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Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 9 Formulazione Cover - Separazione ANTONIO SASSANO Università di RomaLa Sapienza Dipartimento di Informatica.

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1 Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 9 Formulazione Cover - Separazione ANTONIO SASSANO Università di RomaLa Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma,

2 Formulazione Alternativa (Cover) x i i C J + x i < |C|-1-|C J - | i C J - - per ogni C C a i,b i Pi=Pi= x R n : P 0 ={x R n : Ax x > 0 n } Formulazione Naturale C a i,b i = insieme dei cover del knapsack a T x

3 Esempio: Formulazione cover del knapsack max 3x 1 +2x 2 +5x 3 +6x 4 2x 1 +2x 2 +3x 3 - 4x 4 < 2 x {0,1} 4 max 3z 1 +2z 2 +5z 3 -6y z 1 +2z 2 +3z 3 + 4y 4 < 6 x {0,1} 4 trasformazione in knapsack con coefficienti positivi { 3,4},{ 1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,3,4}, {1,2,3,4} Cover:

4 { 3,4},{ 1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,3,4}, {1,2,3,4} Cover: max 3z 1 +2z 2 + 5z 3 -6y 4 +6 (z,y) {0,1} 4 z 1 +z 2 +z 3 < 2 z 1 +z 2 +y 4 < 2 z 1 +z 3 +y 4 < 2 z 2 +z 3 +y 4 < 2 z 3 +y 4 < 1 2z 1 +2z 2 +3z 3 + 4y 4 < 6 max 3x 1 +2x 2 + 5x 3 +6x 4 x {0,1} 4 x 1 +x 2 +x 3 < 2 x 1 +x 2 - x 4 < 2-1 < 1 x 1 +x 3 - x 4 < 2-1 < 1 x 2 +x 3 - x 4 < 2-1 < 1 x 3 - x 4 < 1-1<0 2x 1 +2x 2 +3x 3 - 4x 4 < 2

5 Oracolo di Separazione delle Disequazioni Cover x i i C J + x i < |C|-1-|C J - | i C J - - per ogni C C a i,b i Pi=Pi= x R n : C a i,b i = insieme dei cover del knapsack a T x |C|-1-|C J - | i C J + ^^

6 Oracolo di Separazione delle Disequazioni Cover u {0,1} n vettore di incidenza di un cover C i C J - x i x i > |C|-1-|C J - | i C J + ^ ^ u i x i u i x i > u i -1- u i ^ ^ i J + i J - i N i J - u i x i u i x i > u i -1 ^ ^ i J + i J - i J + Disequazione associata a C violata La disequazione associata ad un cover C è violata da x se e solo se il vettore di incidenza di C soddisfa la disequazione precedente. ^ ^ i J + ( x i -1)u i x i u i > -1 ^ i J -

7 C è un cover del knapsack a i T x b k J - + a k u k k J + a k u k > b+1 k J - + a k k C J + a k > b k C J - + knapsack a coefficienti positivi

8 Oracolo di Separazione delle Disequazioni Cover (III) Abbiamo dunque: a k u k k J + a k u k > b+1 k J - + u {0,1} n vettore di incidenza di un cover C se e solo se: B ^ i J + ( x i -1)u i x i u i > -1 ^ i J - A La disequazione associata ad un cover C è violata da x se e solo se il vettore di incidenza di C soddisfa la disequazione: ^ ^ i J + ( x i -1)u i x i u i > -1 ^ i J - a k u k k J + a k u k > b+1 k J - + Come trovare il vettore u ? La disequazione associata ad un cover C è violata da x se e solo se un vettore u {0,1} n soddisfa le disequazioni: ^ u è il vettore di incidenza del cover violato C

9 Oracolo di Separazione delle Disequazioni Cover (IV) u* soluzione ottima z(u) ^ i J + ( x i -1)u i x i u i > -1 ^ i J - a k u k k J + a k u k > b+1 k J - + u {0,1} n A ^ i J + ( x i -1)u i x i u i ^ i J - max a k u k k J + a k u k > b i +1 k J - + u {0,1} n u ammissibile z(u) < z(u*)< -1 Se z(u*)<-1 Se z(u*)>-1 Non esiste un vettore u che soddisfa le condizioni A u* vettore di incidenza di un cover violato da x ^ Nessun cover è violato da x ^

10 ^ i J + ( x i -1)u i x i u i ^ i J - z(u*)=max a k u k k J + a k u k > b+1 k J - + u {0,1} n x i i C J + x i < |C|-1-|C J - | i C J - - per ogni C C a i,b i Pi=Pi= x R n : Se z(u*)<-1 x P i ^ u* vettore di incidenza di un cover violato da x ^ Se z(u*)>-1 x P i ^ x R n ^ Oracolo di Separazione per P i

11 u+ vettore di incidenza di un cover violato da x ^ Se z(u+)>-1 x P i ^ x R n ^ Oracolo di Separazione Approssimato per P i Se z( u°) <-1 z(u*)< z LP <-1 x P i ^ u° soluzione ottima del rilassamento u+ arrotondamento allintero superiore della soluzione ottima del rilassamento ^ i J + ( x i -1)u i x i u i ^ i J - z(u*)=max a k u k k J + a k u k > b+1 k J - + u {0,1} n z( u°) 1 n > u > 0 n

12 P C = P i i=1 T Poliedro definito dalle (sole) disequazioni cover Oracolo di Separazione per P C x R n ^ i:=i i=T ? ^ x P i i:=i+1 NO SI ^ x P C ^ x P i i C J - x i x i > |C|-1-|C J - | i C J + ^^ ^ x P C Oracolo Esatto di Separazione di P i

13 Oracolo di Separazione di P C x* ottima (in Q) x* P C x* ottima Q= P= D=A ; d=b Metodo del Simplesso min c T x x Q = Dx x > 0 n x* P C Nuova D e nuovo d D d aiTaiT bibi Aggiunta del vincolo cover violato A b Disequazioni cover Problema core (form. Naturale) P= P i i=0 T Soluzione del Rilassamento della Formulazione Cover

14 Esempio: Formulazione cover del knapsack max 3x 1 +7x 2 +3x 3 +5x 4 +7x 5 x {0,1} 5 2x 1 -3x 2 -4x 3 +3x 4 +5x 5 < 5 x 1 +4x 2 -3x 3 +3x 4 +4x 5 < > x > 0 5 Soluzione ottima del rilassamento: x* 1 =x* 2 =x* 3 =1; x* 4 =0; x* 5 =3/4 z*= z 1 +3y 2 +4y 3 +3z 4 +5z 5 < 12 knapsack a coefficienti positivi La trasformazione non puo essere effettuata su tutto il sistema ! Esaminiamo (e trasformiamo) un knapsack alla volta e ai soli fini dellindividuazione di vincoli cover violati

15 Oracolo Approssimato: max (x* 1 -1) u 1 - x* 2 u 2 - x* 3 u 3 + (x* 4 -1) u 4 + (x* 5 -1) u 5 Soluzione ottima del rilassamento: x* 1 =x* 2 =x* 3 =1; x* 4 =0; x* 5 =3/4 z*= z 1 +3y 2 +4y 3 +3z 4 +5z 5 < 12 knapsack a coefficienti positivi Soluzione: u ° 1 =u ° 5 =u ° 3 =1; u ° 2 =2/3; u ° 4 =0 z(u ° )=-2/3-1-1/4=-23/12<-1 Nessun cover violato i J + ( x* i -1)u i x* i u i i J - z(u*)=max a k u k k J + a k u k > b+1 k J n > u > 0 n = max - u 2 - u 3 - u 4 -1/4 u 5 2u 1 +3u 2 +4u 3 +3u 4 +5u 5 > > u > 0 5

16 Esempio: Formulazione cover del knapsack max 3x 1 +7x 2 +3x 3 +5x 4 +7x 5 x {0,1} 5 2x 1 -3x 2 -4x 3 +3x 4 +5x 5 < 5 x 1 +4x 2 -3x 3 +3x 4 +4x 5 < > x > 0 5 Soluzione ottima del rilassamento: x* 1 =x* 2 =x* 3 =1; x* 4 =0; x* 5 =3/4 z*=18.25 z 1 +4z 2 +3y 3 +3z 4 +4z 5 < 8 knapsack a coefficienti positivi

17 Oracolo Approssimato: max (x* 1 -1) u 1 +( x* 2 -1)u 2 - x* 3 u 3 + (x* 4 -1) u 4 + (x* 5 -1) u 5 Soluzione ottima del rilassamento: x* 1 =x* 2 =x* 3 =1; x* 4 =0; x* 5 =3/4 z*=18.25 z 1 +4z 2 +3y 3 +3z 4 +4z 5 < 8 knapsack a coefficienti positivi Soluzione: u ° 1 = u ° 2 = u ° 5 =1; u ° 3 = u ° 4 = 0 z(u ° )=-1/4>-1 x 1 +x 2 +x 5 < 2 Cover violato i J + ( x* i -1)u i x* i u i i J - z(u*)=max a k u k k J + a k u k > b+1 k J n > u > 0 n = max - u 3 - u 4 -1/4 u 5 u 1 +4u 2 +3u 3 +3u 4 +4u 5 > > u > 0 5

18 Esempio: Formulazione cover del knapsack x {0,1} 5 max 3x 1 +7x 2 +3x 3 +5x 4 +7x 5 2x 1 -3x 2 -4x 3 +3x 4 +5x 5 < 5 x 1 +4x 2 -3x 3 +3x 4 +4x 5 < > x > 0 5 Soluzione ottima del rilassamento: x* 1 =x* 2 =x* 3 = x* 4 =1; x* 5 =0; z*=18 x 1 +x 2 +x 5 < 2 Soluzione ottima del problema intero


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