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Combinazioni di lenti Le proprietà della lente sottile sono fondamentali per la comprensione di sistemi ottici rifrattivi anche complessi. Oggi il calcolo.

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Presentazione sul tema: "Combinazioni di lenti Le proprietà della lente sottile sono fondamentali per la comprensione di sistemi ottici rifrattivi anche complessi. Oggi il calcolo."— Transcript della presentazione:

1 Combinazioni di lenti Le proprietà della lente sottile sono fondamentali per la comprensione di sistemi ottici rifrattivi anche complessi. Oggi il calcolo di tali sistemi si effettua con complessi ed efficacissimi sistemi di tracciamento di raggi che operano sui moderni PC (li tratteremo in seguito). E tuttavia fondamentale comprendere sia pure a grandi linee il funzionamento di essi basandoci sulle nozioni della lente singola sottile. Vediamo ora la combinazione di due lenti sottili.

2 Si abbiano L 1 ed L 2 separate da una distanza d piccola rispetto alle distanze focali di entrambe. Limmagine risultante può costruirsi graficamente. Trascuriamo per il momento L 2. L 1 forma unimmagine che si può trovare con i raggi 1 e 3. Tali raggi passano per i fuochi immagine ed oggetto di L 1 : F i1 e F o1. Siccome loggetto è perpendicolare allasse, lintersezione di tali raggi determina il punto estremo dellimmagine P 1 e lasse ottico laltro punto

3 Ora da P 1 si tracci indietro il raggio 2 passante per O 2. Linserimento della lente L 2 non ha alcun effetto sul raggio 2 mentre il raggio 3 è da essa portato a passare per il suo fuoco immagine F i2. Lintersezione dei raggi 2 e 3 determina la posizione dellimmagine: in questo caso reale, rimpicciolita ed invertita. Un altro caso è dato in figura in cui la distanza tra le due lenti è aumentata.

4 Nuovamente i raggi 1 e 3 passanti per F i1 e F o1 determinano la posizione dellimmagine formata dalla sola L 1. Si tracci indietro il raggio da O 2 e passante per P 1 fino a S 1. Lintersezione del raggio 2 e del raggio 3 portato dalla seconda lente L 2 sul suo fuoco F i2 determinano limmagine finale P 1. In questo caso reale e diritta. Si noti che se la lunghezza focale di L 2 viene aumentata, tutto il resto eguale limmagine si ingrandisce. Si ha: Questo è positivo e limmagine intermedia è a destra di L 1 se s o1 > f 1 e f 1 > 0. Per L 2 : s o2 = d – s i1 e se d > s i1 loggetto per L 2 è reale, mentre se d < s i1 è virtuale. Nel primo caso i raggi che arrivano su L 2 sono divergenti da P 1 mentre nel secondo sono convergenti verso esso. Inoltre:

5 Sostituendo si ha: Nello stesso modo si può calcolare il risultato per un numero di lenti qualunque. Sostituendo ora s i1 si ha: Qui s o1 e s i2 sono le distanze delloggetto e dellimmagine del sistema composto. Considerando ora che L 2 ingrandisce limmagine intermedia formata da L 1 lingrandimento totale del sistema è il prodotto degli ingrandimenti di ciascuna lente: M T = M T1 M T2. Con un calcolo semplice si vede che:

6 Casi particolari significativi di due lenti sono: d = f 1 + f 2 : fasci paralleli che entrano il sistema da ciascun lato escono paralleli: le due lenti sono confocali. d0 e cioè le due lenti sono a contatto: la lente sottile risultante ha una lunghezza focale effettiva: 1/f = 1/f 1 + 1/f 2 Se N lenti sono poste a contatto: 1/f = 1/f 1 +1/f 2 + … +1/f N purché siano rispettate le condizioni di lenti sottili!

7 Specchi sferici La trattazione degli specchi sferici segue lo stesso metodo utilizzato per i diottri sferici e le lenti sottili. Lequazione che regola le proprietà ottiche dello specchio sferico si ricava con laiuto della figura. Siccome θ i = θ r CA è la bisettrice dellangolo SAP per cui divide il lato SP del triangolo SAP in parti proporzionali agli altri due lati. Per cui: SC/SA = CP/PA. Inoltre: SC = s o - ׀R׀ e CP = ׀R׀ – s i ; s o ed s i essendo a sinistra sono positive. Usando la stessa convenzione dei segni che per il diottro sferico R è negativo perché C è a sinistra di V. Per cui ׀R׀ = - R e: SC = s o + R; CP = -(s i + R). Limitandoci alle condizioni parassiali SA ~ s o, PA ~ s i e lequazione diventa:

8 che è la formula dello specchio sferico. Essa si applica sia per specchi concavi (R 0). Come per le lenti il fuoco oggetto è definito: e quello immagine: per cui ed infine: f è positivo per specchi concavi (R<0) negativo per specchi convessi (R>0).

9 Le proprietà ottiche di uno specchio sferico assomigliano molto a quelle delle lenti sottili: entro la limitazione parassiale fasci di raggi paralleli di varia inclinazione rispetto allasse ottico sono focalizzati su un punto del piano focale, piano perpendicolare allasse ottico per F. Similmente un oggetto piano perpendicolare allasse ottico sarà immaginato in un simile piano: ogni punto di esso avrà un corrispondente punto immagine. Questo è vero per uno specchio piano e solo approssimativamente per uno specchio sferico. In questo caso se lo specchio lavora a piccola apertura le onde riflesse provenienti da ogni

10 punto delloggetto saranno sferiche con buona approssimazione. In queste condizioni si ha la formazione di buone immagini di oggetti estesi. Nel caso degli specchi il punto immagine si trova su una retta partente dal punto stesso e passante per il centro di curvatura C (nelle lenti era il centro O della lente). La posizione dellimmagine si determina in modo simile alle lenti. La parte superiore dellimmagine si colloca allintersezione di due raggi: uno che parte parallelo allasse ottico ed è riflesso passante per F, e laltro che passa indeviato per C.

11 Nella figura precedente i triangoli S 1 S 2 V e P 1 P 2 V sono simili: i loro lati proporzionali. Prendendo y i negativo perché sta sotto lasse ottico si ha: y i /y o = - s i /s o = M T lingrandimento trasversale. Lunica grandezza che contiene la particolarità dellelemento ottico (n,R) è f e quindi differisce tra specchio sferico e lente. Tutte le altre espressioni che legano s o, s i ed f o y o, y i e M T sono eguali. La tabella mostra la convenzione per i segni dello specchio sferico: s i a sinistra di V E facile da disegnare anche il raggio che parte da ciascun punto oggetto, cade in V e viene riflesso con lo stesso angolo. Lo stesso anche per il raggio che passa per il fuoco ed è riflesso parallelo allasse.

12 è ora positivo (differenza con la lente). Le proprietà di formazione delle immagini riassunte in Tabella sono

13 mostrate in figura.

14 Specchi piani Per uso domestico essi sono costruiti con lo strato riflettente dietro la superficie di una lastra piana per protezione. Gli specchi per impiego tecnico-scientifico sono invece tutti ricoperti sulla faccia anteriore. Con le nozioni precedenti è facile stabilire le proprietà di formazione delle immagini di uno specchio piano. Si vede che ׀s i ׀= ׀s o ׀cioè oggetto S ed immagine P sono equidistanti dalla superficie. Si ha che θ i = θ r ; ma θ i +θ r è angolo esterno al triangolo SPA. Ma langolo in S di VSA è pure θ i per cui anche langolo in P di APV è θ i Ne risulta che i due triangoli VSA e VPA sono eguali.

15 Per quanto riguarda la convenzione dei segni bisogna notare che ora limmagine virtuale è a destra della superficie. Losservatore vede P come posto dietro lo specchio: i raggi da P sono chiaramente divergenti e limmagine è virtuale. Ricordando la convenzione per gli specchi ora s o è positivo ed s i è negativo. In questo caso lingrandimento trasversale M T = +1 e cioè limmagine ha la stessa grandezza delloggetto ed è virtuale e diritta.

16 Dalla figura precedente si vede che un oggetto esteso a distanza (in perpendicolare) s i dallo specchio viene immaginato punto a punto alla stessa distanza dietro. Ricordando la formazione dellimmagine della lente sottile (ad es. di una mano) si vedono le differenze: la lente forma limmagine di una mano (sinistra) magari distorta perché M T M L ma ancora sinistra ruotata attorno allasse ottico di 180 o. Invece lo specchio forma limmagine della mano sinistra come destra: il cambiamento di un sistema di coordinate cartesiane destrorso in sinistrorso prende il nome di inversione.

17 Nel caso di più specchi piani si possono avere sistemi con numero pari o dispari di inversioni: nel caso pari un sistema destrorso rimane destrorso mentre nel caso dispari diventa sinistrorso.

18 Vi sono molti sistemi che utilizzano specchi piani rotanti: deflettori di fascio, rotatori dimmagine ecc. Inoltre specchi piani sono utilizzati per esaltare piccole rotazioni di alcuni strumenti come ad es. galvanometri o bilance a torsione. Dalla figura si vede che se lo specchio ruota dellangolo α il raggio riflesso (o limmagine) ruota di 2α.


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