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BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 3. Filtro di Kalman Caso scalare MODELLO DEL SEGNALE: Processo autoregressivo del primo ordine EQUAZIONE DI MISURA STIMATORE.

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1 BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 3

2 Filtro di Kalman Caso scalare MODELLO DEL SEGNALE: Processo autoregressivo del primo ordine EQUAZIONE DI MISURA STIMATORE w(k-1)x(k) T a c v(k) y(k)

3 Filtro di Kalman Caso scalare A(k) e B(k) si trovano minimizzando lerrore quadratico medio. Equazioni di Ortogonalita: Lerrore è ortogonale alla stima al passo precedente e alle misure.

4 Filtro di Kalman Caso scalare RELAZIONE FRA A(k) e B(k)

5 Filtro di Kalman Caso scalare La stima può quindi essere scritta: PREDIZIONECORREZIONE Tale stima consta della somma di due termini: il primo rappresenta la predizione in base alla stima al passo precedente, il secondo è la differenza, pesata con il coefficiente B(k) (GUADAGNO DI KALMAN), fra la misura in k e la migliore predizione della misura in base alla stima al passo precedente.

6 Filtro di Kalman Caso scalare Si deve ora trovare unespressione recorsiva per B(k). Questa può essere ottenuta con il seguente procedimento:

7 Filtro di Kalman Caso scalare

8 Le equazioni del filtro diventano quindi:

9 Filtro di Kalman vettoriale Nel caso in cui: x:vettore (nx1), u:vettore (qx1), y:vettore (1xr), A: matrice (nxn), B:matrice (nxq), C:matrice (rxn) le equazioni del filtro di Kalman diventano: Stimatore x*= Ax*(k-1) + K(k)[y(k) – CAx*(k-1)] Guadagno del filtro K(k) = P 1 (k)C T [C P 1 (k)C T + R(k)] –1 dove P 1 (k) = AP(k-1)A T + Q(k-1) R(k) e Q(k) sono rispettivamente le matrici di covarianza dellerrore di misura v e del rumore additivo presente nellequazione del modello w Matrice di covarianza dellerrore P(k) = P 1 (k) – K(k)C P 1 (k)


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