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G.M. - Edile A 2002/03 Moto rettilineo del punto materiale Punto materiale –Punto geometrico dotato di massa Traiettoria –Il luogo dei punti via via occupati.

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Presentazione sul tema: "G.M. - Edile A 2002/03 Moto rettilineo del punto materiale Punto materiale –Punto geometrico dotato di massa Traiettoria –Il luogo dei punti via via occupati."— Transcript della presentazione:

1 G.M. - Edile A 2002/03 Moto rettilineo del punto materiale Punto materiale –Punto geometrico dotato di massa Traiettoria –Il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale Moto rettilineo –Moto con traiettoria rettilinea Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una automobile lungo una strada diritta, etc.

2 G.M. - Edile A 2002/03 O Descrizione del moto rettilineo Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale Sulla traiettoria definiamo lasse di riferimento (origine e verso) Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra listante di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0s inizio dellosservazione)

3 G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario Asse delle ascisse = variabile indipendente (il tempo). –È necessaria una scala, per es. 1cm=0,1s Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione). –Anche qui è utile una scala, per es 1 cm=0,2 m I punti rappresentano le misure, la curva è linterpolazione. La curva interpolante deve essere continua: il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie. La legge di corrispondenza è una funzione seria, ad ogni istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si può trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo). Per lo stesso motivo la funzione è continua

4 G.M. - Edile A 2002/03 Legge oraria Il grafico orario può anche essere rappresentato mediante una espressione matematica (legge oraria) Uso del grafico orario o della legge oraria: voglio conoscere la posizione del punto allistante 0,2 s. Con il grafico orario Con la legge oraria

5 G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario di un punto materiale fermo Il grafico orario è una retta parallela allasse delle ascisse (dei tempi) (pendenza = 0) Legge oraria corrispondente: x = x o (x=0,31 m)

6 G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario di un moto a velocità costante La retta: x=mt+n n= intercetta asse ordinate m= coefficiente angolare Il grafico orario è una retta Legge oraria corrispondente:

7 G.M. - Edile A 2002/03 Moto di unautomobile su un tratto rettilineo Esiste una relazione tra la pendenza del grafico orario e la velocità dellautomobile.

8 G.M. - Edile A 2002/03 Spostamento e percorso effettuato Grafico orario di un corpo lanciato verso lalto. Legge oraria corrispondente x = x o + v o t + 1/2a o t 2 x o = 7.2 m v o = 11.4 m a o = -5.0 m Consideriamo gli istanti Spostamento= x =x finale -x iniziale x massimo Percorso effettuato: è la lunghezza del tratto effettivamente percorso Nel caso della figura d=(x massimo -x 1 )+(x massimo -x 2 ) x iniziale –Iniziale: t iniziale x finale –finale: t finale

9 G.M. - Edile A 2002/03 Il segno dello spostamento x massimo x finale Spostamento x =x finale -x iniziale con t > 0 Nel caso di un moto rettilineo non è necessario far ricorso alla rappresentazione vettoriale –Il verso del moto viene rappresentato dal segno di x –Se x >0 allora vuol dire che x finale >x iniziale : il moto è avvenuto nella direzione positiva dellasse delle x –Se x <0 allora vuol dire che x finale

10 G.M. - Edile A 2002/03 Velocità media Velocità scalare –Sempre positiva Velocità vettoriale –Positiva -->x crescenti –Negativa-->x decrescenti

11 G.M. - Edile A 2002/03 Alla guida di unautomobile, dopo aver percorso una strada rettilinea per 8,4 km a 70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella stessa direzione, per 2.0 km fino al prossimo distributore, dove siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual è –Qual è lo spostamento complessivo –Il tempo complessivo impiegato –La velocità media

12 G.M. - Edile A 2002/03 Velocità media Abbiamo definito la velocità vettoriale media

13 G.M. - Edile A 2002/03 Descrizione del moto attraverso la velocità media Supponiamo di far muovere tra t 1 e t 2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata Valutiamo la sua posizione allistante t=2s. Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t 1 e t 2. Posizione al tempo t=2s predetta con la velocità media Posizione vera al tempo t=2s

14 G.M. - Edile A 2002/03 Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media –si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore! Sarebbe opportuno ridurre a zero lampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta! Ridurre a zero lampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea

15 G.M. - Edile A 2002/03 La velocità istantanea Procediamo nel seguente modo: Consideriamo listante t 1 in cui vogliamo calcolare la velocità La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico Riduciamo ora lintervallo di tempo t facendolo tendere a zero. Osserviamo che quando t tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in t, tende a diventare quello della retta tangente al grafico allistante t 1. Consideriamo un intervallo di tempo t maggiore di zero. Calcoliamo la velocità media in t Si definisce velocità istantanea allistante t 1 il seguente limite: t 1 + t x(t 1 + t) t x 2 x(t 1 ) t1t1 1

16 G.M. - Edile A 2002/03 La velocità istantanea 2 Riassumendo: Nel grafico essa è rappresentata dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico allistante t 1. Il limite di: corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) allistante t 1. Abbiamo definito la velocità istantanea come allistante di tempo t 1 : x(t 1 ) t1t1 1 rapporto incrementale

17 G.M. - Edile A 2002/03 Velocità istantanea ad ogni istante di tempo Ripetendo loperazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t 2 o t 3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. x(t 1 ) t1t1 x(t 2 ) t2t2 x(t 3 ) t3t3 Se ripetiamo loperazione per tutti gli istanti di tempo dellintervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo v x (t) Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t) Positiva --> x(t) crescente Negativa --> x(t) decrescente

18 G.M. - Edile A 2002/03 Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea: x massimo x iniziale x finale Ma quando t tende a zero, avremo Si ottiene quindi la seguente relazione La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea

19 G.M. - Edile A 2002/03 Grafico della velocità istantanea Nel moto che stavamo studiando: –La pendenza del grafico orario non è costante –Questo implica che la velocità non è costante –Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce con il tempo. –La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dellasse x –Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dellasse x. –Quando x è massimo la velocità è nulla

20 G.M. - Edile A 2002/03 Accelerazione media e istantanea Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. Si definisce laccelerazione media nellintervallo di tempo tra t 1 e t 2 il seguente rapporto: Come abbiamo fatto per la velocità anche per laccelerazione possiamo passare allaccelerazione istantanea: –Laccelerazione istantanea allistante t 1 è data da: Tenendo conto della definizione di derivata:

21 G.M. - Edile A 2002/03 Grafico dellaccelerazione istantanea Ripetendo loperazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. Dato che noi conosciamo la velocità in funzione del tempo Laccelerazione è costante (negativa), come daltra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità. possiamo utilizzare questa relazione per determinare laccelerazione in funzione del tempo.

22 G.M. - Edile A 2002/03 Il segno dellaccelerazione Riguardando la definizione dellaccelerazione media ( ma le stesse considerazioni valgono per laccelerazione istantanea ), si vede che: –a xm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dellasse x: v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) –Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta –Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce –a xm minore di zero, diretta nella direzione negativa dellasse x: v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) –Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce –Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. Possiamo concludere: –Se laccelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta. –se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce.

23 G.M. - Edile A 2002/03 Conclusioni Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo Possiamo calcolarci la velocità: v x (t) la velocità in funzione del tempo E quindi laccelerazione: a x (t) laccelerazione in funzione del tempo Combinando le due espressioni: Laccelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo

24 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0) (1)x=3t(2) x=-4t 2 -2(3) x=2/t 2 (4) x=-2 a)In quale situazione la velocità vettoriale è costante? b)in quale altra v è diretta nel verso negativo dellasse x? a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4) b)la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dellasse x nei casi (2) e (3). Infatti:

25 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual è la velocità scalare media allandata e al ritorno? Qual è la velocità vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Indichiamo con t il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è t.

26 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari per percorrere le due metà sono: Il tempo totale impiegato t per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi. La velocità vettoriale media complessiva è nulla.

27 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie t x t t

28 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dallespressione x=3t-4t 2 +t 3, ove x è in metri e t in secondi. a)qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s? b)qual è lo spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra t=0 e t=4s? c)qual è la velocità vettoriale media nellintervallo tra t=2s e t=4s? d)qual è la velocità istantanea allistante di tempo t=3s? e)costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nellespressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti:

29 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. b)qual è lo spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra t=0 e t=4s? d) qual è la velocità istantanea allistante di tempo t=3s? c) qual è la velocità vettoriale media nellintervallo tra t=2s e t=4s?

30 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. e)costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d).

31 G.M. - Edile A 2002/03 Il problema del moto Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni istante di tempo: –Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione velocità –Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione accelerazione Il problema che ora ci poniamo è il seguente: –Se conosciamo laccelerazione ad ogni istante di tempo nellintervallo di osservazione del moto, conosciamo cioè la funzione a(t), –siamo in grado di determinare la legge oraria? –determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)? Si tratta di risolvere la seguente equazione:

32 G.M. - Edile A 2002/03 Lequazione differenziale Lequazione precedente è unequazione differenziale –Contiene le derivate –È del secondo ordine (contiene la derivata seconda) Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come quella precedente? –Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota dellaccelerazione a(t).

33 G.M. - Edile A 2002/03 Soluzioni dellequazione differenziale Supponiamo di aver trovato una soluzione dellequazione differenziale, –di aver trovato cioè una funzione x 1 (t) la cui derivata seconda è proprio uguale alla funzione nota a(t). La funzione x(t)=k 1 +k 2 t+x 1 (t), con k 1 e k 2 due costanti reali qualsiasi, è anchessa soluzione della stessa equazione differenziale.

34 G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione formale dellequazione differenziale Cominciamo con il risolvere unequazione più semplice: –Supporremo si conoscere la funzione velocità v x (t) –e di voler determinare la legge oraria x(t) –Lequazione differenziale in questo caso è del primo ordine. Fissato un generico istante di tempo t* –si calcola lo spostamento subito dal punto materiale tra t=0 e t* Si ripete il calcolo per tutti gli istanti di tempo –si ottiene così la legge oraria

35 G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione formale dellequazione differenziale Se conoscessimo la velocità media tra t=0 e t*, lo spostamento varrebbe: Purtroppo conosciamo la velocità in tutti gli istanti di tempo ma non quella media Possiamo fare delle ipotesi: –La velocità media è uguale a quella a t=0 –a quella a t*/2

36 G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lo spostamento complessivo invece Noi però non conosciamo la velocità media v xm,i in ciascuno degli n intervalli di tempo, –sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello massimo assunti dalla funzione v x (t) nell'intervallo tra t i-1 e t i Per fare una stima dello spostamento supporremo che la velocità media nelli-esimo intervallo coincida con la velocità allinizio dellintervallo stesso: La stima dello spostamento nel grafico corrisponde allarea totale dei rettangoli di base t e altezza v x (t i-1 ).

37 G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lapprossimazione v xm,i =v x (t i-1 ) è tanto migliore quanto più piccola è lampiezza degli intervalli t. –Infatti al diminuire di t diminuisce la differenza tra il valore massimo e quello minimo della velocità in t. Otterremo una stima sempre più precisa dello spostamento man mano che t tende a zero, o, equivalentemente, man mano che n, il numero delle suddivisioni, tende allinfinito.

38 G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale è uguale a: Questo limite si chiama integrale della funzione v x (t) tra t=0 e t, e si indica: Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di integrazione (t=0 e t*)

39 G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione differenziale Lintegrale definito corrisponde allarea sotto la curva tra t=0 e t*. –Attenzione larea deve essere presa con il segno Positiva nei tratti in cui la funzione è positiva Negativa nei tratti in cui la funzione è negativa Calcolando lintegrale per ogni istante t* si ottiene la legge oraria

40 G.M. - Edile A 2002/03 La velocità media Siamo ora in grado di valutare la velocità media nellintervallo tra t=0s e t*. Applicando la definizione: Larea del rettangolo di base t e altezza v m ha un area uguale a quella delimitata dal grafico della curva, lasse delle ascisse e gli estremi dellintervallo t=0s e t* Da cui si ottiene:

41 G.M. - Edile A 2002/03 Come si risolve lintegrale definito Lintegrale è loperazione inversa della derivata Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t), –occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t) tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia proprio uguale alla funzione integranda: La funzione F(t) si chiama primitiva della funzione f(t) Il valore dellintegrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione nellestremo superiore e nellestremo inferiore. In simboli:

42 G.M. - Edile A 2002/03 Esempio Dalla definizione di velocità sappiamo che: v(t) è la velocità allistante t dt è un intervallo di tempo infinitesimo che comincia allistante t dx è lo spostamento infinitesimo subito dal punto nellintervallo infinitesimo dt questa uguaglianza vale in tutti gli infiniti intervalli infinitesimi in cui ho suddiviso lintervallo di osservazione del moto Luguaglianza continuerà a valere se sommo, membro a membro, su tutti gli infiniti intervalli di tempo: 5=3+2 7=5+2 Totale 12=12 Valutiamo variabile di integrazione x funzione integranda f(x)=1 primitiva F(x)=x usualmente t i =0s x(0s)=x o

43 G.M. - Edile A 2002/03 Proprietà degli integrali Lintegrale altro non è che una somma, con lunica particolarità che è fatta su infiniti termini. Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando lordine con cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che –lintegrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore comune, questo può essere messo in evidenza, così nellintegrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale.

44 G.M. - Edile A 2002/03 Moto uniforme Valutiamo ora il secondo membro: –È necessario specificare la funzione v x (t). –Supponiamo che v x (t) sia costante, moto uniforme, e pari a v xo variabile di integrazione t funzione integranda f(t)=v xo primitiva F(t)= v xo t Si ricava Questa relazione è valida comunque noi scegliamo listante t f in cui vogliamo smettere losservazione del moto. Si può sopprimere lindice f Si ottiene così la legge oraria del moto uniforme:

45 G.M. - Edile A 2002/03 Considerazioni La legge oraria trovata è soluzione dellequazione differenziale: è come ce laspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo : 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 0,005,0010,0015,00 t (s) x (m) xoxo tan =v xo Osserviamo che per qualunque valore di x o, la funzione precedente è soluzione dellequazione differenziale. –Ci sono infinito alla uno soluzioni delleq. diff. –Infatti lequazione differenziale è del primo ordine. Lequazione differenziale non determina la costante x o, essa viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso x o è proprio la posizione iniziale, a t=0s). Lanalisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dellequazione differenziale che soddisfa anche le condizioni iniziali –Il numero delle condizioni iniziali pari al grado delleq. diff.

46 G.M. - Edile A 2002/03 Legge oraria del moto uniformemente accelerato Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocità nel caso in cui laccelerazione è costante: Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff. Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. è data da:

47 G.M. - Edile A 2002/03 La legge oraria del moto uniformemente accelerato Come già osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per qualunque valore delle costanti x o e v xo è soluzione delleq. diff. –Lequazione differenziale non determina tali costanti: Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali: –La posizione x o allistante iniziale t=0 –La velocità v ox allistante iniziale t=0 Lanalisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione delleq. diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali. Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come lintegrale generale dellequazione differenziale del moto uniformemente accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le corrette condizioni iniziali. È la soluzione della eq. diff.

48 G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario del moto uniformemente accelerato Il grafico orario del moto uniformemente accelerato è un arco di parabola. x o è la posizione allistante t=0s (lintercetta con lasse delle ordinate). v xo è la velocità iniziale, ossia la pendenza del grafico allistante iniziale. Landamento della velocità in funzione del tempo è lineare. xoxo

49 G.M. - Edile A 2002/03 Moto uniforme ed uniformemente accelerato Il moto uniformemente accelerato, contiene, come caso particolare il moto uniforme, quando cioè laccelerazione a xo è uguale a zero.

50 G.M. - Edile A 2002/03 Moto di caduta dei gravi Galilei ha determinato che –in vicinanza della superficie terrestre, –in assenza di aria Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g –g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc) –g, allinterno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende dalla posizione del corpo. –g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante). –Se il volume non è limitato g dipende dalla quota g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola allequatore Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s 2


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