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Automazione Industriale Scheduling Flow-Shop and Job-Shop a.a. 2005/2006 Ing. M. Ciavotta Dipartimento di Elettrotecnica.

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1 Automazione Industriale Scheduling Flow-Shop and Job-Shop a.a. 2005/2006 Ing. M. Ciavotta Dipartimento di Elettrotecnica ed Elettronica del Politecnico di Bari

2 2 Sommario Introduzione (Flow-Shop Vs Job-Shop) Risultati sul Flow-Shop Johnsons algorithm per F2//F max Johnsons algorithm per J2//F max Johnsons algorithm per un caso speciale di F3//F max Metodo grafico di Akers per F/2 job/F max Grafo disgiuntivo Euristica di Shifting bottleneck per il job-shop Tabu search Genetic Algorithms

3 3 Introduzione Analisi complessità Problemi Facili Problemi Difficili Rilassamenti Algoritmi esatti e euristici Algoritmi approssimati

4 4 Introduzione Scheduling di un certo numero di macchine, situazione maggiormente aderente alla realtà. Considereremo il caso di job che vengono processati dalle stesse macchine nella stessa sequenza. Considereremo il caso di job che vengono processati dalle stesse macchine ma ognuno ha una propria sequenza dovuta a motivi tecnologici Casi più complessi non possono essere risolti da algoritmi costruttivi. (euristiche e metaeuristiche)

5 5 Introduzione Algoritmi costruttivi Con il termine Algoritmi costruttivi si intende un particolare insieme di algoritmi che costruiscono una soluzione ottimale per un certo problema utilizzando un semplice insieme di regole capace di generare lordine di processamento ideale per ciascuna macchina.

6 6 Introduzione Nel caso di scheduling di macchina singola sono stati individuati diversi algoritmi di tipo costruttivo. Non si è così fortunati nel caso di Flow-shop o Job-shop. Esistono comunque dei casi fortunati in cui le macchine da gestire sono 2 o 3 al massimo. Altri algoritmi costruttivi esistono per alcuni casi speciali di certi problemi.

7 7 Risultati sul Flow-Shop Nel flow shop i vincoli di tipo tecnologico impongono ai job di essere processati dalla stessa sequenza di macchine ma in generale ogni macchina può processare sequenze diverse di job. M1M1 M2M2 t t

8 8 Risultati sul Flow-Shop JobOrdine di processamento J 1 M 1 M 2 M 3 …M m J 2 M 1 M 2 M 3 …M m J 3 M 1 M 2 M 3 …M m J 4 M 1 M 2 M 3 …M m … J n M 1 M 2 M 3 …M m

9 9 Risultati sul Flow-Shop Teorema 1 Per il problema F//B con B indice di prestazione regolare è sufficiente considerare le schedule che hanno lo stesso ordine di processamento sulle prime due macchine.

10 10 Risultati sul Flow-Shop Dim. Consideriamo una schedula S. I I t t S K K M1M1 M2M2 Se in M 1 invertiamo lordine di I e K non ho ritardato lo starting time di nessun job in M 2 e quindi nessun indice regolare può aumentare KI

11 11 Risultati sul Flow-Shop Teorema 2 Per il problema F//F max è sufficiente considerare le schedule che hanno lo stesso ordine di processamento sulle macchine M m-1 e M m.

12 12 Risultati sul Flow-Shop Dim. Consideriamo una schedula S. I I t t S K K M m-1 MmMm KI Se in M m invertiamo lordine di I e K non ho aumentato C max e quindi F max non può aumentare.

13 13 Risultati sul Flow-Shop Osservazioni Le dimostrazioni sembrano molto simili ma in realtà sono differenti per: La funzione obiettivo La macchina scelta per linversione dei job (prima macchina Vs ultima macchina). Sulle permutazioni delle altre macchine dalla M 3 alla M m-2 non possiamo dire niente.

14 14 Johnsons algorithm per F2//F max Idee di base Due macchine con la medesima permutazione di job (vedi teorema 1) Schedulare per primi i job con tempo di processamento sulla prima macchina minore. Schedulare per ultimi i job con tempo di processamento sulla seconda macchina minore. Vogliamo ridurre i tempi di inattività delle macchine

15 15 Johnsons algorithm per F2//F max Algoritmo 1. K=0, L=n, J={J 1, J 2, J 3 … J n } 2. a i =min{a x J}, a x = p x1 ; b i =min{b x J}, b x = p x2 3. Se a k b k schedulo J k in k-esima posizione e K = k-1, altrimenti schedulo J k in L-esima posizione e L=L-1; J = J-{J k } 4. Se J Ø torno a 1) altrimenti termino

16 16 F2//F max esercizio Utilizzare lalgoritmo di johnson per F2//F max JobProcessing times M1M1 M2M

17 17 Johnsons algorithm per J2//F max Eliminiamo lassunzione che ogni job debba essere eseguito su tutte le macchine, otteniamo 4 insiemi di job: A) Job che devono essere processati solo da M 1 B) Job che devono essere processati solo da M 2 C) Job da processare prima su M 1 e poi su M 2 D) Job da processare prima su M 2 e poi su M 1

18 18 Johnsons algorithm per J2//F maxAlgoritmo: 1) Schedulare i job di A in qualsiasi ordine S A 2) Schedulare i job di B in qualsiasi ordine S B 3) Schedulare in job di C secondo lalgoritmo di Johnson S C 4) Schedulare in job di C secondo lalgoritmo di Johnson a macchine invertite S D 5) Usare per la prima macchina la sequenza: S C, S A, S D 6) Usare per la seconda macchina la sequenza: S D, S B, S C

19 19 Johnsons algorithm per J2//F max Osservazioni: 1) La schedula in M 1 comincia con S c e termina con S D e la schedula di M 2 comincia con S D e termina con S C in modo da sfruttare al meglio i path incrociati dei job e non fare attendere nessuna macchina. 2) Le schedule S A, e S B sono generiche perché riguardano solo una macchina e le permutazioni sono equivalenti per C max

20 20 J2//F max esercizio Risolvere con Johnson il seguente problema J2//F max : jobProcessing order and times Prima macchinaSeconda macchina 1M1M1 8M2M2 2 2M1M1 7M2M2 5 3M1M1 9M2M2 8 4M1M1 4M2M2 7 5M2M2 6M1M1 4 6M2M2 5M1M1 3 7M1M1 9_ 8M2M2 1_ 9M2M2 5_

21 21 Johnsons algorithm per un caso speciale di F3//F max Lalgoritmo di johnson può essere esteso al caso di tre macchine in serie se sono verificate entrambe le seguenti condizioni: 1. 2.

22 22 Johnsons algorithm per un caso speciale di F3//F max Sotto tali condizioni si può dimostrare che il problema è equivalente a quello di due macchine in serie con i seguenti processing time: 1) a i = p i1 + p i2 2) b i = p i2 + p i3 A questo punto si applica lalgoritmo di johnson classico e si ottiene una permutazione che è la soluzione del problema.

23 23 F3//F max esercizio Risolvere F3//F max JobActual Proc. timesCalc. Proc. times M1M1 M2M2 M3M3 1 macch.2 macch =4+14= =6+211= =3+13= =5+310= =8+28= =4+12=1+1

24 24 Metodo grafico di Akers per F/2 job/F max Il problema consiste nello schedulare 2 job su m macchine secondo un modello flow-shop. Lordine di processamento può variare, non è permutation scheduling. Il problema è difficile e non esiste un metodo costruttivo. Questo è un metodo grafico che permette di aiutare le decisioni umane sullo scheduling.

25 25 Metodo grafico di Akers per F/2 job/F max M1M1 M2M2 M3M3 M4M4 M5M5 M6M6 Job 1 Job 2 p 11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 21 p 22 p 23 p 24 p 25 p 26 o x Obiettivo: raggiungere x da o Utilizzando segmenti verticali, Orizzontali e obliqui a 45° tratti orizzontali il job 1 viene processato da solo. tratti verticali il job 2 viene processato da solo. tratti obliqui il job 1 viene processato con il job 2 su due macchine distinte.

26 26 Metodo grafico di Akers per F/2 job/F max M1M1 M2M2 M3M3 M4M4 M5M5 M6M6 Job 1 Job 2 p 11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 21 p 22 p 23 p 24 p 25 p 26 o x F max = Σp 1i +Σ tratti verticali O equivalentemente F max = Σp 2i +Σ tratti orizzontali Le schedule possibili sono 2 m

27 27 Grafo disgiuntivo Strumento di rappresentazione delle soluzioni per il job-shop o flow-shop. Grafo con mxn+2 nodi, n sono i job ed m i task per ogni job. 2 nodi sono fittizi e sono detti sorgente e pozzo. Gli archi tra i task di uno stesso job sono orizzontali e vengono detti archi di job. Gli archi tra task dello stesso tipo definiscono la sequenza dei task su di una macchina e vengono detti archi di macchina o archi disgiuntivi.

28 28 Grafo disgiuntivo Teorema Associando ad ogni nodo il tempo di processamento del task a cui si riferisce possiamo calcolare, una volta stabilito un sequenziamento, il makespan come peso del cammino di peso massimo dalla sorgente al pozzo.

29 29 Grafo disgiuntivo S P

30 30 Grafo disgiuntivo Osservazione: Per il problema di Flow-shop gli archi disgiuntivi possono essere solo verticali e quindi non possono determinare dei cicli, quindi tutte le soluzioni ottenute scegliendo un particolare sequeziamento su ciascuna macchina sono ammissibili. Nel job-shop possono invece determinarsi dei cicli e quindi soluzioni non ammissibili.

31 31 Grafo disgiuntivo R B -R C -R D -R A S B -S C -S A -S D M C -M B -M A -M D G D - G A - G C - G B A B C D Cè un ciclo di Dipendenze!! S P

32 32 Grafo disgiuntivo R A -R D -R C -R B S B -S C -S A -S D M C -M B -M A -M D G D - G A - G B - G C A B C D S P

33 33 Shifting bottleneck Il problema del job-shop è considerato uno dei problemi più difficili. Non esistono algoritmi costruttivi che permettano di risolverlo. Vengono spesso utilizzati algoritmi euristici o metaeuristici e tra questi lo shifting bottleneck. Questa euristica restituisce soluzioni ammissibili di alta qualità.

34 34 Shifting bottleneck Euristica che tenta di risolvere il prolema J//C max Lidea base è quella di individuare i sequenziamenti su ciascuna macchina considerando di volta in volta quella che risulta essere più critica delle altre. Si riduce il problema grande in una serie di problemi più piccoli e semplici.

35 35 Shifting bottleneck Si costruisce il grafo disgiuntivo privo degli archi disgiuntivi e si calcola il percorso critico. Per ogni macchina ed ogni task si calcola la finestra temporale che non fa aumentare C max. Se x è il valore del percorso massimo fino al nodo [i,j] il job non potrà cominciare prima di x-p ij mentre se y è la lunghezza del percorso massimo da [i,j] al pozzo e C max (M 0 ) è il makespan, il job non potrà terminare dopo C max (M 0 ) – y senza incrementare il makespan.

36 36 Shifting bottleneck Per ogni macchina ho quindi un problema di tipo °/r i, d i /L max da risolvere. La macchina che ha L max più alto è il collo di bottiglia e va schedulata per prima. Si dimostra che gli archi ottenuti dalla soluzione di tali problemi non determinano cicli. Sfortunatamente il problema °/r i, d i /L max non è un problema semplice da risolvere.

37 37 Shifting bottleneck °/r i, d i /L max è comunque più facile da affrontare perché si ha a che fare con una macchina singola ed il numero dei task da schedulare su di una macchina è in genere pari al numero di job e quindi molto più piccolo di m x n che è la dimensione del problema di job-shop. Tali problemi possono essere affrontati in maniera euristica, cercando di individuarne una soluzione di buona qualità.

38 38 Tabu Search Metaeuristica: al di là dellesperienza. Framework o schema o filosofia con cui affrontare un problema di scheduling. Miglioramento della ricerca locale che spesso risulta miope e si blocca in ottimi locali spesso molto distanti da quello globale. Consiste essenzialmente di una ricerca locale con memoria.

39 39 Tabu Search Per sfuggire agli ottimi locali è necessario permettere alla ricerca di considerare anche mosse peggiorative. Bisogna inoltre ricordarsi di quali mosse sono state fatte per evitare di tornare nello stesso minimo locale. La struttura che rappresenta la memoria è laTabu List che non è altro che una coda FIFO di una certa lunghezza in cui vengono memorizzate le mosse vietate.

40 40 Tabu Search Ad ogni passo la mossa eseguita (o meglio il suo contrario) viene aggiunto alla tabu list mentre la mossa da più tempo vietata viene eliminata. Questa tecnica ha dato ottimi risultati quando applicata a problemi di Job-shop ideale e vincolato. Come per la Local Search è necessario definire un Intorno che deve avere la proprietà di connessione.

41 41 Tabu Search La Tabu Search è in realtà un modello o Framework del tutto generale che si può applicare in regola di principio a tutti i problemi di ottimizzazione. Esistono molte varianti alla Tabu Search, per es. la tabu list può variare dinamicamente oppure è possibile considerare più tabu list contemporaneamente.

42 42 Tabu Search E possibile poi considerare una soluzione iniziale generata in maniera molto semplice e velocemente oppure partire da soluzioni con determinate proprietà che sono state generate con raffinate e complicate euristiche.

43 43 Genetic Algorithms Gli algoritmi genetici utilizzano la relazione naturale delladattamento allambiente per ottenere via via soluzioni migliori. Lambiente è rappresentato dalla funzione obiettivo. Ogni soluzione viene rappresentata mediante una o più sequenze binarie o di interi. Tali sequenze sono i cromosomi della nostra soluzione.

44 44 Genetic Algorithms I cromosomi definiscono la bontà della soluzione. Soluzioni diverse possono avere caratteristiche interessanti che vorremmo appartenessero alla soluzione ottima. Alcuni operatori, Crossover e Mutation partendo da una coppia o da una soluzione ne determinano di muove mescolando il patrimonio genetico.

45 45 Genetic Algorithms I Crossover possono essere definiti in maniera diversa, un tipo molto utilizzato è quello a taglio singolo

46 46 Genetic Algorithms Esistono diversi tipi di Mutation, tra quelle maggiormente utilizzate la più semplice è quella che modifica un solo gene \

47 47 Genetic Algorithms I passi base di un algoritmo genetico sono: 1) Generazione di una popolazione iniziale di soluzioni. 2) Selezione delle soluzioni migliori destinate al crossover. 3) Generazione delle soluzioni figlie. 4) Applicazione della mutation.

48 48 Genetic Algorithms Esistono molti modi di applicare questo schema. Crossover e Mutation vengono applicati secondo una determinata probabilità. Tra le tecniche di selezione vi sono i tornei e la Roulette. Può essere presente più di una popolazione.

49 49 Genetic Algorithms Risultati molto interessanti sono stati ottenuti da questi algoritmi che hanno il pregio di adattarsi in maniera quasi indifferente a qualsiasi problema di ottimizzazione. Essendo algoritmi generali risultano essere più lenti ed a volte meno efficaci delle euristiche. Possono essere usati in ibridazione con euristiche.

50 50 Genetic Algorithms In problemi molto difficili possono costituire una fase iniziale di studio. Permettono facilmente di affrontare problemi multi-obiettivo. Sono flessibili e robusti.


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