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G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Grandezze scalari e vettoriali Massa Tempo Temperatura Pressione Posizione lungo un asse (linea) Volume Lavoro Energia.

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1 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Grandezze scalari e vettoriali Massa Tempo Temperatura Pressione Posizione lungo un asse (linea) Volume Lavoro Energia Spostamento Posizione Velocità Accelerazione Forza Quantità di moto Impulso Momento della quantità di moto Mentre per rappresentare una grandezza scalare è sufficiente un numero ( con le relative unità di misura), per rappresentare una grandezza vettoriale sono necessari tre parametri: –il modulo –la direzione –ed il verso

2 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 I vettori Quando si ha a che fare con un problema in fisica conviene sempre fare un disegno, uno schizzo. Un vettore si rappresenta con una freccia per indicare la direzione ed il verso del vettore. La lunghezza della freccia rappresenta invece il modulo del vettore. Vettori paralleli (stesso verso e stessa direzione) e con lo stesso modulo sono uguali.

3 Il vettore spostamento Lo spostamento è lesempio più immediato di grandezza vettoriale Consideriamo un punto materiale in moto su un piano –Allistante iniziale t o il punto di trova in P o. allistante t 1 nel punto P 1 –Lo spostamento subito dal punto materiale nellintervallo tra t o e t 1 è rappresentato dal segmento orientato P o P 1 ( ) –Come appare dalla figura: lo spostamento è caratterizzato da un modulo : la distanza tra P o e P 1 una direzione: quella della reta passante per P o e P 1 un verso: quello da P o a P 1 Tutti i vettori, non solo lo spostamento possono essere rappresentati con un segmento orientato. G.M. - Edile-Architettura 2004/05 PoPo P1P1

4 Il vettore spostamento Due vettori saranno uguali se e solo se –hanno lo stesso modulo –la stessa direzione –lo stesso verso Tutti i segmenti orientati paralleli al segmento P o P 1 di pari lunghezza rappresentano lo stesso vettore In alcuni casi si parla di punto di applicazione del vettore: è il punto da cui inizia il segmento orientato. Nel caso dello spostamento il punto di applicazione può essere fatto coincidere con il punto di partenza P o G.M. - Edile-Architettura 2004/05 PoPo P1P1

5 Il vettore spostamento Supponiamo ora che allistante di tempo tempo t 2. successivo a t 1, il punto materiale abbia raggiunto P 2. Lo spostamento nellintervallo tra t 1 e t 2 sarà rappresentato dal segmento orientato P 1 P 2 ( ) Lo spostamento complessivo nellintervallo tra t o e t 2 sarà rappresentato dal segmento orientato P o P 2 ( ) Il vettore è la somma di due vettori e G.M. - Edile-Architettura 2004/05 PoPo P1P1 P2P2

6 Somma di due vettori Regola del parallelogramma Si riporta a partire da un punto P o il primo vettore ( ), dalla punta del primo vettore si riporta il secondo vettore ( ), il vettore somma si ottiene collegando il punto iniziale del primo vettore con il punto finale del secondo vettore Ma posso fare anche il contrario: a partire da P o riporto il secondo vettore ( )e poi dal suo estremo riporto il primo vettore ( ). Il vettore somma si ottiene collegando il punto iniziale con il punto finale. La somma dei due vettori coincide con la diagonale del parallelogramma costruito coni due vettori. PoPo P1P1 P2P2 PoPo P1P1 P2P2

7 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Somma di due vettori x Regola del parallelogramma Si riporta il primo vettore, a partire dalla fine del primo vettore si riporta il secondo. Il vettore somma si ottiene congiungendo il punto iniziale del primo vettore con quello finale del secondo vettore y La somma è commutativa, posso invertire il ruolo del primo vettore con il secondo

8 La somma di più vettori Se si devono sommare più di due vettori…. a partire da un punto scelto arbitrariamente P o si riporta il primo vettore, dallestremo del primo vettore si riporta il secondo, dallestremo del secondo si riporta il terzo, e così di seguito. Il vettore somma sarà rappresentato dal segmento orientato che parte dal punto iniziale del primo vettore, P o,e finisce nel punto finale dellultimo vettore. La somma di vettori gode della proprietà associativa e distributiva G.M. - Edile-Architettura 2004/05 PoPo

9 Prodotto di un vettore per uno scalare Il risultato del prodotto di un vettore,, per uno scalare k è –Un vettore, di Modulo pari a valore assoluto di k volte il modulo del vettore Direzione quella del vettore Verso: quello di se k è positivo, quello opposto se k è negativo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

10 Differenza tra vettori La differenza tra vettori Si definisce come la somma tra La differenza tra due vettori è la seconda delle due diagonali del parallelogramma costriuto con i due vettori. G.M. - Edile-Architettura 2004/05 PoPo P1P1 P2P2

11 Versori Sono vettori di modulo unitario I versori non hanno dimensioni

12 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Vettori componenti di un vettore Qualunque vettore può essere pensato come somma di due vettori e, il primo parallelo allasse x, il secondo allasse y e sono i vettori componenti di. N.B. Nello spazio i vettori componenti sono tre:, e x y

13 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Le componenti cartesiane Definizione delle componenti cartesiane attraverso i vettori componenti x y

14 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Somma di vettori usando le componenti AxAx BxBx

15 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Significato di una relazione vettoriale Due vettori sono uguali se sono uguali le componenti Unequazione vettoriale corrisponde a due (nel piano), tre (nello spazio) equazioni scalari

16 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione Unautomobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km. Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale dellauto dal punto di partenza.

17 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione La lancetta dei minuti di un orologio a parete misura 10 cm dallasse alla punta. Qual è il vettore spostamento della punta -dal quarto dora alla mezzora -durante la mezzora successiva -durante lora successiva

18 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione Il vettore B sommato al vettore A da per risultato 6.0i+1.0j. Se si sottrae B da A il risultato è -4.0i+7.0j. Quantè il modulo il modulo di A.

19 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applicaz ione Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno di essi langolo formato con lasse delle x: 1)a x =3a y =3 2)b x =-3b y =-3 3)c x =-3c y =3 4)d x =3d y =-3

20 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Moto in tre dimensioni Traiettoria: luogo di punti via via occupati dal punto materiale La posizione del punto materiale viene individuato dal vettore posizione Il vettore posizione rappresenta lo spostamento a partire dallorigine per raggiungere la posizione del punto materiale Legge oraria: posizione in funzione del tempo. Equaz. parametriche della traiettoria Le componenti cartesiane del vettore posizione sono le coordinate del punto materiale Il moto nello spazio è la composizione di tre moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi coordinati

21 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 La velocità vettoriale istantanea Si fissa listante t Si fissa un intervallo t maggiore di zero Si calcola la velocità media nellintervallo t La velocità media è un vettore perché prodotto di uno scalare per un vettore Si definisce la velocità istantanea come La velocità vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t). Il verso è quello del moto. La velocità vettoriale è la derivata del vettore posizione valutata allistante t. Attenzione è la derivata di un vettore

22 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 La velocità riferita alla traiettoria Indichiamo con s il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale. Osserviamo che per La velocità media può essere scritta: Il limite per t che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea. Supponiamo di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nel seguente modo:

23 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 La velocità riferita alla traiettoria Osserviamo che Abbiamo già osservato che lo spostamento, per t che tende a zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso del moto. Quindi possiamo porre La lunghezza dellarco, per t, o s che tende a zero diventa uguale alla lunghezza della corda La velocità istantanea può essere scritta:

24 Le componenti cartesiane della velocità Abbiamo definito la velocità come Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue componenti cartesiane come Ricordiamo che Calcoliamo la derivata prima di G.M. - Edile-Architettura 2004/05

25 Componenti cartesiane della velocita Confrontando lultima espressione con quella della velocità espressa in termini delle sue componenti cartesiane si ottiene La componente x della velocità dipende solo dalla coordinata x della posizione, la componente y dalla coordinata y e la componente z dalla coordinata z. Le componenti non si mischiano G.M. - Edile-Architettura 2004/05

26 Le componenti della velocità nella rappresentazione polare La rappresentazione polare viene usata per individuare la posizione di un punto in un piano, quindi si applica ai moti piani G.M. - Edile-Architettura 2004/05 x y

27 La velocità angolare Sia (t) langolo formato dal vettore posizione con lasse x allistante t e (t+ t) lo stesso angolo allistante t+ t Nellintervallo t langolo è variato di (t+ t)- (t) Si definisce velocità angolare media nellintervallo t La velocità angolare istantanea si ottiene passando al limite per t che tende a zero G.M. - Edile-Architettura 2004/05 x y

28 Laccelerazione angolare Sia (t) la velocità angolare allistante t e (t+ t) quella allistante t+ t Nellintervallo t la velocità angolare è variata di (t+ t)- (t) Si definisce accelerazione angolare media nellintervallo t Laccelerazione angolare istantanea si ottiene passando al limite per t che tende a zero G.M. - Edile-Architettura 2004/05 x y

29 La velocità angolare e laccelerazione angolare Le definizioni della velocità angolare e dellaccelerazione angolare sono del tutto simili a quelle della velocità ed accelerazione in moto rettilineo uniforme Anche le soluzioni saranno simili: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

30 Calcolo della derivata del versore G.M. - Edile-Architettura 2004/05 x y

31 Le componenti della velocità nella rappresentazione polare Tornando al calcolo delle componenti della velocità nella rappresentazione polare G.M. - Edile-Architettura 2004/05 x y

32 Laccelerazione Nellintervallo t la velocità è cambiata sicuramente in direzione ma anche in intensità Laccelerazione media nellintervallo t è data da Laccelerazione media è un vettore Notare che laccelerazione è diretta verso la concavità della curva Laccelerazione istantanea allistante t si ottiene con il passaggio al limite per t che tende a zero Ripetendo il limite per tutti gli istanti di tempo G.M. - Edile-Architettura 2004/05 x y

33 Le componenti cartesiane della accelerazione Abbiamo definito la velocità come Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue componenti cartesiane come Ricordiamo che Calcoliamo la derivata prima di G.M. - Edile-Architettura 2004/05

34 Componenti cartesiane della accelerazione Confrontando le due espressioni La componente x della accelerazione dipende solo dalla componente x della velocità, la componente y della accelerazione dalla componente y della velocità e analogamente per la componente z. Le componenti non si mischiano G.M. - Edile-Architettura 2004/05

35 Velocità ed accelerazione Abbiamo definito la velocità come

36 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale v o =60m/s ad un angolo di 60° rispetto allorizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dellaria, la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). la velocità di impatto al suolo la durata del moto laltezza massima raggiunta dal proiettile. il tempo impiegato per raggiungerla. il valore dellangolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. la gittata quando langolo è di 30°. Introdurre il sistema di riferimento –Asse x orizzontale –Asse y verticale –v o contenuta nel piano xy –Origine nel punto di lancio Il corpo sarà soggetto allaccelerazione di gravità 60° x y vovo Condizioni iniziali

37 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Il moto avviene nel piano xy Le equazioni parametriche della traiettoria: 60° x y vovo Per ottenere lequazione della traiettoria y(x) bisogna eliminare il tempo

38 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione

39 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). G è massima quando sen2 o è massimo: 2 o =90° o =45°

40 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione La durata del moto Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0 La velocità allimpatto t=t 2 La componente y della velocità ha cambiato di segno Il modulo della velocità di impatto è v o

41 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione laltezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla. Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria v y =0 La gittata massima La gittata per o =30°

42 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Applic azione Moto del proiettile

43 G.M. - Edile-Architettura 2004/05 La velocità angolare Supponiamo che il punto materiale si muova con velocità costante sulla retta x=a Langolo formato dal vettore posizione con lasse delle x varia nel tempo ci possiamo calcolare la velocità angolare x y vovo a media istantanea Se varia nel tempo ci possiamo calcolare laccelerazione angolare mediaistantanea


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