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Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione 4 Formulazioni e Formulazioni Ottime Prof. Carlo Mannino Prof. Antonio Sassano Dipartimento di Informatica.

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1 Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione 4 Formulazioni e Formulazioni Ottime Prof. Carlo Mannino Prof. Antonio Sassano Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma La Sapienza A.A

2 Formulazione Lineare min c x : x S Problema di PL01: P = {x R n : Ax < b} POLIEDRO con ( A R mn, b R m ) P è una FORMULAZIONE di SP {0,1} n =S Un poliedro P è una formulazione se e solo se - contiene tutti i vettori di S - non contiene alcun vettore di {0,1} n - S Posso avere infinite formulazioni dello stesso problema di PL01

3 Lower Bounds (approssimazioni inferiori) min c x: x S Problema di PL01: P è una FORMULAZIONE di SP {0,1} n =S LB(P) z* min c x: x S min c x: x P {0,1} n = c x* = z* min c x: x P LB(P) LB(P) z* Problema di PL (Rilassamento Lineare) Valore della Soluzione Ottima del Problema di PL01 LB(P)Lower Bound per z*

4 Lower Bound = Certificato di Qualità min c x: x S Problema di PL01: LB(P) min c x: x S = z* Calcolare z* è (di solito) difficile Calcolare LB(P) è facile (Simplesso) Se conosciamo una soluzione ammissibile x ° S ( di valore z °= c T x ° ) LB(P) fornisce una certificazione di qualità per x °. LB(P) z° z* gap LB(P) z* gap z° x°x° c T x decrescente gap nullo x° ottimo per PL01

5 Lower Bounds... riassumendo min c x: x S Problema di PL01: Come classificarle (e sceglierle) ? LB(P) min c x: x S = z* piccolo gap = buona qualità di x° Calcolare z* è difficile Calcolare LB(P) è facile (Problema di Programmazione Lineare) Trovare una soluzione x° S è (di solito) facile (Euristiche) Il gap dipende dalla formulazione P Il gap c T x° - LB(P) certifica la qualità di x° gap nullo = x° ottimo per PL01 S ammette molte formulazioni alternative

6 Criteri di qualità delle Formulazioni (1) CRITERIO 1: P 1 migliore di P 2 LB( P 1 ) > LB(P 2 ) Problema: Dipendenza dalla funzione obiettivo No. disequazioni di Ax LB(P 2 ) P1 P2 cTxcTx dTxdTx LB(P 2 ) > LB(P 1 ) P 1 migliore di P 2 Se utilizzo c T x P 2 migliore di P 1 Se utilizzo d T x Qualità = piccolo gap = massimo lower bound

7 Criteri di qualità delle Formulazioni (2) CRITERIO 2: P 1 migliore di P 2 LB( P 1 ) > LB(P 2 ) per ogni c R n P S =conv(S) P formulazione P di S Equivalente a: CRITERIO 3: P 1 migliore di P 2 P 1 P 2 Formulazione ottima Il criterio di qualità deve essere indipendente dalla funzione obiettivo (che non è prevedibile a priori) Esiste una formulazione contenuta in ogni altra ?

8 Formulazione Ottima z*= min c T x : x S Problema di PL01: P S =Conv(S) = {x R n : Ax < b} POLIEDRO ( A R mn, b R m ) z*=min c T x : x S min c T x: x Ext(P S ) min c T x : x P S LB(P S )= c T x ° S insieme dei vertici di P S (S = Ext(P S )) Ogni disequazione di Ax < b definisce una faccia massimale di P S (... se dim (P S )=n) z*= LB(P S ) = c T x ° (gap=0) x ° Ext(P S )=S x° soluzione ottima del rilassamento lineare c T x ° = z* c T x x S x° soluzione ottima del PL01

9 Rilassamenti di P S (I) Disponiamo di una descrizione (esplicita) di: P S = {x R n : Ax

10 Esempio di P S S= { y {0,1} 5 : 7y 1 + 6y 2 + 5y 3 + 3y 4 + 2y 5 11 } P S ={ y R 5 : Ay 0 5 } y 1 + y 2 1 y 1 + y 3 1 y 1 + y 4 + y 5 2 y 1 + y 2 + y 3 + y 4 2 y 1 + y 2 + y 3 + y 5 2 3y 1 + 2y 2 + 2y 3 + y 4 + y y 1,…, y 5 0 Regola di costruzione di un tipo di riga di A: Se la somma dei coefficienti di k variabili è maggiore di 11 allora al più k-1 di esse possono essere poste ad 1. Famiglia di disequazioni di P S y 1 + y 2 1 y 1 + y 3 1 y 1 + y 4 + y 5 2

11 Rilassamenti di P S (II) Non disponiamo di una descrizione di P S per ogni problema di PL01. Disponiamo di Rilassamenti di P S, ovvero : Ciascun rilassamento produce un lower bound di z* : LB(P) = min c x: x P z* 1.Il poliedro P è una formulazione di S 2.Il sistema Dx < d è costituito da alcune famiglie di disequazioni appartenenti al sistema Ax < b. Poliedri P = {x R n : Dx < d } ) con le seguenti proprietà:

12 Esempio: Problema di Decisione (II) Due progetti A e B Vantaggi c A e c B associati Vincolo: risorse utilizzate < D =10 Risorse necessarie d A =5 e d B =7 x S = min c A x A + c B x B Verifica: P N {0,1} 2 =S a) x S x P N ( S P N {0,1} 2 ) b) x P N {0,1} 2 x S ( P N {0,1} 2 S ) vincoli di box min c A x A + c B x B 5x A + 7x B < 10 1>x A, x B >0 x P N = Formulazione Naturale: xAxA xBxB PNPN

13 Vincolo logico: uno solo dei due progetti può essere attivato PSPS Esempio: Problema di Decisione (III) xBxB Formulazione Naturale: min -5/3 x A - 11 x B 5x A + 7x B < 10 1>x A, x B >0 x P N = PNPN xAxA Formulazione Ottima: min -5/3x A - 11 x B x A + x B < 1 1>x A, x B >0 x P S =

14 Esempio: Sottografo s-t Connesso di Peso Minimo Grafo G(V,E) con due nodi speciali s e t: t 3 s c 1t =2 c s3 =2 c t4 =3 Pesi c uv per ogni uv Trovare il sottoinsieme di archi F* di peso minimo che contiene un cammino tra s e t: Sottografo s-t Connesso di Peso Minimo c uv uv F Peso di un insieme F : c(F) = c uv > 0 F* insieme degli archi di un cammino

15 Esempio: Grafo s-t Connesso di Peso Minimo (II) S = vetttori di incidenza di un sottografo s-t connesso Formulazione ? min c x: x S 0,1 E Problema di PL01: Quali condizioni deve soddisfare un vettore x 0,1 E per essere il vettore di incidenza di un sottografo s-t connesso ? t 3 s

16 Taglio s-t Insieme di archi K la cui rimozione distrugge tutti i cammini da s a t t 3 s t X s s 2 3 XsXs X s = nodi connessi ad s (X s, X s ) partizione di V 4 1 t XsXs X s = nodi non connessi ad s K

17 s X s ; t X t ; s X t ; t X s Ogni Taglio s-t contiene arco di F F non è s-t connesso (X s, X t ) partizione di V Nessun arco di F da X s a X t Archi da X s a X t definiscono un taglio s-t contraddizione F non contiene gli archi di un cammino s-t X s = nodi connessi ad s con archi di F s XsXs X t = nodi non connessi ad s con archi di F t XtXt Teorema (4.1): (caratterizzazione dei grafi s-t connessi) Un insieme di archi F è un sottografo s-t connesso se e solo se F ha intersezione non vuota con ogni taglio s-t. Solo se F s-t connesso F contiene s-t cammino P K taglio s-t K P K F Se (per assurdo) ma

18 Formulazione: Grafo s-t Connesso di Peso Minimo (Ogni taglio s-t contiene archi di F ) x S K F taglio s-t K t 3 s K (x F ) T ( x K ) 1 taglio s-t K x F S (x ) T ( x K ) 1 x e x K e 1 e E x e 1 e K x F S Se considero i vettori di incidenza Es. taglio s-t K (vettore di incidenza sottografo s-t connesso F)

19 e min cx x e 1 K taglio s-t 1 x e e E x P= Formulazione: Grafo s-t Connesso di Peso Minimo P è una Formulazione (formulazione ottima) Come risolvere il problema di PL? Quindi: x S x e 1 per ogni taglio s-t K e Ogni taglio s-t contiene un arco di F x F S Il numero di disequazioni (vincoli) è enorme (|V|= ) METODO DEL SIMPLESSO DINAMICO


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