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G.M. - Edile A 2002/03 Il teorema dellimpulso Consideriamo un punto materiale in moto rettilinio sotto lazione di una forza F costante x O F xoxo x x o.

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1 G.M. - Edile A 2002/03 Il teorema dellimpulso Consideriamo un punto materiale in moto rettilinio sotto lazione di una forza F costante x O F xoxo x x o punto di partenza x punto di arrivo spostamento Tempo impiegato Laccelerazione (costante) Le equazioni del moto

2 G.M. - Edile A 2002/03 Generalizzazione del teorema dellimpulso Dalla seconda legge della dinamica Dove F è la risultante delle forze agenti sulla particella Per ogni intervallo infinitesimo dt Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi (integrando tra zero r t) Se la forza F è costante (modulo, direzione e verso) La forza F media in t

3 G.M. - Edile A 2002/03 Lavoro ed energia cinetica: introduzione Consideriamo un punto materiale che si muove di moto rettilineo sotto lazione di una forza costante parallela alla traiettoria (per esempio moto di caduta di un grave) x O F Moto uniformemente accelerato Eliminando il tempo:

4 G.M. - Edile A 2002/03 Lavoro ed energia cinetica: introduzione Si definisce Energia cinetica della particella Le dimensioni Lavoro effettuato dalla forza costante sul percorso tra x o e x Nel SI: Nm=kgm 2 s -2 =J (joule) Nel SI: kgm 2 s -2 =J (joule)

5 G.M. - Edile A 2002/03 Generalizzazione della definizione di lavoro Nello studio del moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo ottenuto: –La variazione dellenergia cinetica dubita dal punto materiale quando si sposta tra x o e x risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso tra x o e x –Teorema delle forze vive. Vediamo se è possibile generalizzare questo risultato al caso generale. –Se la traiettoria non è rettilinea o se la forza non è parallela allo spostamento, solo la componente tangenziale della forza è responsabile della variazione del modulo della velocità: Occorre fare in modo, nella definizione di lavoro di una forza, che esso dipenda solo dalla componente tangenziale della forza.

6 G.M. - Edile A 2002/03 Il prodotto scalare tra vettori Dati vettori F e r, si definisce prodotto scalare Modulo del primo vettore per modulo del secondo vettore per il coseno dellangolo compreso –Il modulo del secondo vettore per la proiezione del primo sul secondo Commutativo Il risultato di un prodotto scalare è uno scalare Che può anche essere interpretato come –Il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo vettore lungo il primo

7 G.M. - Edile A 2002/03 Alcune proprietà del prodotto scalare Vettori paralleli –Positivo F r Vettori antiparalleli –Negativo - F r Vettori ortogonali –Uguale a zero Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso

8 G.M. - Edile A 2002/03 Generalizzazione della definizione di lavoro Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo Il lavoro è una grandezza scalare Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo sempre –dividere il percorso in tratti così piccoli (infinitesimi) da poter considerare il tratto rettilineo e la forza costante su quel tratto, –Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti –Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti i f

9 G.M. - Edile A 2002/03 Generalizzazione della definizione di lavoro Calcolo del lavoro utilizzando le componenti cartesiane i f Calcolo del lavoro utilizzando i moduli della forza e dello spostamento I lavoro della risultante

10 G.M. - Edile A 2002/03 Applicazi one Una donna tira, a velocità costante, una slitta carica di massa m= 75 kg su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini e la neve è d =0.10, e langolo è di 42°. Calcolare il lavoro effettuato dalla donna per spostare la slitta di 10 m. Calcolare il lavoro fatto dalla risultante delle forze La forza applicata dalla donna è uguale alla tensione T (possiamo calcolare il lavoro della tensione T). Il lavoro effettuato dalla donna sarà: r T Bisogna calcolare il modulo di T. Forza costante Spostamento rettilineo

11 G.M. - Edile A 2002/03 Applicazi one Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione): costante

12 G.M. - Edile A 2002/03 Potenza Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t si definisce potenza media nellintervallo t il rapporto : La Potenza sviluppata dalla forza allistante t (potenza istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero: Le dimensioni [P] = [ML 2 T -2 ][T -1 ] = [ML 2 T -3 ] Nel SI si misura in watt (W) Altre unità cavallo vapore (Cv) Kilovattora come unità di misura del lavoro 1kwattora=3.6MJ

13 G.M. - Edile A 2002/03 Generalizzazione del teorema delle forze vive Consideriamo il generico intervallo di tempo dt –La variazione dellenergia cinetica i f La relazione vale per tutti gli intervalli infinitesimi: quindi anche quando si somma su tutti gli intervalli. La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della risultante (la somma dei lavori fatto da tutte le forze agenti sul punto materiale)

14 G.M. - Edile A 2002/03 Applicazi one Un sollevatore di pesi solleva un manubrio di massa complessiva m=260kg per un dislivello di 2 m Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento Determinare il lavoro fatto dal sollevatore di peso. Se il sollevatore abbandona lattrezzo mentre è in alto (h=2m) determinare la velocità con cui arriva sul pavimento. Osserviamo che lenergia cinetica iniziale è nulla, ma anche quella finale. La variazione di energia cinetica è nulla. Utilizzando il teorema delle forze vive: Per quanto riguarda lultima domanda: osserviamo che il moto avviene sotto lazione della sola forza peso. Il lavoro fatto dalla forza peso in questo caso: P FsFs

15 G.M. - Edile A 2002/03 Lenergia È una grandezza che caratterizza il punto materiale –Dipende dal suo stato (posizione, velocità, temperatura, etc) –Esistono varia forme di energia –Per es. lenergia cinetica dipende dallo stato di moto del corpo I corpi possono scambiarsi lenergia: –Il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia. –Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza motrice, concorde con il moto), allora lenergia cinetica del punto materiale aumenta. Si dice che lambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale il punto materiale ha acquisito energia cinetica dallambiente esterno. –Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora la sua energia cinetica diminuisce. si dice che il punto materiale ha effettuato del lavoro sullambiente esterno a spese della sua energia cinetica Lenergia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro –Trasferire cioè il movimento ad altri corpi. La corrente del fiume che fa muovere le macine di un mulino

16 G.M. - Edile A 2002/03 Lenergia cinetica e i sistemi di riferimento Il valore dellenergia cinetica, come quella di altre grandezze dipende dal sistema di riferimento usato. Anche le distanze percorse dipendono dal sistema di riferimento usato Ma anche se i valori numerici cambiano, la eguaglianza tra il lavoro fatto dalla risultante e la variazione dellenergia cinetica risulta valida in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

17 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Un oggetto di massa m=10 kg viene portato in un treno dalla velocità nulla alla velocità di 2 m/s percorrendo (sul treno) un tratto di 5 m. Il treno si muove con una velocità di 20 m/s rispetto al marciapiede della stazione. Verificare il teorema delle forze vive rispetto al treno e rispetto al marciapiede.

18 G.M. - Edile A 2002/03 Le forze conservative Una forza si dice conservativa se – il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione P 1 alla posizione P 2 dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale –e non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da P 1 a P 2, ne da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato, ecc. P1P1 P2P2 Allora –esiste una funzione U della posizione del punto materiale P, U(P) = U(x,y,z), –tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, P 1 e P 2, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale P 1 meno quello che assume nel punto finale P 2. U= energia potenziale

19 G.M. - Edile A 2002/03 La forza peso Verifichiamo che la forza peso è conservativa: –Dobbiamo far vedere che per qualunque percorso il lavoro fatto dalla forza per andare da P 1 a P 2 è sempre lo stesso indipendente dal percorso. –Prendiamo il percorso P 1 A P 2. –Prendiamo ora il percorso P 1 B P 2.

20 G.M. - Edile A 2002/03 La forza peso –Prendiamo un qualsiasi percorso tra P 1 e P 2. Lenergia potenziale potrebbe essere

21 G.M. - Edile A 2002/03 La forza elastica Valutiamo il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla posizione x 1 a x 2. –Lo spostamento è rettilineo –ma la forza non è costante Utilizziamo la definizione più generale x1x1 x2x2 Il lavoro dipende solo dai punti iniziali e finali: la forza elastica è conservativa! La sua energia potenziale:

22 G.M. - Edile A 2002/03 Lenergia potenziale E unaltra forma di energia, legata la posizione di un corpo –È possibile cambiare lenergia potenziale di un corpo eseguendo del lavoro (per esempio sollevare un peso U=mgy) le forze conservative –Forza peso –Forza elastica –Forza di gravitazione universale –Forza di Coulomb La funzione energia potenziale è determinata a meno di una costante arbitraria h = quota

23 G.M. - Edile A 2002/03 Determinazione dellenergia potenziale dallespressione della forza Utilizzando la definizione di energia potenziale: Che può essere riscritta, considerando i punti P o, iniziale, e P, il generico punto dello spazio: Da cui: Per derivare la funzione energia potenziale occorre: –Fissare arbitrariamente un punto dello spazio P o. –Assegnare un valore arbitrario allenergia potenziale del punto P o. –Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da P o al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta P o con P. Non è necessario specificare la traiettoria PoPo P

24 G.M. - Edile A 2002/03 Lenergia potenziale le forze conservative –Forza peso Il punto di riferimento P o è un punto del piano xz, con y=0 (quota nulla) Ai punti del piano orizzontale y=0 si assegna energia potenziale nulla –Forza elastica Il punto di riferimento P o è la posizione dellestremo libero della molla in condizioni di molla non deformata, x=0. Quando la molla non è deformata, x=0, si assegna energia potenziale nulla –Forza di gravitazione universale –Forza di Coulomb Il punto di riferimento P o è il punto allinfinto. Al punto allinfinito, si assegna energia potenziale nulla h = quota

25 G.M. - Edile A 2002/03 Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo Consideriamo un percorso chiuso P1P1 P2P2 Le forze conservative dipendono dalla posizione. P1P1 P2P2

26 G.M. - Edile A 2002/03 Lavoro della forza di attrito La forza di attrito statico fa lavoro nullo: –Nel caso di attrito statico, non cè spostamento: quindi il lavoro è nullo –Se il piano di appoggio si sposta rispetto al SdR utilizzato, si osservi che: il piano e loggetto poggiato su di esso subiscono lo stesso spostamento Le forze di attrito sono uguali ed opposte (azione e reazione) Il lavoro complessivo è nullo a La forza di attrito dinamico fa, sempre, un lavoro negativo: –Consideriamo un oggetto che viene spostato su di un piano orizzontale scabro.

27 G.M. - Edile A 2002/03 Lavoro della forza di attrito dinamico Consideriamo un punto materiale che si muove su un piano orizzontale sulla traiettoria tra P 1 e P 2. Il modulo della forza di attrito dinamico è P1P1 P2P2 costante Il lavoro effettuato dalla forza di attrito dinamico il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero La forza di attrito dinamico non è conservativa

28 G.M. - Edile A 2002/03 Lenergia potenziale in presenza di più forze conservative Il lavoro effettuato da tutte le forze conservative è dato da: Lenergia potenziale totale è la somma delle energia potenziali delle singole forze

29 G.M. - Edile A 2002/03 La conservazione dellenergia Supponiamo di avere un punto materiale che si muove sotto lazione di forze conservative. Il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro della risultante è uguale alla variazione dellenergia cinetica: Poiché tutte le forze sono conservative, il lavoro della risultante può essere messo in relazione con la variazione di energia potenziale Combinando le due relazioni si ottiene: Solo forze conservative: lenergia meccanica totale si conserva!

30 G.M. - Edile A 2002/03 Relazione lavoro energia Se non tutte le forze sono conservative –Il lavoro della risultante sarà la somma del lavoro effettuato Dalle forze conservative W c Dalle forze non conservative W nc La variazione dellenergia meccanica totale è uguale al lavoro effettuato dalle forze non conservative. Questa relazione contiene come caso particolare anche la conservazione dellenergia – infatti quando non ci sono forze non conservative W nc =0

31 G.M. - Edile A 2002/03 Lenergia meccanica totale In presenza di forze non conservative lenergia meccanica totale non si conserva –La sua variazione è proprio uguale al lavoro delle forze non conservative In realtà non bisogna pensare che dellenergia sia andata distrutta o si sia creata dal nulla, semplicemente cè stato uno scambio con altre forme di energia. – Nel caso di forze dissipative, attrito dinamico, resistenza passiva, il lavoro (negativo) di queste forze è accompagnato da un aumento della temperatura dei corpi interessati Lenergia meccanica totale diminuisce mentre aumenta lenergia interna dei corpi (aumento di temperatura) –Nel caso in cui si ha un aumento dellenergia meccanica totale (per esempio nelle esplosioni), lenergia interna contenuta nellesplosivo è stata trasformata in energia meccanica Lesplosivo ha subito una trasformazione chimica.

32 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton. Determiniamo le forze agenti sullautomobile La forza peso La Tensione della fune la seconda legge di Newton vale: Il diagramma del corpo libero Preliminarmente ricordiamo che in un moto circolare antiorario: v Un corpo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al soffitto del Laboratorio. Determinare il periodo del pendolo nellipotesi che esso venga abbandonato da fermo quando langolo formato dalla fune con la verticale è di 5°. Si supponga che lampiezza delle oscillazioni possa essere considerata piccola. Determinare inoltre il valore della tensione nella fune quando passa per la posizione verticale. La posizione del pendolo può essere individuata specificando

33 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Riscrivendo laccelerazione tangenziale in termini di accelerazione angolare si ottiene: Poiché a z =0 è la velocità iniziale è nulla, possiamo concludere che il moto del pendolo avviene nel piano della figura. Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti allequazione vettoriale. Utilizziamo le direzioni u t ed u n mostrate in figura, ed u z perpendicolare ai primi due. N.B.Per evitare complicazioni limitiamoci a considerare la parte di moto antiorario del pendolo. unun utut Forza di richiamo, opposta a se è piccolo sen = Laccelerazione è proporzionale allopposto della posizione: il moto è armonico!

34 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Equazione differenziale del moto armonico con pulsazione angolare p data da: La legge oraria è del tipo: unun utut In cui le costanti A e vanno determinati sulla base delle condizioni inizali. Miraccomando a non confondere la velocità angolare con cui si muove il pendolo con la pulsazione angolare. Pur avendo le stesse unità di misura sono completamente diverse: La pulsazione angolare è una costante La velocità angolare varia sinusoidalmente. Il pendolo si ferma, =0, agli estremi delloscillazione ed è massima per =0.

35 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Determiniamo le costanti A e Ricordiamo le condizioni iniziali: La scelta =0, da una soluzione positiva dellampiezza: La legge oraria diventa dunque: unun utut Abbiamo già verificato che la legge oraria del moto armonico è periodica con periodo T= Quindi:

36 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Per il calcolo della Tensione riprendiamo lequazione secondo u n : Dove a n è uguale a: unun utut Confrontiamo questa tensione con quella che si ottiene quando il pendolo è fermo in condizioni di equilibrio: Per = 0 la velocità angolare è massima: pari alla sua ampiezza. Pertanto In condizioni di equilibrio T=mg ed è verticale: il filo si dispone lungo la verticale (filo a piombo). Per =0 la tensione nel caso dinamico è più grande che in quello statico perché essa oltre ad equilibrare il peso deve fornire la forza centripeta necessaria per far percorrere al pendolo una traiettoria circolare!!


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