aberrazioni geometriche sono state perfettamente corrette. Potere separatore di un telescopio Si applica la formula della lente: esso non dipende dalla focale ma solo dallapertura D ob. ed aumenta al crescere di essa. Loculare non limita il fronte donda e quindi non ha effetto. Lo stesso avviene se si ha uno specchio invece di una lente. Uno dei più grandi telescopi è il Large Binocular Telescope (USA) costituito da due specchi identici. Ciascuno ha un diametro di 8 m; con = m: R = rad 0.016; = 1/ R = rad -1. Sia R che dipendono dalla lunghezza donda: le prestazioni sono peggiori con luce rossa e migliori con luce violetta. In realtà un telescopio non raggiunge tali valori essendo limitato sia dalle deformazioni costruttive o indotte dalla gravità sulla qualità della superficie e sopratutto dalleffetto della turbolenza dellatmosfera.

14 Questultimo effetto è dovuto alla variazione casuale dellindice di rifrazione dellaria a causa delle variazioni di densità della stessa. Potere separatore del microscopio In questo caso invece della separazione angolare è meglio parlare di distanza minima s di due punti distinti. I punti siano nel piano focale anteriore dellobiettivo e sono visti sotto langolo = s/f; se = R si ha: s = f R = 1.22 (f/D) = 0.61 (f/R); tale relazione si può scrivere in funzione dellangolo di accettanza dellobiettivo: sin = R/f per cui: in cui si è messo in evidenza lindice di rifrazione n del mezzo contenente loggetto. Il prodotto n sin = apertura numerica A n dello strumento. Si ha : potere risolutivo lineare; un valore possibile di A n = 1.4 e con = m, s = 0.22 m, ρ = m -1. Anche in questo caso le prestazioni migliorano in luce violetta rispetto a luce rossa. Inoltre è conveniente utilizzare un mezzo tra oggetto ed obiettivo con il più elevato valore di n (obiettivo ad immersione).

15 Potere risolutivo dellocchio (Acuità visiva) Il diametro della pupilla varia da D = 8 mm a D = 2 mm. Con = m si ha: rad < R < rad. Nel caso più sfavorevole D = 2 mm la distanza minima tra due punti distinguibili posti a L = 25 cm (distanza della visione distinta) è: s = L R = = 84 m. Con D = 8 mm si trova s = 21 m. Sperimentalmente si trova che il potere separatore è vicino a rad ed s = 75 m: locchio non arriva a s = 20 m: ciò è dovuto alla struttura granulare della retina; essa è costituita da coni e bastoncelli di dimensioni finite: due punti sono percepiti come distinti quando le rispettive immagini (dischi di diffrazione) cadono su elementi distinti del sensore; la situazione è analoga a quella di una camera fotografica con un sensore a matrice CCD. Non basta che siano separati i dischi di diffrazione: essi devono avere raggio almeno eguale alla distanza s tra elementi del sensore. In realtà per la visione distinta di due punti è necessario che le rispettive immagini cadano su due elementi non adiacenti del sensore.

16 Esempio Unonda luminosa con λ = 0.59 m attraversa una fenditura di larghezza a. La larghezza dellimmagine della fenditura, osservata sul piano focale di una lente di distanza focale f = 60 cm è: Δx = 7.5 mm. Calcolare a. Semilarghezza dellimmagine, distanza focale e angolo θ a cui si ha il primo minimo sono dati da: f tgθ = Δx/2 da cui tgθ = Pertanto tgθ θ = rad = 0.36 o ; con m = 1: λ/a = ; a = mm 159λ. E come se per effetto della diffrazione la fenditura fosse stata ingrandita di 7.5/0.094 = 80. Se volessimo a = Δx si avrebbe a 2 =2fλ e con i dati a = 0.84 mm: per tale valore di a pari a circa 1400 λ, limmagine è larga quanto la fenditura.

17 Esempio Una fenditura rettilinea larga a = 0.05 mm è illuminata con luce bianca nella quale sono presenti con la stessa intensità tutte le lunghezze donda dal rosso: λ R = 0.7 m al violetto λ V = 0.4 m. La figura di diffrazione si forma su di uno schermo posto nel piano focale di una lente con f = 50 cm. Calcolare la posizione dei minimi del rosso e del violetto e descrivere limmagine della fenditura osservata. Langolo a cui si forma il minimo per le due lunghezze donda è: sinθ V = λ V /a = rad θ V ; sinθ R = λ R /a = rad θ R ; sullo schermo corrispondono a: x V = f θ V = 4 mm; x R = f θ R = 7 mm. Nella figura sono rappresentate le due intensità. Il centro dellimmagine è bianco perché la posizione del massimo centrale non dipende dalla lunghezza donda; spostandosi dal centro si ha colorazione di sottrazione tipica dei fenomeni di interferenza e determinata dal fatto che in ogni punto vi è mancanza di alcuni colori e presenza più marcata di altri.

18 Esempio Lobiettivo di una macchina fotografica di apertura D = 2.5 cm e focale f = 5 cm è illuminato da una sorgente puntiforme lontana S che emette luce con λ = 0.55 m. Calcolare le dimensioni dellimmagine sul piano focale dellobiettivo. Siamo sicuramente con λ<< D: lapertura angolare 2θ dellimmagine vista dal centro della lente è: 2θ = 2.44 λ/D = rad. Limmagine di S è un dischetto di diametro d = 2 θ f = 2.44 λ f/D = 2.68 m. A causa della diffrazione il fuoco non è un punto geometrico ma acquista una dimensione piccola ma finita: in alcune applicazioni non trascurabile. La dimensione del dischetto è tanto più piccola quanto maggiore è il rapporto D/f (apertura relativa): nellesempio D/f = 1/2

19 Esempio Determinare quale è la distanza L dallocchio alla quale di notte appaiono distinti i fari di unautomobile separati tra loro di s =1.4 m. Assumiamo D = 2 mm e λ = 0.55 m. Per effetto della diffrazione langolo di risoluzione è: α R = mrad e quindi: L = s/α R = 4.17 km. Con il valore medio α R = rad risulta L = 3.5 km. Se invece fosse α R = rad ( limite per D = 8 mm) sarebbe L = 16.7 km: un valore certamente non corrispondente allesperienza.

20 Applicazioni alla fotolitografia La fotolitografia è una tecnica molto utilizzata per la produzione di circuiti stampati. Da un punto di vista ottico si proietta su un wafer ricoperto di materiale fotosensibile (fotoresist) limmagine del circuito che si vuole produrre codificato in una mask. Lesposizione del fotoresist provoca in questultimo delle variazioni chimico/fisiche (es. polimerizzazione) che consentono successivamente di sciogliere selettivamente le parti esposte (non esposte). Si viene così a creare nel wafer limmagine della mask. Come ogni sistema ottico anche il proiettore della fotolitografia è limitato nella sua risoluzione dalla diffrazione per cui vi sarà un limite alla finezza con cui si possono scrivere circuiti o parti di essi. Daltra parte negli ultimi decenni si è assistito ad una sempre crescente miniaturizzazione dei circuiti per cui vi è lesigenza di aumentare il più possibile la risoluzione dei sistemi fotolitografici.

21 Metodi usati: 1)Utilizzo di lunghezze donda sempre più corte: 254 nm (Lampade a Hg); 193 nm laser ad eccimeri; sviluppo di Extreme Ultraviolet Lithography: 13.5 nm 2)Utilizzo di un liquido tra lultima lente del proiettore ed il wafer: acqua n = 1.33; altri liquidi n ancora maggiore: Immersion lithography 3)Utilizzo di obiettivi di proiezione con il più elevato valore di apertura relativa: R/f (ma ha controindicazione sulla profondità di fuoco) 4)Utilizzo di photoresist con risposta non lineare (ad es. a soglia) allintensità di esposizione 5)Uso di phase shifting masks: PSM. La PSM introduce in modo selettivo nel percorso del fascio un ritardo di fase controllato in modo da alterare la posizione e lintensità dei massimi secondari di diffrazione

22 Esempio del funzionamento di una PSM: La figura mostra a sinistra limmagine di una mask contenente una serie di striscie linee metalliche e quindi opache. La parte destra mostra cosa succede quando si è sovrapposta una striscia trasparente che introduce una differenza di fase nel cammino ottico di π. Le parti chiare e scure si invertono. Lutilizzo sapiente di ritardi di fase qualunque può ad es spostare i massimi secondari di diffrazione o variare la forma del massimo principale. Una PSM può essere di due tipi: o a variazione di spessore ottico oppure utilizzare la variazione di trasparenza della mask stessa.

23 Esempio di PSM In questo modo a parità di λ è possibile aumentare la risoluzione e riuscire a scrivere strutture più piccole del limite dato dalla diffrazione


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