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Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli CAPITOLO 1: FENOMENI OSCILLATORI.

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1 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli CAPITOLO 1: FENOMENI OSCILLATORI

2 Fenomeni oscillatori Introduzione Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 1 I fenomeni oscillatori di tipo meccanico ed elettromagnetico, ci circondano costantemente nella vita quotidiana. Esempi di oscillazioni meccaniche sono il pendolo oscillante di un orologio, la corda di una chitarra che vibra; mentre esempi di oscillazioni elettromagnetiche, sono quelle degli elettroni che si muovono avanti e indietro nei circuiti responsabili della trasmissione e della ricezione di segnali radio e TV. La caratteristica comune di tutti questi sistemi oscillanti è la formulazione matematica che descrive le loro oscillazioni.

3 Consideriamo il sistema meccanico massa – molla denominato oscillatore armonico semplice. Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Applicando la seconda legge di Netwon F = ma si ottiene lequazione dell oscillatore armonico semplice, : Ovvero: ω = pulsazione o frequenza angolare [rad/s]. la cui soluzione è una funzione x(t) che descrive la posizione dell oscillatore armonico semplice in funzione del tempo. Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 2

4 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Una soluzione dell equazione del moto dell oscillatore armonico semplice è: Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice A è lo spostamento massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio; (ωt+ ) è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. Lampiezza A e la costante di fase delloscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali che sono lo spostamento e la velocità al tempo t 0 : dove: Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 3

5 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Il tempo necessario per un oscillazione completa è chiamato periodo T Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 4 A T La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi: Si ricava quindi la relazione che lega la pulsazione ω alla frequenza (o al periodo):

6 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La posizione del corpo è: Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 5 Derivando rispetto al tempo si ricava la velocità: Derivando ancora si ottiene landamento dellaccelerazione in funzione del tempo: A ωAωA ω2Aω2A

7 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Lequazione differenziale delloscillatore armonico semplice: Oscillazioni meccaniche Proprietà dellequazione differenziale Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 6 è unequazione del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e omogenea PROPRIETA se x(t) è soluzione dellequazione, lo è anche ax(t) con a costante; se y(t) è unaltra soluzione, anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione; cioè la combinazione lineare di più soluzioni è ancora soluzione dellequazione.

8 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Nel caso più generale si ottiene una equazione non omogenea: Oscillazioni meccaniche Proprietà dellequazione differenziale Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 7 dove f(t) è una generica funzione del tempo che in particolare può essere costante. Si dimostra che in questo caso la soluzione più generale è: Con soluzione particolare dellequazione non omogenea e soluzione della omogenea associata

9 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Un classico esempio è quello di un punto materiale m appeso a una molla di costante elastica k. Lequazione del moto è: Oscillazioni meccaniche Proprietà dellequazione differenziale Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 8 ovvero, posto si ha : E una equazione non omogenea, con il termine noto costante. Una soluzione particolare è = mg/k, per cui la soluzione generale è:

10 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Conseguenza della linearità dellequazione che descrive il moto armonico è il principio di sovrapposizione degli effetti: Oscillazioni meccaniche Proprietà dellequazione differenziale Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 9 Se in corrispondenza di si ha come soluzione e in corrispondenza di si ha allora se il termine noto è + la soluzione è + :

11 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Unapplicazione del moto armonico è il Pendolo Semplice : Oscillazioni meccaniche Pendolo Semplice Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 10 La forza di richiamo che tende a riportare la particella verso la posizione di equilibrio è la componente tangen- ziale della forza peso mg : se langolo θ è piccolo, allora : senθ θ Quindi la forza di richiamo assume la seguente forma:

12 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Lequazione del moto si ricava applicando la legge: Oscillazioni meccaniche Pendolo Semplice Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 11 τ = momento prodotto da una forza α = accelerazione angolare I = momento di inerzia del pendolo Il momento della forza di richiamo è : Con L = braccio rispetto al perno della forza di richiamo e I = momento di inerzia rispetto allasse di rotazione

13 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli L equazione del moto diventa : Oscillazioni meccaniche Pendolo Semplice Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 12 Considerando senθ θ si ha : Assumendo lequazione assume la seguente forma :

14 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Una soluzione dell equazione del moto del pendolo semplice è: Oscillazioni meccaniche Pendolo semplice A è lo spostamento angolare massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio; (ωt+ ) è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. Lampiezza A e la costante di fase dell oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. Queste due condizioni le individuano in modo univoco, infatti: dove: Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 13

15 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Il tempo necessario per un oscillazione completa è chiamato periodo T Oscillazioni meccaniche Pendolo semplice Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 14 A T La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi: Assumendo per il pendolo, le espressioni diventano le seguenti:

16 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli È evidente lanalogia tra le espressioni matematiche di questi due sistemi meccanici Oscillazioni meccaniche Analogia Oscillatore Armonico - Pendolo semplice Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 15

17 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Per il moto armonico di un sistema non soggetto a forze dissipative, lenergia meccanica totale Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 16 si conserva, cioè resta costante durante il moto. Lenergia potenziale U è in ogni istante: Lenergia cinetica K è invece in ogni istante:

18 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli L energia meccanica totale è quindi : Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 17 Essa è costante e ha il valore di

19 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Consideriamo ora il valore medio dell energia nell oscillatore armonico : Mentre i valori medi di posizione, velocità e accelerazione in un periodo, sono tutti nulli, infatti: Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 18 il valore medio dell energia nelloscillatore armonico non è nullo: Infatti la funzione ha un andamento del tipo: π 2π 3π θ sen 2 θ

20 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli I valori medi di energia potenziale e cinetica sono quindi : Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 19 e Essi sono eguali, per cui in media l energia meccanica totale è per metà cinetica e per metà potenziale.

21 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Moto armonico e moto circolare uniforme Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 20 Il moto armonico può essere considerato come la proiezione di un moto circolare uniforme x y A Il vettore A ruota in senso antiorario con velocità angolare e prende il nome di fasore

22 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Notazione Complessa Capitolo: Oscillazioni meccaniche ed elettriche Pagina 21 Identità di Eulero : E possibile considerare e come la parte reale e la parte immaginaria di

23 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 22 Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati dalla stessa pulsazione : Per il principio di sovrapposizione degli effetti la somma è un moto armonico con la stessa pulsazione: Teorema di Carnot x y A1A1 A2A2 A K K t +

24 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 23 Lampiezza del moto risultante dipende dalla differenza di fase massima per minima per Inoltre x y A t +

25 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 24 I risultati della sovrapposizione di due moti armonici di eguale periodo lungo lo stesso asse, sono riportati di seguito:

26 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 25 Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati da diversa pulsazione : Per semplicità supponiamo che e. Si ha : e Se 1 ~ 2, allora Con = ( )/2

27 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 26 Quindi da questa composizione si ha un nuovo moto oscillatorio : caratterizzato da : una nuova pulsazione ; un ampiezza modulata con pulsazione. Si parla di modulazione di ampiezza, caratteristica del fenomeno del battimento : K1K1 K2K2

28 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 27 Consideriamo la somma di due moti armonici su assi ortogonali caratterizzati dalla stessa pulsazione : Se i moti sono in fase Il punto si muove lungo un segmento di retta tra le posizioni -A, -B e A, B; tale retta forma con l asse x l angolo : K K

29 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 28 Se i moti sono in opposizione di fase e Graficamente: IN FASE IN OPPOSIZIONE DI FASE

30 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 29 Se i moti sono in quadratura di fase quindi: che rappresenta lequazione di un ellisse percorsa in senso orario Se i moti sono in quadratura di fase ma con il moto è in senso antiorario

31 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 30 Quindi graficamente In particolare se A è uguale a B lellisse degenera in una circonferenza

32 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Composizione di moti Armonici Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 31 Se i moti hanno una differenza di fase generica La traiettoria è sempre un ellisse, con gli assi non paralleli agli assi cartesiani (anche se A = B)

33 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Circuito LC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 32 Lequivalente elettrico del sistema meccanico massa – molla è il circuito LC : Scrivendo l equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi in cui

34 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Una soluzione dell equazione del circuito LC è: Oscillazioni elettriche Circuito LC è la carica iniziale sul condensatore ossia l ampiezza del moto oscillatorio; (ωt+ ) è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. Lampiezza e la costante di fase dell oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. Queste due condizioni le individuano in modo univoco, infatti: dove: Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 33

35 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Analogia Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 34 È evidente quindi l analogia tra i due sistemi:

36 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli L energia elettromagnetica totale è: Oscillazioni elettriche Considerazioni Energetiche Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 35 essa è costante e ha il valore di

37 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Consideriamo un oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 36 Introduciamo la forza di attrito viscoso : che è proporzionale alla velocità tramite il coefficiente di attrito viscoso Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :

38 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 37 l equazione differenziale dell oscillatore armonico smorzato diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

39 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici delloscillatore. Ci sono tre casi possibili : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 38 reale Smorzamento debole Parametro relativo alla forza elastica Parametro relativo alla forza di attrito

40 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 39

41 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 40 nullo Smorzamento critico Parametro relativo alla forza elastica Parametro relativo alla forza di attrito

42 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 41 immaginario Smorzamento forte Parametro relativo alla forza elastica Parametro relativo alla forza di attrito La soluzione globale è del tipo:

43 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c è mai oscillazione: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 42 La curva 4, corrispondente allo smorzamento critico, in cui il punto tende più rapidamente alla posizione di equilibrio x=0. T 0 = 2 / 0 / = 1 / > 1

44 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Nel moto armonico smorzato l energia dell oscillatore viene gradualmente dissipata dall attrito fino ad annullarsi. Calcolando l energia media, nel caso di smorzamento debole, si ha : Oscillazioni meccaniche Considerazioni energetiche Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 43 dove è il suo valore iniziale. Per poter valutare di quanto varia l energia media nel tempo si deve calcolare la derivata del valore medio dell energia normalizzata: Il parametro rappresenta il tempo di decadimento.

45 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 44 Lequivalente elettrico dell oscillatore armonico smorzato è il circuito RLC : Scrivendo l equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi

46 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 45 l equazione differenziale del circuito RLC diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

47 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Analogia Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 46 È evidente quindi l analogia tra i due sistemi:

48 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Anche in questo caso, il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici del circuito. Ci sono tre casi possibili : Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 47 con reale, cioè : Smorzamento debole Parametro relativo alla conservazione della carica Parametro relativo alla dissipazione della carica

49 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente : Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 48

50 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 49 con nullo, cioè : Smorzamento critico Parametro relativo alla dissipazione della carica Parametro relativo alla conservazione della carica

51 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 50 con immaginario, cioè : Smorzamento forte La soluzione globale è del tipo: Parametro relativo alla conservazione della carica Parametro relativo alla dissipazione della carica

52 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c è mai oscillazione: Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 51

53 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 52 Applicando la seconda legge di Netwon F = ma : applichiamo cioè all oscillatore una forza esterna ad esempio sinusoidale in cui rappresenta la pulsazione della forza esterna

54 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 53 l equazione differenziale dell oscillatore armonico forzato diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

55 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La soluzione generale di questo sistema è : Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 54 Soluzione della omogenea associata Soluzione particolare dove :

56 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La soluzione particolare rappresenta quindi la soluzione a regime: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 55 infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla dopo un tempo ragionevole avendo : Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza esterna, anche se sfasato in ritardo rispetto ad essa avendo:

57 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analizziamo lo studio della risposta in funzione di e in particolare in relazione alla del sistema: Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 56 Spostamento in fase con la forza esterna Parametro dominante k costante elastica

58 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 57 Spostamento in opposizione di fase con la forza esterna Parametro dominante m massa

59 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 58 Spostamento in quadratura di fase con la forza esterna Parametro dominante coefficiente di smorzamento

60 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Risonanza Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 59 Grafichiamo in funzione di : Nel caso in cui lo smorzamento è eccessivo, l andamento è monotono decrescente. Con smorzamento molto piccolo la funzione assume un massimo in condizioni di risonanza : Si nota che se lo smorzamento aumenta la condizione di massimo si sposta verso la parte sinistra del grafico e si riduce in ampiezza, quindi la condizione di risonanza si ottiene prima ma con un ampiezza inferiore.

61 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni meccaniche Risonanza Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 60 In modo equivalente grafichiamo la fase in funzione di : Questo grafico riassume i tre casi possibili :

62 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 61 Lequivalente elettrico dell oscillatore armonico forzato è il circuito RLC con generatore di f.e.m.: Scrivendo l equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi

63 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 45 l equazione differenziale del circuito RLC con f.e.m. diventa: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :

64 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Analogia Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 46 È evidente quindi l analogia tra i due sistemi:

65 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Anche in questo caso la soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime: Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 64 infatti la soluzione della omogenea associata è destinata a diventare nulla dopo un tempo ragionevole avendo : La carica sarà caratterizzata a regime dalla stessa pulsazione della f.e.m esterna anche se sfasata in ritardo rispetto ad essa avendo:

66 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 65 La soluzione in corrente risulta essere la derivata della carica quindi : Affinché questa risulta essere soluzione, inseriamo la suddetta espressione nell equazione del circuito in corrente: Luguaglianza deve essere valida in qualsiasi istante e quindi devo essere uguali i corrispondenti coefficienti di e al primo e al secondo membro.

67 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 66 Imponendo le due identità si ottengo le seguenti relazioni:

68 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Risonanza Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 67 La condizione più interessante è ancora quella di risonanza : In condizioni di risonanza quindi il circuito si comporta come puramente resistivo poiché la corrente e la f.e.m. sono in fase

69 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Risonanza Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 68 Riportiamo in seguito landamento della e della in funzione della per diversi valori di resistenza: Quindi la assume il valore massimo per

70 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Larghezza di Risonanza Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 69 Si definisce larghezza della risonanza la differenza tra i valori e in corrispondenza dei quali la corrente massima assume il valore, ridotto di un fattore rispetto al valore di risonanza. Cioè imponendo : da cui si ricava

71 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Larghezza di Risonanza Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 70 La larghezza della risonanza risulta essere uguale a : dove la quantità : si chiama fattore di merito della risonanza. Esso è tanto maggiore quanto più stretta è la risonanza, cioè quanto più piccola è la resistenza rispetto a ω 0 L, condizione a cui si tende nel caso in cui si voglia realizzare un circuito altamente selettivo.

72 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Oscillazioni elettriche Risonanza Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 71 Risonanza : Utile per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei sintonizzatori di onde elettromagnetiche. Svantaggiosa quando le ampie oscillazioni generate provocano rotture nel sistema: per esempio l azione del vento o di onde sismiche su edifici, il passaggio di veicoli su ponti; in tali casi le pulsazioni di risonanza devono essere molto diverse dalle pulsazioni che lambiente circostante può imprimere al sistema.

73 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 72 Esaminiamo il comportamento in regime alternato sia dei singoli elementi di circuito (resistore, induttore, condensatore) che di alcune semplici combinazioni in serie e in parallelo. Resistore R Applicando ai capi di un resistore una f.e.m. esso risulta essere attraversato dalla corrente Ai capi del resistore compare la tensione in fase con la corrente: tra i valori massimi sussiste la relazione:

74 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 73 Induttore L Per l induttore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in anticipo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine ωL si chiama reattanza dellinduttore.

75 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 74 Condensatore C Per un condensatore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in ritardo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine si chiama reattanza del condensatore.

76 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 75 Serie RL Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un induttore si ha: Tale tensione è in anticipo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro. La somma V R + V L,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V 0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da:

77 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 76 Serie RC Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un condensatore si ha: Tale tensione è in ritardo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro. La somma V R + V C,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V 0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da:

78 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 77 Serie LC In questo caso abbiamo solo i vettori V L e V C, paralleli e discordi, entrambi ortogonali al vettore i: Se, V L e V C sono eguali ed opposti per cui la tensione V è uguale a zero.

79 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 78 Serie RLC In questo caso si ha: quindi :

80 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 79 Serie RLC Si vede come al crescere di ω il circuito passi dalla situazione in cui è preponderante rispetto a ωL (comportamento capacitivo) a quella in cui ωL è preponderante rispetto a (comportamento resistivo).

81 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 80 Impedenza serie Quando attraverso uno o più elementi R,L,C in serie viene fatta passare una corrente alternata la tensione ai capi della serie è: Il valore massimo V 0 è legato al valore massimo i 0 della corrente da : dove Z 0 è detta impedenza della serie.

82 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 81 Parallelo RL Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un resistore e di un induttore si ha: Nel complesso il comportamento è induttivo in quanto la corrente i è in ritardo rispetto alla tensione e limpedenza: cresce con ω, dal valore zero per ω=0 al valore R per ω elevata.

83 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 82 Parallelo RC Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un resistore e di un condensatore si ha: Nel complesso il comportamento è capacitivo in quanto la corrente i è in anticipo rispetto alla tensione e limpedenza: diminuisce con ω, dal valore R per ω=0 ad un valore nullo per ω elevata.

84 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 83 Parallelo LC Applicando una f.e.m. alternata al parallelo di un condensatore e di un induttore si ha:

85 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 84 Parallelo LC Quindi : Il comportamento è diverso a seconda che sia ω ω 0 Per ω=ω 0 limpedenza diventa infinita e la corrente si annulla, essendo i L =-i C.

86 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 85 Parallelo RLC Si hanno le seguenti relazioni :

87 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 86 Parallelo RLC Quindi : Il circuito si comporta come parallelo RC se ωC>1/ωL e come un parallelo RL se ωC<1/ωL. Quando ωC=1/ωL il comportamento è resistivo, limpedenza ha un massimo e la corrente un minimo: si parla di antirisonanza.

88 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 87 Ammettenza In ognuno dei casi esaminati la corrente totale assorbita dal parallelo è sfasata rispetto alla tensione ai capi del parallelo. La relazione tra il valore massimo della corrente e il valore massimo della d.d.p. può essere posta nella forma : dove Y 0 è l ammettenza del circuito, definita come l inverso dell impedenza:

89 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 88 Per lanalisi di circuiti semplici in configurazioni costituite da serie e paralleli degli elementi R, L, C si adotta il metodo simbolico che si basa sulla rappresentazione delle grandezze alternate f.e.m. e corrente con numeri complessi, aventi modulo eguale al valore massimo e fase eguale alla fase della corrispondente grandezza alternata. La relazione tra la f.e.m. complessa e la corrente complessa è lineare. Il coefficiente di proporzionalità (impedenza complessa) riassume in sè l effetto del circuito. Quando gli elementi sono in serie limpedenza totale è la somma delle singole impedenze, quando sono in parallelo linverso dellimpedenza totale è la somma degli inversi delle singole impedenze. Introducendo, invece, lammettenza complessa si ha che, per elementi in parallelo, lammettenza totale è la somma delle ammettenze mentre, per elementi in serie, si sommano gli inversi delle ammettenze.

90 Politecnico di Bari, Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Corso di Fisica Sperimentale III Prof. G. Iaselli Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Capitolo: Fenomeni Oscillatori Pagina 89 Limpedenza totale di un generico circuito ha sempre una parte reale Z r, e una parte immaginaria Z i che viene chiamata reattanza e indicata con la lettera X : Analogamente per lammettenza dello stesso circuito si scrive: dove la parte reale G è detta conduttanza e la parte immaginaria B è detta suscettanza.


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