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G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione Un quadretto uguale 10km. Unautomobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e infine in.

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1 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione Un quadretto uguale 10km. Unautomobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km. Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale dellauto dal punto di partenza. x y

2 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno di essi langolo formato con lasse delle x: 1)a x =3a y =3 2)b x =-3b y =-3 3)c x =-3c y =3 4)d x =3d y =-3 x y (1) (3) (2) (4)

3 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione Il vettore b sommato al vettore a da per risultato 6.0u x +1.0u y. Se si sottrae b da a il risultato è -4.0u x +7.0u y. Quantè il modulo il modulo di a.

4 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno allestremità libera. Qual è lo spostamento della sua estremità A)da 15 a 30 minuti B) nella successiva mezzora C) nella successiva ora D)calcolare la velocità angolare media ed istantanea E)calcolare la velocità media nel caso A F)il modulo della velocità istantanea e dellaccelerazione.

5 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale v o =60m/s ad un angolo di 60° rispetto allorizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dellaria, la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). la velocità di impatto al suolo la durata del moto laltezza massima raggiunta dal proiettile. il tempo impiegato per raggiungerla. il valore dellangolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. la gittata quando langolo è di 30°. il raggio di curvatura alla massima altezza. Introdurre il sistema di riferimento –Asse x orizzontale –Asse y verticale –v o contenuta nel piano xy –Origine nel punto di lancio Il corpo sarà soggetto allaccelerazione di gravità 60° x y vovo Condizioni iniziali

6 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Il moto avviene nel piano xy Le equazioni parametriche della traiettoria: 60° x y vovo Per ottenere lequazione della traiettoria y(x) bisogna eliminare il tempo

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8 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). G è massima quando sen2 o è massimo: 2 o =90° o =45°

9 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione La durata del moto Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0 La velocità allimpatto t=t 2 La componente y della velocità ha cambiato di segno Il modulo della velocità di impatto è v o

10 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione laltezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla. Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria v y =0 La gittata massima La gittata per o =30°

11 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Moto del proiettile

12 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Determinazione del raggio di curvatura In ogni punto della traiettoria laccelerazione è g. In generale essa ha una Componente tangente ed una normale alla traiettoria. Nel punto di massima Altezza ha solo la componente normale. Pertanto:

13 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Un corpo percorre un tratto orizzontale AB: in A ha velocità v 1 ed in B ha velocità v 2 minore di v 1 in quanto tra A e B laccelerazione vale –kv, con k=2.3 s -1. Dopo B il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha AB=b=2.14 m, BC=h=1.5 m, CD=d=1.35 m. calcolare il valore di v 1. AB CD v1v1 v2v2 Il moto dopo B sarà quello del proiettile, introducendo un sistema di riferimento con origine in C, asse x lungo CD e asse y lungo CB, tenendo conto delle condizioni iniziali (x o =0, y o =h,v ox =v 2, v oy =0), si avrà: Calcoliamo il tempo di caduta imponendo y=0 (si osservi che solo la soluzione positiva è quella valida) La velocità v 2 può essere ottenuta studiando il moto lungo lasse x e sapendo che in questo tempo il punto materiale ha raggiunto il punto D: Nel tratto AB il moto è rettilineo smorzato: se scriviamo la velocità come funzione della posizione:

14 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Un corpo percorre un tratto orizzontale AB: in A ha velocità v 1 ed in B ha velocità v 2 minore di v 1 in quanto tra A e B laccelerazione vale –kv, con k=2.3 s -1. Dopo B il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha AB=b=2.14 m, BC=h=1.5 m, CD=d=1.35 m. calcolare il valore di v 1. AB CD v1v1 v2v2 Semplificando v da ambo i membri Sommando membro a membro su tutti gli intervalli dt Allistante iniziale il punto materiale si trova in A ed ha velocità v 1, allistante finale t il punto materiale si trova in B con velocità v 2

15 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale alzo (angolo rispetto allorizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? Utilizzando un sistema di riferimento con origine nella posizione del cannone, asse x orizzontale diretto verso il campanile e asse y verticale, le coordinate del bersaglio sono: Le equazioni parametriche del moto del proiettile tenendo conto delle condizioni iniziali sono: Lequazione della traiettoria, eliminando il tempo tra le due, sarà: Che può essere messa in questa forma: x y

16 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale alzo (angolo rispetto allorizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? Elaborando ulteriormente Imponendo che il proiettile passi per il bersaglio diventa: Che è una equazione di secondo grado in tan risolvendo:

17 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale alzo (angolo rispetto allorizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? Elaborando ulteriormente Le eventuali soluzioni dipendono dalla quantità sotto radice

18 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Disponendo di un cannone che riesce a scagliare i proiettili con una velocità di 82m/s, a quale alzo (angolo rispetto allorizzontale) si deve puntare il cannone per colpire la sommità di un campanile distante 500 m dal cannone e alto 30 m? Nel nostro caso

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22 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Il treno veloce francese, TGV, compie viaggi ad una velocità media di 216 Km/h. Se abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione centripeta accettabile dai passeggeri è 0.050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari. Se una curva ha un raggio di 1.00 km, a quale valore deve essere ridotta la velocità per rispettare il limite di accelerazione consentito?

23 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela allasse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che allistante iniziale il punto materiale si trovi sullasse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche langolo formato dal vettore posizione r(t) con lasse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. x y v r a Considerando le condizioni iniziali, la legge oraria diventa: Ma la coordinata y è anche data da: La componente y della velocità, v o, sarà data da: Da cui possiamo ricavare la velocità angolare:

24 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela allasse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che allistante iniziale il punto materiale si trovi sullasse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche langolo formato dal vettore posizione r(t) con lasse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. x y v r a Esprimendo il cos in funzione di a e di y si ottiene: Il vettore posizione si può esprimere: Il suo versore vale:

25 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela allasse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che allistante iniziale il punto materiale si trovi sullasse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche langolo formato dal vettore posizione r(t) con lasse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. x y v r a Mentre il versore trasverso, perpendicolare al versore del vettore posizione, vale:

26 Applica zione Consideriamo un sistema di riferimento legato alla strada con lorigine O coincidente con lultimo incrocio e lasse x lungo la strada rettilinea orientato nel verso del moto dei due veicoli. Le rispettive leggi orarie saranno: Un camion ed unautomobile percorrono una strada rettilinea a velocità costante (v a =80km/h, v c =60km/h). Come appare il moto dellautomobile rispetto al camion? Per studiare il moto dellautomobile rispetto al camion, consideriamo un secondo sistema di riferimento con lorigine O coincidente con il camion e lasse x diretto come lasse x (v xO =v c ). Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei Si tratta di un moto che avviene lungo lasse x (rettilineo) a velocità costante data da v a - v c. Alla stessa conclusione si arriva usando le trasformazioni della velocità.

27 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 x Applicazi one Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n lasse x diretto lungo la strada e il sistema Oxyz fermo rispetto al guidatore. il sistema Oxyz si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei: La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h? La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina (sistema Oxyz ) sarà: x y O y O

28 Applica zione Una persona ferma sul marciapiede della stazione spara un proiettile perpendicolarmente ai binari mentre sta transitando un treno alla velocità di 40km/h. La velocità di uscita del proiettile dalla canna della pistola è di 100 m/s. Il proiettile entra ed esce dal treno lasciando due fori nei finestrini posti sui lati opposti del treno senza diminuire apprezzabilmente la sua velocità. Qual è la distanza del foro di uscita del proiettile dal punto direttamente opposto al foro di ingresso se il treno è largo 2 m?

29 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicazi one Un fiume largo 200 m ha una corrente che scende a velocità uniforme di 1.1 m/s verso est attraverso al giungla. Un esploratore vuole lasciare la sua radura posta sulla sponda sud per raggiungere la riva nord con la sua barca a motore capace di navigare a velocità costante di 4.0 m/s rispetto allacqua. Sulla riva nord cè unaltra radura situata a 82 m più a monte rispetto al punto posto di fronte alla posizione iniziale dellesploratore. In quale direzione occorre puntare la barca per raggiungere la radura sulla sponda opposta con una traversata in linea retta? Quanto dura questa traversata? x y O

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