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STATISTICA a.a. 2002-2003 –METODO DEI MINIMI QUADRATI –REGRESSIONE –CORRELAZIONE.

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Presentazione sul tema: "STATISTICA a.a. 2002-2003 –METODO DEI MINIMI QUADRATI –REGRESSIONE –CORRELAZIONE."— Transcript della presentazione:

1 STATISTICA a.a –METODO DEI MINIMI QUADRATI –REGRESSIONE –CORRELAZIONE

2 RELAZIONE FRA VARIABILI –Spesso si vuole trovare la relazione che lega due o più variabili (es. la pressione di un gas dipende da temperatura e volume) –Vogliamo esprimere questa relazione in forma matematica

3 INTERPOLAZIONE –Dobbiamo raccogliere dati che mostrino valori corrispondenti delle variabili –Riportiamo i punti (X i,Y i ) delle due variabili su un sistema di coordinate –Vogliamo individuare una curva (relazione non lineare) o una retta interpolante

4 INTERPOLAZIONE –Il tipo più semplice è la retta Y = a 0 + a 1 X –Dati due punti qualsiasi (X 1 Y 1 ) e (X 2 Y 2 ), vogliamo determinare a 0 e a 1.

5 INTERPOLAZIONE

6 coefficiente angolare e Y per X=0 (ordinata allorigine).

7 METODO DEI MINIMI QUADRATI

8 Chiamiamo D n la deviazione (o errore) fra il valore Y n e il corrispondente valore della curva (positiva o negativa) Una misura della bontà dellinterpolazione è la somma D D 2 2 …..+ D n 2

9 METODO DEI MINIMI QUADRATI La curva avente la proprietà che D D 2 2 …..+ D n 2 è minima è detta migliore interpolante o retta/curva dei minimi quadrati.

10 METODO DEI MINIMI QUADRATI La retta dei minimi quadrati può essere espressa nella forma Y = a 0 + a 1 X dove a 0 e a 1 si trovano risolvendo il sistema Y = a 0 N+ a 1 X XY = a 0 X+ a 1 X 2 equazioni normali della retta dei minimi quadrati.

11 METODO DEI MINIMI QUADRATI Si ottiene

12 METODO DEI MINIMI QUADRATI La prima delle due equazioni si ottiene dalla sommatoria di entrambi i membri di Y = a 0 + a 1 X, la seconda moltiplicando i membri per X e poi facendo la sommatoria. –Per derivare le equazioni si minimizzano le derivate della retta

13 METODO DEI MINIMI QUADRATI Y 1 = a 0 + a 1 X 1 Y 2 = a 0 + a 1 X 2 …. S=(a 0 + a 1 X 2 -Y 1 ) 2 +(a 0 + a 1 X 2 – Y 2 ) 2 +…. + (a 0 + a 1 X n - Y n ) 2

14 LA REGRESSIONE Vogliamo stimare il valore di una variabile Y corrispondente a un dato valore di una variabile X. Si può ottenere questo stimando il valore di Y per mezzo di una curva dei minimi quadrati che interpoli i dati campionari. Questa è detta CURVA DI REGRESSIONE di X su Y. Se X è il tempo (variabile indipendente) i dati indicano i valori di Y in diversi tempi e vengono detti SERIE TEMPORALE. La retta/curva di regressione è detta retta/curva del trend e viene usata per scopi di previsione.

15 CORRELAZIONE E REGRESSIONE La correlazione indica il grado di relazione fra le variabili. Cercheremo di determinare quanto bene unequazione spiega tale relazione Se tutti i valori delle variabili soddisfano esattamente unequazione diciamo che le variabili sono perfettamente correlate (esempio: raggio e circonferenza; altezza e peso saranno in parte correlate).

16 CORRELAZIONE E REGRESSIONE Date due variabili X e Y costruiamo un diagramma di dispersione con i loro valori. Se tutti i punti giacciono più o meno su una retta, la correlazione è detta lineare e la relazione fra le variabili sarà retta da unequazione lineare.

17 CORRELAZIONE E REGRESSIONE Se Y cresce al crescere di X la correlazione è positiva o diretta:

18 CORRELAZIONE E REGRESSIONE Se Y decresce al crescere di X, la correlazione è detta negativa o inversa: Se i punti stanno su una curva, la correlazione è non lineare.

19 CORRELAZIONE E REGRESSIONE Se non cè relazione fra le variabili diciamo che sono incorrelate:

20 CORRELAZIONE E REGRESSIONE (1)Y = a 0 + a 1 X Può essere riscritta come dove

21 CORRELAZIONE E REGRESSIONE –Chiamiamo Y stim i valori di Y per dati valori di X secondo una stima compiuta per mezzo della (1). –Una misura della dispersione intorno alla retta di regressione di Y su X è oppure errore standard della stima

22 CORRELAZIONE E REGRESSIONE –Il denominatore può anche essere posto a N-2. –Lerrore standard della stima ha proprietà analoghe a quelle dello scarto quadratico medio.

23 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE –Chiamiamo devianza totale di Y la somma dei quadrati degli scarti dei valori di Y dalla media Y¯. –Si può anche scrivere devianza totale devianza residua devianza spiegata

24 COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE –Se la devianza spiegata è zero (ossia la devianza totale equivale alla residua), r 2 =0 –Se la devianza residua è uguale a zero, cioè devianza totale = devianza spiegata, r 2 =1 –Dunque r 2 è sempre positiva e varia fra 0 e 1.

25 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE –Allora definiamo r coefficiente di correlazione

26 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE r varia fra +1 e –1 (+ o – a seconda di correlazione positiva o negativa). –Poiché allora

27 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE –Si dimostra che dove

28 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE che dà automaticamente il segno di r. –Si può riscriverla come


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