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IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio.

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1 IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 1. GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ DEFINIZIONE Evento Un evento è un avvenimento, descritto da una proposizione, che può accadere o non accadere. DEFINIZIONE Probabilità La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili u, quando sono tutti ugualmente possibili. Se è levento contrario di E, cioè levento che si verifica se e solo se non si verifica E, si ha:

3 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 1. GLI EVENTI E LA PROBABILITÀ

4 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 2. LA PROBABILITÀ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI TEOREMA Probabilità della somma logica di due eventi La probabilità della somma logica di due eventi E 1 ed E 2 è uguale alla somma delle loro probabilità diminuita della probabilità del loro evento intersezione: p(E 1 E 2 )=p(E 1 )+p(E 2 )-p(E 1 E 2 ). In particolare, se gli eventi sono incompatibili: p(E 1 E 2 )=p(E 1 )+p(E 2 ). TEOREMA Teorema della probabilità totale Dati n eventi a due a due incompatibili E 1, E 2, …, E n, la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle loro singole probabilità: p(E 1 E 2 … E n )= =p(E 1 )+p(E 2 )+…+p(E n ).

5 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 2. LA PROBABILITÀ E LA SOMMA LOGICA DI EVENTI

6 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO DEFINIZIONE Probabilità condizionata Dati due eventi E 1 ed E 2 tali che E 1 U, E 2 U ed E 1 E 2, si dice probabilità condizionata (o subordinata) di E 1 rispetto a E 2, e si indica p(E 1 |E 2 ), la probabilità che si verifichi E 1 nellipotesi che E 2 sia verificato. 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA TEOREMA La probabilità condizionata di un evento E 1 rispetto a un evento E 2, non impossibile, è determinata dalla formula:, con p(E 2 ) 0.

7 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 3. LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA

8 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO TEOREMA Teorema della probabilità composta La probabilità dellevento composto o prodotto logico degli eventi E 1 ed E 2 è uguale al prodotto della probabilità dellevento E 1 per la probabilità dellevento E 2 nellipotesi che E 1 si sia verificato:. In particolare, nel caso di eventi stocasticamente indipendenti:. 4. LA PROBABILITÀ DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI

9 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO TEOREMA Schema delle prove ripetute (o di Bernoulli) Dato un evento E sottoposto a n esperimenti indipendenti ognuno con probabilità p costante di verificarsi, essendo q=(1-p) la probabilità che ha levento di non verificarsi, la probabilità di ottenere k successi su n prove è:. 5. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE

10 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio IL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ 5. IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE

11 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio L'INTEGRALE INDEFINITO TEOREMA Il teorema di Bayes La probabilità che, essendosi verificato un evento E, la causa che sta alla sua origine sia levento E i, con i=1, 2, …, n è:, dove p(E) è la probabilità dellevento totale:. 6. IL TEOREMA DI BAYES


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