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DAL CASO AL CAOS. UN P0 DI STORIA Laplace sapeva che la conoscenza delle varie entità (variabili di stato), essendo frutto di processi di misura, non.

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1 DAL CASO AL CAOS

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3 UN P0 DI STORIA Laplace sapeva che la conoscenza delle varie entità (variabili di stato), essendo frutto di processi di misura, non può essere ottenuta con infinita precisione. Considerava ovvio che una piccola incertezza nei valori delle condizioni iniziali avesse altrettanto piccole conseguenze nellevoluzione del sistema, cioè che condizioni quasi-identiche portassero a evoluzioni del sistema quasi-identiche Laplace ( ): Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era allistante precedente…

4 UN P0 DI STORIA La possibilità di simulare con un modello matematico deterministico levoluzione di un sistema reale era considerata equivalente a dire che la sua evoluzione fosse necessariamente prevedibile e priva di incertezza

5 UN P0 DI STORIA Ma nello studio dei sistemi reali (ad esempio nella dinamica dei fluidi) si possono osservare andamenti sia regolari che complessi: il flusso dellacqua può essere semplice o disordinato, pur essendo le leggi del moto sempre le stesse (equazioni di Navier- Stokes) La previsione di Laplace è corretta per i sistemi lineari, per quelli non lineari vale solo se si è lontani dai regimi di comportamento caotico.

6 UN P0 DI STORIA Henri Poincaré( ) Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che ciò è dovuto al caso. […] può accadere che delle piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile…(1903) Ma i risultati di Poincaré non suscitarono molto interesse

7 UN P0 DI STORIA La teoria qualitativa dei sistemi dinamici fu studiata in seguito da: Birkhoff( ) negli USA Lyapunov( ), Kolmogorov( ), Andronov( ) in Russia Pontriaguine( )

8 UN P0 DI STORIA Mentre stava sviluppando modelli matematici per descrivere i movimenti delle masse daria nellatmosfera, nel 1961 scoprì accidentalmente il comportamento caotico delle soluzioni delle equazioni che stava studiando. In un articolo del 1963 descrisse il fenomeno del CAOS DETERMINISTICO usando come esempio un sistema di tre equazioni differenziali, calcolato numericamente. Ma largomento divenne popolare con larticolo di Edward Lorentz, matematico e meteorologo del MIT (scomparso nel 2008 a 90 anni).

9 UN P0 DI STORIA La figura rappresenta (in nero) landamento della soluzione a partire dalle condizioni iniziali x 0 =10, y 0 =10, z 0 =10 La figura rappresenta (in rosso) landamento della soluzione a partire dalle condizioni iniziali x 0 =10, y 0 =10, z 0 =

10 Butterfly effect Da un articolo di Lorentz del 1972: Does the flap of a butterflys wings in Brazil set off a tornado in Texas? Lattrattore strano di Lorentz

11 UN P0 DI STORIA Lattuale popolarità dellargomento è sicuramente legata al fatto che il fenomeno sia stato osservato nel contesto delle previsioni meteorologiche, ma esso appare anche nei più svariati contesti: Fisica Biologia Sociologia Economia Finanza …

12 CAOS DETERMINISTICO

13 CAOTICO …..senza regole ……imprevedibile ……. DETERMINISTICO …..fenomeno regolare ….prevedibile …che si ripete nel tempo

14 CAOS DETERMINISTICO Talvolta, modelli matematici deterministici generano andamenti così complessi da risultare quasi indistinguibili da eventi generati da processi aleatori.

15 Iterare funzioni f Xf(X) Preso un numero x da un certo dominio, lapplicazione di una funzione produce come risultato limmagine di x mediante f, che si scrive f(x)

16 Iterare funzioni fff x0x0 x1x1 X 2 …….X n-1 X n …… Se al risultato così ottenuto (se sta nel dominio) si applica di nuovo la stessa funzione f si ottiene un terzo numero (funzione composta). Se il risultato sta ancora nel dominio si può ancora applicare f e così via. Si ottiene così in modo deterministico una successione di valori.

17 Matematica nel tempo Lo studio dei possibili comportamenti delle successioni generate mediante lapplicazione ripetuta di una funzione può essere utile nella descrizione matematica di FENOMENI REALI CHE EVOLVONO NEL TEMPO. Infatti basta pensare x n come misura dello stato di un sistema al tempo n, allora la funzione f assumerà il significato di operatore di avanzamento nel tempo (legge di evoluzione) Lo schema x n =f(x n-1 ) diventa un MODELLO DINAMICO

18 Matematica nel tempo ovvero: Teoria qualitativa dei sistemi dinamici Esempio 1(modello lineare affine) In un piccolo paese del Varesotto, di 1000 abitanti, il tasso di mortalità annuo è del 20%; fortunatamente ogni anno nascono 100 bambini. Qual è nel tempo levoluzione della popolazione? Si estingue, aumenta a dismisura, si stabilizza? soluzione

19 Esempio 2 Un pigro quarantenne di nome Oblomov decide di vivere di rendita. Dispone di un capitale di che produce ogni mese interessi pari all1% ; per vivere stima di aver bisogno di 1000 al mese. Ce la farà? Matematica nel tempo ovvero: Teoria qualitativa dei sistemi dinamici

20 Esempio 3 (modello quadratico) Supponiamo che una banca proponga un nuovo modo di pagare gli interessi: ogni anno viene assegnato il quadrato della cifra posseduta lanno precedente diminuita di una tassa fissa b. Se un cliente versa oggi un capitale x, quanto avrà tra 10 anni? Matematica nel tempo ovvero: Teoria qualitativa dei sistemi dinamici

21 SDD: Sistemi dinamici discreti Bisogna individuare delle grandezze (un sistema) che evolvono (un sistema dinamico) a passi costanti della variabile tempo (un sistema dinamico discreto)

22 TEORIA Un sistema dinamico discreto (SDD) è caratterizzato da una legge del tipo: che si dice: EQUAZIONE ALLE DIFFERENZE dove: t=0,1,2,… x è una successione definita in modo ricorsivo mediante f. Si dice soluzione di unequazione alle differenze una successione che soddisfa lequazione data per ogni t. In generale le soluzioni sono infinite, ciascuna è caratterizzata dalle condizioni iniziali, che di norma sono tante quante lordine dellequazione. SDD: Sistemi dinamici discreti x t+1 = f(t,x t )

23 SDD LINEARI Sono caratterizzati da unequazione del tipo: x t+1 = ax t,con a0

24 SDD LINEARI In generale si ricava facilmente, dalla legge ricorsiva, la legge : x 1 = ax 0 x 2 = ax 1 = a 2 x 0 x 3 = ax 2 = a 3 x 0 …. x t =a t x 0 Ad esempio, se a=2,dopo sole 10 iterazioni il numero iniziale x 0 sarà moltiplicato per 2 10 =1024. Se fosse a=1/2, ad ogni iterazione il valore iniziale verrebbe dimezzato, come se una fotocopiatrice ad ogni passaggio riducesse limmagine del 50% Si tratta di una progressione geometrica di ragione a.

25 SDD LINEARI 1° caso: 1 < a < 1 In questo caso a t tende a 0; più a è vicino a 0 tanto più rapidamente la successione x t 0 per qualunque condizione iniziale Caso 1a: 0 < a < 1 In questo caso ad ogni passo x diminuisce di una percentuale pari a 1a. Per esempio se a=0.8 allora ad ogni passo x diminuisce del 20%. E la tipica decrescita esponenziale di valore iniziale x 0 e base a. Caso 1b: 1 < a < 0 In tal caso la convergenza a 0 non è monotona, i valori di x oscillano con segni alternati (infatti a t >0 se t è pari, a t <0 se t è dipari)

26 SDD LINEARI Caso a>1. Xt è una successione esponenziale crescente : ad ogni passo aumenta di una percentuale pari ad a-1. Grafico di x t+1 =1.1x t con x 0 =1000 I casi a=1 e a=-1 sono poco interessanti. Caso a<1 Xt è una successione irregolare, a segni alterni, che diverge in modulo con x 0 =1000 Grafico di x t+1 =-1.1x t con x 0 =1000

27 SDD LINEARI Se si applica la legge ricorsiva x t+1 =ax t alle dinamiche delle popolazioni (uomini, animali, vegetali, batteri…) si ottiene il cosiddetto Modello di Malthus: Una popolazione inizialmente di entità x 0 è soggetta a: -un tasso di natalità n (es. Percentuale di nati ogni anno sul totale della popolazione) e ad -un tasso di mortalità m (es. Percentuale di morti ogni anno sul totale della popolazione). Se non ci sono nè immigrazioni nè emigrazioni levoluzione nel tempo del numero di individui sarà del tipo: x t+1 =x t +nx t -mx t Cioè x t+1 =ax t

28 SDD LINEARI x t+1 =ax t Secondo questo modello: Se 01 allora la popolazione aumenta esponenzialmente Il modello di Malthus è ragionevole nella misura in cui la popolazione non è soggetta a limitazioni esterne.

29 SDD lineari affini Le cose vanno diversamente se lequazione contiene un termine noto: x t+1 =ax t +b

30 SDD lineari affini

31 Esplorando la successione X t+1 = 0.8 X t +100, con X 0 =1000 ( ad esempio con excel )si osserva che il sistema converge a 500: la popolazione di quel paese tenderà nel tempo a stabilizzarsi a 500 abitanti , , , , , , , , ,821517, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,946500, , , , , , , , , , , , ,03 Cosa ci si può aspettare se si parte da 2000 abitanti invece di 1000? Sarà valido il modello proporzionale?

32 SDD lineari affini Basta esplorare la nuova successione: X t+1 = 0.8 X t +100, con X 0 =2000 Il risultato è il seguente: E se ci fossero solo 200 abitanti? , , , , , , , , ,421517, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,946500, , , , , , , , , , , , ,03

33 SDD lineari affini Basta esplorare la nuova successione X t+1 = 0.8 X t +100, con X 0 =200 Il risultato è il seguente: , , , , ,636499, ,420495, , , , ,9 6401,722497, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,749499, , , ,99

34 SDD lineari affini Sorprendentemente nel lungo periodo non cambia nulla: La successione converge a 500 (per eccesso se x 0 >500, per difetto se x 0 <500, non si muove da 500 se x 0 =500) La successione costante di valore 500 sembra attrarre tutte le altre.

35 SDD lineari affini Abbiamo esplorato il problema con diversi valori iniziali. Tutte le successioni convergono a 500. Vogliamo capire perché. A quanto pare 500 dipende solo dai valori 0.8 e 100 dei parametri e non dal valore iniziale.

36 SDD lineari affini Vogliamo trovare una funzione che,presi in ingresso i valori 0.8 e 100, dia in uscita il

37 SDD lineari affini Ci chiediamo: Esiste un valore iniziale x 0 per il quale la popolazione rimane costante nel tempo?

38 SDD lineari affini. L equilibrio di un SDD Deve risultare, per ogni t: Cioè x t =0.8x t +100 Questo accade solo se esiste un numero x per il quale risulti: x=0.8x+100 Da cui 0.2x=100 Da cui x=500 x t =x t+1

39 SDD lineari affini. L equilibrio di un SDD Il valore 500 viene chiamato : punto di equilibrio del sistema Se il sistema parte da 500 rimane inchiodato a quel valore per sempre. In generale (se a 1) lequazione x t =x t+1 diventa x=ax+b la cui soluzione è: (Nel nostro caso era: a=0.8 e b=100) Se invece a=1 allora il sistema diventa x t+1 =x t +b. In questo caso non ci sono equilibri: il sistema evolve linearmente verso + se b>0, verso - se b<0. Il caso a=1e b=0 è ovviamente privo di interesse.

40 SDD lineari affini La stabilità dellequilibrio Per il SDD che abbiamo studiato la successione converge sempre allequilibrio, anche partendo da valori diversi dallequilibrio. Sarà vero per ogni valore iniziale? Sarà una caratteristica di tutti gli equilibri in qualunque SDD?

41 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio I risultati sono i seguenti: Se x 0 =E allora la soluzione è la successione costante di valore E Se a è compreso tra -1 e 1 allora a t tende a 0 quindi il sistema converge ad E per ogni valore iniziale x 0. In tal caso E si dice equilibrio stabile o attrattore Se a>1 allora il sistema diverge esponenzialmente (equilibrio instabile); se si parte da E il sistema rimane fermo, ma la più piccola perturbazione sulla condizione iniziale produce una catastrofe:il sistema si allontana definitivamente dallequilibrio

42 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio PROBLEMA Un pigro quarantenne di nome Oblomov decide di vivere di rendita. Dispone di un capitale di che produce ogni mese interessi pari all1% ; per vivere stima di aver bisogno di 1000 al mese. Ce la farà?

43 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Indicando con x t il deposito bancario di Oblomov al tempo T (misurato in mesi), il modello del problema sarà: X t+1 = x t +0.01x t Cioè X t+1 = 1.01x t Con la condizione iniziale x 0 =1000. E sempre un SDD della forma X t+1 = ax t +b, questa volta con a>1.

44 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Lequilibrio del sistema è Cioè esattamente la condizione iniziale! Infatti linteresse mensile dell1% su è uguale alla quota mensile di 1000 necessaria per vivere.

45 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio In queste condizioni il nostro quarantenne può VIVERE PER LETERNITÀ. Ma…si tratta di un equilibrio molto precario!

46 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Ma cosa succede se il capitale iniziale è (seppur di poco) diverso da ? Se x 0 < , anche solo di un centesimo, il caro Oblomov è destinato (prima o poi) alla rovina. Il grafico rappresenta landamento del deposito per x 0 = Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale si estingue

47 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Se invece x 0 > , anche solo di un centesimo, allora il capitale aumenta indefinitamente. Il grafico rappresenta landamento del deposito per x 0 = Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale raddoppia

48 SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Nella figura sono rappresentate varie soluzioni con diverse condizioni iniziali. Dal grafico è chiaro perché un equilibrio di questo tipo viene chiamato REPULSORE Si tratta di un equilibrio instabile

49 Riassumendo: Per un SDD lineare affine x t+1 =ax t +b si ha: se |a|>1 lequilibrio è instabile: qualunque valore iniziale diverso da b/(1-a) genera una successione divergente. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio

50 SDD: modello quadratico Supponiamo che una banca proponga un nuovo modo di pagare gli interessi: Ogni anno viene assegnato il quadrato della cifra posseduta lanno precedente diminuita di una tassa fissa b.

51 SDD: modello quadratico Se un cliente chiedesse: se oggi verso un capitale x, quanto avrò tra 10 anni? Bisognerebbe calcolare x 10 a partire da x 0. x 10 è un polinomio completo di grado 1024! Il calcolo sarebbe sì deterministico, ma sarebbe difficile sapere come va a finire.

52 SDD: modello quadratico Facciamo delle prove, partendo da casi semplici. 1. Supponiamo che sia b=0 Se 01, literazione cresce rapidamente divergendo allinfinito Ci sono i due punti fissi: X=0 attrattivo X=1 repulsivo

53 SDD: modello quadratico 1.Supponiamo che sia b=1 Per trovare i punti fissi basta risolvere lequazione x n =x n-1 cioè risolvendo lequazione x=f(x). Si ottengono i due punti fissi: che sono entrambi equilibri repulsivi.

54 SDD: modello quadratico A seconda delle condizioni iniziali scelte, le successioni divergono oppure continuano a oscillare, avvicinandosi a un andamento periodico. In figura la sequenza che si ottiene a partire da x=1,5

55 Il caos deterministico Se b=2, con la condizione iniziale x 0 =0.5, si ottiene un moto oscillatorio ma non periodico. Landamento risulta piuttosto irregolare. La figura in basso rappresentata la traiettoria ottenuta con la condizione iniziale x 0 =0.499, (pari a solo 0.2% in meno). Dopo le prime 10 iterazioni i valori ottenuti sono così lontani da perdere ogni correlazione con la successione precedente

56 Iterare funzioni e scoprire biforcazioni (metodo grafico) Sia y=f(x) una funzione. Sovrapponiamo al suo grafico quello di y=x. Prendiamo la condizione iniziale x 0 sullasse x. Per calcolare x 1 basterà calcolare f(x 0 ) tracciando la retta verticale x=x 0 e riportando sullasse y il punto trovato sulla curva.

57 Per procedere nelliterazione occorrerà riportare x1 sullasse x per poter poi calcolare f(x1). Per questo si può usare la bisettrice y=x. Basta portare x1 dallasse y orizzontalmente fino alla bisettrice, poi scendere verticalmente fino allasse x. A questo punto si potrà ripetere il procedimento considerando come nuovo punto iniziale x1. Si può notare che si può passare da x1 a x2 anche senza passare per lasse x, riportando direttamente il punto P sulla funzione. Iterare funzioni e scoprire biforcazioni (metodo grafico)

58 DIAGRAMMA A SCALA I punti toccati sulla bisettrice sono i punti della successione generata. Tutto ciò si può fare graficamente, senza far calcoli.

59 DIAGRAMMA A RAGNATELA Quando il procedimento riguarda una funzione decrescente la costruzione risulta un po diversa:

60 FUNZIONE QUADRATICA Caso in cui la funzione è una parabola di equazione f(x)=x 2 -b Caso b=0: f(x)=x 2 Partendo da x 0 =0.7, la traiettoria converge al punto di equilibrio attrattivo p*=0

61 FUNZIONE QUADRATICA Caso b=0 Partendo da x 0 =-1.1, la traiettoria scavalca il punto di equilibrio repulsivo q*=1 e poi diverge a + Caso in cui la funzione è una parabola di equazione f(x)=x 2 -b Caso b=0: f(x)=x 2

62 FUNZIONE QUADRATICA La differenza di comportamento tra i due diversi punti p* (equilibrio attrattivo) e q* (equilibrio repulsivo) si può capire osservando la pendenza della curva : Oltre q* la pendenza della curva supera quella della bisettrice quindi in un intorno di q* si comporta come la progressione geometrica di ragione maggiore di 1 (espansiva). In p* la pendenza è 0 (superstabilità) e, se approssimiamo la funzione con una funzione lineare, avrà coefficiente angolare minore di 1 (progressione geometrica contrattiva)

63 FUNZIONE QUADRATICA Caso b=0 (parabola y=x 2 ) Dopo un po di prove si può vedere che: Se si parte da una condizione iniziale vicina a p*=0 (punto di equilibrio attrattivo) la traiettoria generata gli si avvicina asintoticamente Se si parte da una condizione iniziale vicina a q*=1 (punto di equilibrio repulsivo) la traiettoria si allontana da esso.

64 FUNZIONE QUADRATICA (caso b>0) Es: b=0,5 In questo caso, la pendenza della tangente nel punto p*= è negativa. Il diagramma è a ragnatela convergente. Lequilibrio è stabile solo localmente, cioè partendo da condizioni iniziali prese abbastanza vicino allequilibrio (bacino di attrazione) f(x)=x 2 -b

65 FUNZIONE QUADRATICA (caso b>0) I valori di equilibrio dipendono dal valore di b. Allaumentare del valore di b, il grafico della parabola è sempre più ripido in corrispondenza del punto p*. In particolare, per b=3/4, la tangente risulta perpendicolare alla bisettrice (m=-1)

66 FUNZIONE QUADRATICA Il valore ¾ per b (VALORE DI BIFORCAZIONE) rappresenta un cambiamento nelle proprietà qualitative del sistema dinamico. Quando b supera il valore ¾ il punto di equilibrio p* da attrattivo diventa repulsivo.

67 Non solo, ma per valori di b poco maggiori di ¾ con condizione iniziale vicina a p*, la traiettoria si allontana da p* oscillando, da un certo punto in poi tra due punti periodici. In figura il caso b=1 con valore iniziale 1.3 La traiettoria continua a saltellare tra i due punti 0 e -1. FUNZIONE QUADRATICA (caso b>0)

68 Il valore 5/4 per b fa diventare repulsivo il ciclo precedente, che passa da periodo 2 a periodo 4. Continuando ad aumentare b, si arriverà a traiettorie non periodiche, cioè formate da valori che non si ripetono mai, ma riempiono densamente uno o più intervalli (REGIME CAOTICO): le iterazioni sembrano non assestarsi mai su un ciclo periodico e il diagramma a ragnatela continua a ricoprire in modo apparentemente casuale il piano. FUNZIONE QUADRATICA (caso b>0)

69 approfondimenti

70 ALTRI MODELLI Le leggi ricorsive possono essere più complesse rispetto al modello lineare. Il triangolo di Sierpinski Gioco di Collatz Modello preda-predatore o modello di Lotka- Volterra (1920 circa). Algoritmo di Newton

71 Altri tipi di SDD I SDD lineari affini hanno al più un punto di equilibrio, cioè un solo punto fa da attrattore per il sistema. Ma esistono SDD con attrattori più complessi come ad esempio: IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI

72 Sia dato un triangolo qualsiasi, per esempio il triangolo di vertici (0,0), (8,0), (4,7). Partiamo da un punto qualsiasi P 0 Ora lanciamo un dado a tre facce. Se esce 1 allora P n+1 è il punto medio tra P n e A Se esce 2 allora P n+1 è il punto medio tra P n e B Se esce 3 allora P n+1 è il punto medio tra P n e C

73 IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 200 lanci:

74 IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 800 lanci:

75 IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 5000 lanci:

76 IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI Lattrattore di questo SDD è il cosiddetto Triangolo di Sierpinski ( Waclaw Sierpinski, 1882, 1969 ): Dato un triangolo qualsiasi T 0, si consideri la figura T 1 che si ottiene togliendo il triangolo centrale, cioè il triangolo con vertici i punti medi; da T 1 si tolga il triangolo centrale a ciascuno dei triangoli ottenuti; da T 2 si tolga il triangolo centrale a ciascuno dei 3 2 triangoli ottenuti;…. da T n tolga il triangolo centrale a ciascuno dei 3 n triangoli ottenuti;e così via. Il limite allinfinito è il triangolo di Sierpinski.

77 IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI Qualunque sia il punto di partenza, la successione tende a riempire il triangolo di Sierpinski

78 Gioco di Collatz E un gioco con i numeri naturali così definito: Per tutti i numeri x 0 <10 12 è stato verificato con i calcolatori che la successione prima o poi arriva a 1 (attrattore locale). Non è stato ancora provato se è vero o falso che per ogni x 0 la successione di Collatz assume prima o poi il valore 1.

79 In ecologia e in economia è molto usato il modello quadratico detto preda-predatore o modello di Lotka-Volterra, che lo proposero intorno al 1920.

80 Modello di Lotka-Volterra Il suo SDD (quadratico) è: Il suo equilibrio non banale è (c/d, a/b), che in generale è instabile.

81 Algoritmo di Newton Serve a trovare soluzioni approssimate di unequazione f(x)=0, dove f(x) è una funzione derivabile. La sua legge ricorsiva è la seguente: Che ammette come equilibrio proprio un punto in cui f interseca lasse x.

82 Algoritmo di Newton Cosa succede se la f(x) è tale che lequazione f(x)=0 ammette più di una soluzione? Supponiamo che f sia una parabola che interseca lasse x in due punti α 1 e α 2 (con α 1 0). Si ottiene che: Se si parte da un punto a sinistra del vertice, la successione di Newton converge ad α 1 altrimenti ad α 2

83 Algoritmo di Newton Cosa succede se la f(x) è tale che lequazione f(x)=0 ammette più di una soluzione? Se si parte dalla semplice equazione di terzo grado x 3 -x=0 (che ammette le tre soluzioni -1, 0, 1) si ottiene: Se x 0 > la succ. converge a 1 Se x 0 <- la succ. converge a -1 Ma se -

84 Algoritmo di Newton Si può verificare ad esempio che Se x 0 = la successione converge a 0 Se x 0 = la successione converge a 1!

85 Algoritmo di Newton In questo caso si parla di CAOS Le prime iterazioni mostrano valori pressoché uguali, ma alla quinta iterazione la prima successione vale circa -0.36, la seconda -0.97, la terza addirittura 15.6!

86 CASO E CAOS Si tratta del famoso effetto farfalla: Il battito dali in Florida provoca un tornado alle Hawai

87 Il caos si è impadronito del problema…..

88 C A S O E C A O S I SDD hanno il pregio di mostrare, anche con oggetti geometrici e immagini bellissime, la stretta relazione tra caso e caos. Se scelgo a caso il punto di partenza, anche in un bacino strettissimo, posso avere evoluzioni del tutto differenti.

89 Hanno il pregio di mostrare una matematica in cui spesso si deve rispondere non lo so o addirittura non lo posso sapere.

90 Gran parte dei sistemi deterministici è così complicato da apparire completamente caotico, quindi da sottrarsi alla nostra capacità di previsione. Gli uragani, i crolli in borsa, gli attacchi cardiaci, i terremoti sono eventi al di fuori del nostro controllo Possiamo prevedere il futuro?

91 Daltro lato lo studio del caos ci può dire per quali valori dei parametri possiamo ottenere un tipo di comportamento o il suo opposto. Poiché noi possiamo agire sui parametri esterni di un sistema, è importante sapere come dobbiamo regolarli per evitare linsorgere del caos

92 Se da una parte lo studio del caos deterministico pare imponga limitazioni al potere predittivo della scienza, dallaltro rappresenta unarea di frontiera verso nuove possibilità di conoscenza e una sempre più chiara concezione di scienza, intesa come continuo confronto con la realtà. Possiamo prevedere il futuro?

93 Fine


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