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1 Le ombre del sole (2) Modellizzazione matematica di un fenomeno naturale Rossella Garuti.

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1 1 Le ombre del sole (2) Modellizzazione matematica di un fenomeno naturale Rossella Garuti

2 2 Il problema del lampione Il lampione del parcheggio è altissimo, non possiamo misurarlo direttamente. Come fare per sapere quanto è alto?

3 3 Caratteristiche del problema problema verbale senza dati numerici confronto oggetto-ombra proiettata referente geometrico

4 4 Soluzioni geometriche Parallelismo dei raggi del sole La prof o un altro oggetto non tanto alto, ad esempio i paletti della recinzione si mettono di fianco al lampione, poi si misura laltezza delloggetto e la lunghezza della sua ombra e lombra del lampione. Si riportano le misure in scala sul quaderno, si traccia il raggio che parte dalla punta delloggetto alla fine della sua ombra. Infine traccio un raggio parallelo a questo che parte dalla fine dellombra del lampione e arriva in un punto che sarà lestremità del lampione. Misuro e poi moltiplico per la scala di riduzione e trovo laltezza del lampione.

5 5 Ampiezza dellangolo Si misura un oggetto e la sua ombra e si riportano in scala sul foglio, si misura langolo e sotto si traccia un altro raggio con la stessa inclinazione. Poi si traccia lombra del lampione in scala che parta dalla fine del raggio. Si trova così laltezza del lampione, si moltiplica per la scala e si trova laltezza del lampione

6 6 Soluzioni aritmetiche: conflitto fra modello additivo e modello moltiplicativo Prendo un bastone e misuro lui e la sua ombra, poi calcolo la differenza fra i due. Infine misuro lombra del lampione e a questa sottraggo la differenza di prima strategia additiva pura attenzione al pezzo in più dellombra modello geometrico della similitudine

7 7 Misuro il paletto della recinzione e la sua ombra. Poi divido lombra per il paletto e trovo quante volte il paletto sta nella sua ombra. Infine misuro lombra del lampione e la divido per il risultato di prima e trovo la lunghezza del lampione ombra più lunga delloggetto strategia moltiplicativa pura conflitto su dividere per il numero di volte modello geometrico della similitudine

8 8 Misuro un metro nel palo e lo segno e misuro nellombra dove arriva questo segno, trovo così quanto è lombra di un metro di lampione. Misuro la lunghezza totale dellombra e la divido per quella del metro dellombra. Così trovo in veri metri quanto è alto il lampione unità di misura metro-ombra strategia moltiplicativa modello geometrico del parallelismo

9 9 Strategia intermedia ponte fra additivo e moltiplicativo Paletto 3 m Ombra paletto 5 m 5-3=2 Ombra lampione 3 volte ombra paletto 5X3 =15 ombra lampione 3X2= =9 lunghezza lampione Classe III media In II proporzioni e similitudini Livello alto Matematica: ottimo

10 10 Strategia intermedia modello moltiplicativo connesso a considerazioni di tipo additivo Cè una differenza fra il paletto e la sua ombra e tra il lampione e la sua ombra, ma la differenza non è la stessa perché il lampione è più lungo del paletto. Se voglio rendere uguale il lampione alla sua ombra, devo togliere una maggior differenza rispetto al caso del paletto. Misuro a occhio quante volte il paletto sta nel lampione e tolgo dallombra del lampione laltra differenza, tante volte quante il paletto sta nel lampione. Così lombra e il lampione sono uguali e io posso misurare lombra del lampione.

11 11 Qual è il modello sottostante al problema del lampione? Talete ( Mileto 626 ca ca. a.C.), Se un fascio di rette parallele è intersecato da due trasversali, a segmenti uguali sull'una corrispondono segmenti uguali sull'altra (Teorema di Talete)

12 12 In terra dEgitto, Talete sbalordisce tutti, agrimensori, sacerdoti e il re: misura la piramide, la tomba del re. Il successo è pieno e totale e Plutarco così lo riporta: " [Il re] è rimasto singolarmente ben impressionato dal modo in cui hai misurato la piramide, [...], limitandoti a collocare il tuo bastone al limite dellombra proiettata dalla piramide stessa; formatisi, al contatto col sole, due triangoli, dimostrasti che la proporzione esistente fra la lunghezza del bastone e laltezza della piramide era la stessa che intercorreva fra la lunghezza delle due ombre. Ciò nonostante.... ti si muove laccusa davere in odio i re".

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14 14 Altri problemi 1. La statua greca In un recente scavo archeologico in Calabria sono stati ritrovati i resti di una statua greca, probabilmente di un guerriero. Lunica parte intatta della statua è un piede che misura in lunghezza 76 cm. Vorremmo stabilire quanto era alta approssimativamente questa statua. Conosciamo le misure del David di Michelangelo ( piede 54 cm, altezza 432 cm)

15 15 Caratteristiche del problema referente geometrico parti proporzionali di uno stesso oggetto

16 16 Il problema dei due chiodi Il disegno rappresenta dallalto, le ombre prodotte da un chiodo posto in A, lungo 8cm. In B è piantato un chiodo lungo 6 cm. Pensi di poter disegnare con precisione, stabilendo la misura e la posizione, le ombre del chiodo piantato in B?

17 17 Caratteristiche del problema dati numerici espliciti rapporto decimale lunghezza incognita minore di quella nota referente geometrico

18 18 La strategia building-up Calcolo quante volte il chiodo sta nella sua ombra 19:8= 2,3 un po più del doppio Il chiodo in B è 6 e allora 6+6+2= 14 ombra del secondo chiodo confronto ombra-chiodo blocco sul rapporto decimale

19 19 Strategia chiodo-chiodo Calcolo quante volte il chiodo piccolo sta nel grande 8:6=1,3 Divido lombra questo numero 19: 1,3= Calcolo il rapporto fra i due chiodi 6:8= 0,7 Moltiplico lombra per questo rapporto 19X0,7=

20 20 Strategie moltiplicative Per ogni problema posto è possibile costruire due tipi di rapporto Invarianti di similitudine Quando esprimono lidea di trasformazione regolare da un oggetto allaltro Invarianti di forma Quando esprimono lidea di equilibrio interno alloggetto

21 21 La scelta di una strategia o dellaltra dipende dal CONTESTO e dalla GRANDEZZA RELATIVA degli oggetti LUOGO: parcheggio del Torrenova vicino ad un alto lampione stradale. Il parcheggio è cementato ed è un giorno pieno di sole. Classe IV° elementare Ins. Come potremmo misurare laltezza del lampione? Michele: io propongo di dividere per due la misura dellombra del lampione che, siccome è più lunga, e si vede, si ottiene circa la misura vera del lampione. Francesco: molto circa, perché lombra non mi sembra il doppio del lampione, è solo un po più lunga. Discussione

22 22 Costanza: prendiamo uno di noi e lo misuriamo realmente, poi mettiamo il bambino vicino al lampione e misuriamo la sua ombra. Che proporzione cè tra il bambino e la sua ombra? Quante volte Alessandro sta nella sua ombra? Allo stesso modo ci dobbiamo chiedere: quante volte il lampione sta nella sua ombra. Praticamente i centimetri dellombra diviso i centimetri dellaltezza di Alessandro. Poi i centimetri dellombra del lampione diviso il numero ottenuto prima che danno come risultato laltezza del lampione. Francesco: Il mio ragionamento è lo stesso di Costanza, ma io farei la misura dellombra del lampione diviso la misura dellombra di Alessandro. Il risultato lo moltiplicherei per laltezza reale di Alessandro

23 23 Costanza: tu in questo modo prendi dei dati diversi. Io credo che bisogna stare attenti. Non so se è la stessa cosa. Lombra di Alessandro e laltezza di Alessandro appartengono ad un unico oggetto come pure lombra del lampione e laltezza del lampione. Non so se si possono mischiare ombra e ombra e oggetto e oggetto. Io credo di poter dire quasi sicuramente che laltezza di Alessandro sta nella sua ombra come laltezza del lampione sta nella sua ombra, perché il sole si comporta nello stesso modo: è uno solo! Francesca : Io farei in un altro modo. Misurerei lombra delloggetto e poi loggetto. Poi sottraggo le due misure e vedrei di quanto in più è lunga lombra. Lo stesso pezzo si toglie dallombra dellaltro oggetto e si vede di quanto è alto. Francesco: Io non sono daccordo perché non cè rapporto

24 24 Sara: Io sì. Fare la differenza si capisce bene e poi si vede di quanto è più lungo Costanza: per me è sbagliato. Sembra che vada bene, ma non ci sono le proporzioni. Francesca prendi lombra di una margherita. Fai la differenza e vedrai che sarà di pochissimi centimetri. Se togli quei centimetri allombra del lampione ottieni una misura quasi uguale a quella dellombra, ma non è certo laltezza del lampione si mantiene la semantica del ragionamento proporzionale

25 25 …non sempre il modello funziona! Francesca ha 1 anno ed è alta 52 cm. Quanto sarà alta fra un anno? Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 7 di più. Fra quanti anni Marco avrà il doppio degli anni di Paolo? Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 8. Quando Paolo avrà il doppio degli anni, quanti ne avrà Marco?


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