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- EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS - EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUIDI Università degli Studi Roma Tre Laurea Magistrale in Ingegneria Civile per la Protezione.

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1 - EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS - EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUIDI Università degli Studi Roma Tre Laurea Magistrale in Ingegneria Civile per la Protezione dai Rischi Naturali Corso: Idraulica Ambientale Docente: Ing Claudia Adduce

2 2 SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE Generalmente le equazioni della meccanica dei fluidi vengono scritte per un sistema di riferimento inerziale (SRI) ovvero fisso. La gente che vive sulla Terra percepisce però il movimento dei fluidi in un sistema di riferimento non inerziale (SRNI), che ruota assieme al nostro pianeta. E quindi necessario scrivere le equazioni del moto in tale sistema di riferimento non inerziale. Dora in poi si indicheranno con * le grandezze nel SRI e senza alcun asterisco le grandezze nel SRNI.

3 3 SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE a * è laccelerazione nel SRI a 0 è laccelerazione di trascinamento dovuta ad una variazione nel tempo dellorigine del SRI. a è laccelerazione nel SRNI. è laccelerazione di Eulero, dovuta ad una variazione nel tempo della velocità di rotazione dellorigine del SRI. è laccelerazione di Coriolis, ovvero la forza di Coriolis per unità di massa e cambiata di segno. è laccelerazione centripeta, ovvero la forza centrifuga per unità di massa e cambiata di segno. Poiché sia la velocità di rotazione terrestre che lorigine del sistema di riferimento non inerziale non variano nel tempo si ha d /dt=0 e a 0 =0 quindi

4 4 EFFETTO DELLA FORZA CENTRIFUGA - A differenza della forza di Coriolis, che è proporzionale alla velocità della particella nel SRNI, la forza centrifuga dipende dalla velocità di rotazione e dalla distanza della particella dallasse di rotazione ovvero - ( x). Di conseguenza anche particelle ferme potrebbero subire una spinta verso lesterno, ma nessuna particella vola nello spazio in quanto la forza di gravità lo impedisce. - In assenza di rotazione le forze gravitazionali avrebbero leffetto di trattenere tutto il materiale terrestre sotto forma di un corpo sferico, la spinta verso lesterno operata dalla forza centrifuga distorce lequilibrio sferico producendo un leggero schiacciamento del pianeta ai poli. - La forza centrifuga è diretta verso lesterno, perpendicolarmente allasse di rotazione, mentre la forza di gravità punta verso il centro del pianeta. La forza risultante assume una direzione intermedia, precisamente la direzione della verticale locale. Ogni particella inizialmente in quiete sulla superficie terrestre resterà in quiete a meno di non essere soggetta ad altre forze.

5 5 EFFETTO DELLA FORZA CENTRIFUGA - Si definirà forza di gravità la forza risultante allineata con la verticale locale e data dalla somma della forza di gravità effettiva e quella centrifuga. - A causa della distribuzione disomogenea delle rocce e del magma sulla terra, la forza gravitazionale effettiva non è diretta verso il centro della terra ed essa deforma la superficie terrestre in modo che tale superficie risulti ortogonale alla forza di gravità totale. - La superficie terrestre deformata va sotto il nome di geoide e può essere interpretata come la superficie degli oceani in quiete. Essa rappresenta una superficie equipotenziale, ovvero se una particella si muove su tale superficie non modifica la propria energia potenziale.

6 6 ESPERIMENTO SU VASCA ROTANTE - Analogamente, in una vasca rotante di laboratorio la rotazione produce uno spostamento del fluido verso le pareti finché la forza dovuta al gradiente di pressione diretta verso linterno non impedisce tale spostamento. La forza di gravità diretta verso il basso e quella centrifuga diretta verso lesterno producono una risultante ortogonale alla superficie fluida, che rappresenta la superficie equipotenziale. - Per una velocità di rotazione di una rivoluzione ogni due secondi ovvero =30rpm (rpm = rotazioni al minuto) e un diametro della vasca di D =40 cm, la differenza di livello fra il centro e le pareti risulta pari a di H =2 cm.

7 7 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D - Per valutare leffetto della forza di Coriolis, si può considerare il moto di una particella libera, ovvero soggetta unicamente alla forza di gravità, la cui componente orizzontale si elide con la componente orizzontale della forza centrifuga dovuta alla rotazione. Un esempio può essere rappresentato da un piano orizzontale tangente al polo Nord in cui sono assenti altre forze orizzontali. - Se sulla particella non agiscono forze esterne la sua accelerazione nel SRI è nulla ( a* =0) quindi svolgendo il prodotto vettoriale (il vettore rotazione è diretto secondo la verticale = k ) ed esplicitando le due componenti u e v sul piano orizzontale x-y si ottiene:

8 8 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D La soluzione generale del sistema differenziale è data da In cui f=2 è chiamato parametro di Coriolis, V e sono due costanti dintegrazione. Si può verificare che il modulo della velocità della particella non dipende dal tempo ed è pari a Le due componenti di velocità variano nel tempo e ciò produce un cambiamento della direzione della particella. Inoltre sapendo che dx/dt=u e dy/dt=v ed integrando si ottiene In cui x 0 e y 0 sono costanti di integrazione dipendenti dalle coordinate iniziali della particella.

9 9 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D - Dalle relazioni precedenti si ottiene che la traiettoria della particella segue in senso orario una circonferenza centrata nella posizione ( x 0, y 0 ) e di raggio V/f. Tale moto ciclico va sotto il nome di oscillazione inerziale - Per t=0 ipotizzando =0 si ha - Per t= /2f ipotizzando =0 si ha

10 10 EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO SU UN PIANO ROTANTE 2D Se non vi fosse rotazione dellambiente f=0 il raggio di curvatura della traiettoria della particella sarebbe infinito e la particella seguirebbe un percorso rettilineo (moto rettilineo uniforme). Se vi è rotazione dellambiente la particella ruota continuamente seguendo una traiettoria circolare: - se f>0 (lambiente ruota in senso antiorario) la particella ruota verso destra (in senso orario); - se f<0 (lambiente ruota in senso orario) la particella ruota verso sinistra (in senso antiorario).

11 11 INTEPRETAZIONE GEOMETRICA DELLOSCILLAZIONE INERZIALE - Si consideri un tavolo rotante e su di esso una particella inizialmente ( t=0 ) ad una distanza R dallasse di rotazione e che si avvicina ad esso con velocità u. Ad un certo istante t, la particella avrà percorso lungo lasse di rotazione il tratto ut e lateralmente la distanza Rt. - Durante il tempo t il tavolo avrà ruotato di un angolo t e ad un osservatore nel SRNI la particella sembrerà essere partita dal punto indicato col cerchio aperto. Sebbene la traiettoria sia perfettamente diritta nel SRI, per un osservatore nel SRNI la traiettoria apparente ruotata a destra. - Se si considera una particella che dal centro si muove radialmente verso lesterno, nel SRI la traiettoria sarà rettilinea e percorrerà una distanza ut. Nel SRNI la particella anziché arrivare nella posizione indicata con lasterisco, virerà apparentemente verso destra. - La caratteristica di virare a destra è dovuta alla forza di Coriolis

12 12 ACCELERAZIONE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO 3D - Consideriamo la Terra come una sfera perfetta, che ruota attorno al suo asse verticale. Siano la latitudine e la longitudine di un particolare punto sulla sua superficie, si consideri un sistema di riferimento Cartesiano in cui lasse x parallelo ai paralleli è orientato verso est, lasse y parallelo ai meridiani è orientato verso nord e lasse z è diretto come la verticale locale verso lalto. - Il vettore rotazione terrestre è espresso come: e laccelerazione a meno del termine centrifugo è data da

13 13 ACCELERAZIONE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO 3D - Esplicitando le tre componenti dellaccelerazione - Si definiscono le due quantità f è positivo nellemisfero settentrionale, nullo allequatore e negativo nellemisfero meridionale. f * è positivo sia nellemisfero settentrionale che nel meridionale e si annulla ai poli. In generale i termini moltiplicati per f * si trascureranno. Coefficiente di Coriolis Reciproco del coefficiente di Coriolis

14 14 ACCELERAZIONE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO 3D - I moti orizzontali ( x, y ) non forzati sono descritti dal sistema analogo al sistema delle oscillazioni inerziali con la differenza che il termine f dipende ora dalla latitudine. - Le oscillazioni inerziali sulla terra hanno un periodo che varia tra T i =12 h (ai poli) e T i = (allequatore). - Le oscillazioni inerziali sono piuttosto rare, in quanto esistono sempre delle forzanti come i gradienti di pressione o altre forze, ma è comunque possibile osservarle in natura. Periodo delle oscillazioni inerziali nel sistema di riferimento 3D

15 15 OSSERVAZIONE DI UNOSCILLAZIONE INERZIALE - Si mostra un diagramma vettoriale progressivo relativo ad una corrente oceanica, costruito mediante la somma successiva di misure di velocità in un punto fissato. - Si osserva una traslazione della corrente alla quale è sovrapposta unoscillazione oraria piuttosto regolare. Se si calcola il periodo inerziale corrispondente alla latitudine in cui è stata effettuata la misura si ottiene un periodo di T i =14 h che è in accordo con il periodo delloscillazione misurata. - In questo modo losservazione conferma la presenza di unoscillazione inerziale.

16 16 EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di continuità Equazioni di Navier-Stokes - Il termine g rappresenta la forza gravitazionale effettiva (la somma della forza gravitazionale e di quella centrifuga) per unità di volume. La geometria del sistema di riferimento adottato è di tipo sferico, mentre le equazioni sono scritte in un sistema di coordinate Cartesiane, tale approssimazione è valida per scale del moto molto inferiori al raggio terrestre (<1000 Km).

17 17 EQUAZIONI DEL MOTO - Si sono introdotte 5 incognite ( u,v,w,, p ), ma si hanno 4 equazioni. E necessario introdurre unulteriore relazione (equazione di stato), che dipenderà dal particolare tipo di fluido, bisogna quindi distinguere fra acqua e aria. Equazione di stato per lacqua - Se il fluido è incomprimibile come accade per lacqua a temperature e pressioni ordinarie si ha = constante - In oceano in realtà la densità è funzione sia della temperatura, T, che della salinità, S. T 0,S 0, 0, sono valori di riferimento, mentre è il coefficiente di espansione termica, il coefficiente di contrazione salina.

18 18 EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di stato per laria secca Laria secca in atmosfera si comporta come un gas ideale R è una costante e T è la temperatura assoluta. Equazione di stato per laria umida Molto spesso laria atmosferica contiene umidità, quindi si introduce lumidità specifica, q. Il set di equazioni non è completo in quanto si è aggiunta unequazione, ma si sono aggiunte anche altre due incognite (temperatura e salinità o temperatura e umidità)

19 19 EQUAZIONI DEL MOTO Con lequazione di stato si è introdotta, per laria secca, una nuova incognita (la temperatura, T ) e due nuove incognite per laria umida (la temperatura, T e lumidità specifica, q ) e per lacqua (la temperatura, T e la salinità, S ). Sarà quindi necessario aggiungere ulteriori equazioni per chiudere il problema. Equazione di bilancio dellenergia - Il principio di conservazione dellenergia, noto come la prima legge della termodinamica, afferma che la variazione di energia interna di una particella materiale è uguale al calore che essa riceve meno il lavoro meccanico che produce per unità di massa e di tempo. - Lenergia interna, misura dellagitazione termica delle molecole che costituiscono la particella, è proporzionale alla temperatura assoluta T con C V calore specifico a volume costante.

20 20 EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di bilancio dellenergia - Il termine Q, rappresenta il solo calore acquistato dalla particella per contatto attraverso il processo di diffusione, con k T conduttività termica. Si trascurano eventuali sorgenti e pozzi interni di calore (condensazione ed evaporazione) - Il lavoro meccanico prodotto dal fluido è dato dalla forza (pressione x area) moltiplicata scalarmente per lo spostamento e dopo alcuni calcoli si può ottenere che - Sostituendo i singoli termini si ottiene lequazione di bilancio dellenergia - Nel caso dellacqua tenendo conto della sua incomprimibilità si può effettuare la semplificazione

21 21 EQUAZIONI DEL MOTO Equazione di bilancio della salinità Per loceano una particella dacqua distribuisce il suo contenuto salino mediante la diffusione, in cui s è il coefficiente di diffusione della salinità. La salinità verrà misurata in psu (Practical Salinity Units) corrispondente al rapporto tra la conduttività di un campione di acqua di mare e quella di una soluzione standard di cloruro di potassio. I rapporti sono adimensionali. Equazione di bilancio dellumidità Per laria umida il bilancio dellumidità sarebbe più complicato, ma trascurando levaporazione e la condensazione, si ha che lumidità viene redistribuita attraverso un processo diffusivo, mediante contatto con le particelle a differente contenuto di umidità. q è il coefficiente di diffusione dellumidità.

22 22 SOMMARIO EQUAZIONI DEL MOTO Aria - 7 variabili: u, v, w, p,, T, e q - 7 equazioni: 1 equazione di continuità, 3 equazioni di bilancio della quantità di moto, 1 equazione di stato, 1 equazione dellenergia, 1 equazione per lumidità. Acqua - 7 variabili: u, v, w, p,, T, e S - 7 equazioni: 1 equazione di continuità, 3 equazioni di bilancio della quantità di moto, 1 equazione di stato, 1 equazione dellenergia, 1 equazione per la salinità.

23 23 APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ - Nella maggior parte dei sistemi geofisici la densità dei fluidi varia di poco attorno ad un valore medio. In oceano per T =4°C e S =34.7 la densità a pressione atmosferica è =1028 kg/m 3 e le variazioni di densità non superano i 3 kg/m 3. Negli estuari dove pur si osservano le più elevate variazioni di densità non si supera il 3%. - In aria le variazioni di densità possono essere molto elevate fino al 100% di variazione, ma se si considera solo la Troposfera, che è la parte più bassa dellatmosfera (10 Km di spessore), le variazioni di densità non superano il 5%. - Si può introdurre lapprossimazione di Boussinesq: la densità è data dalla somma di un valor medio e di una variazione di densità, dovuta alla stratificazione e al moto dei fluidi e che risulta sempre molto inferiore al valor medio

24 24 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ SEMPLIFICATA MEDIANTE LAPPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ Le variazioni di velocità nello spazio e nel tempo sono molto maggiori delle corrispondenti variazioni di densità, quindi 1 >3, quindi anche 2>>1. In conclusione lequazione di continuità si riduce ad una conservazione del volume

25 25 EQUAZIONI DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO SU x-y SEMPLIFICATE La densità compare come fattore moltiplicativo nel solo termine di sinistra ed applicando lapprossimazione di Boussinesq e dividendo per 0 si ottiene Viscosità cinematica

26 26 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO SEMPLIFICATA SU Z La densità compare come fattore moltiplicativo sia nel termine di sinistra che in un termine a destra, applicando lapprossimazione di Boussinesq si ottiene Il termine g tiene conto del peso del fluido che causa un aumento della pressione con la profondità. La pressione stessa è quindi somma di un termine idrostatico p 0 e di una parte non idrostatica p (pressione dinamica)

27 27 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLENERGIA SEMPLIFICATA PER LACQUA - Per la continuità del volume (equazione di continuità semplificata) si può eliminare il secondo termine a primo membro. La densità compare come fattore moltiplicativo solo nel termine di sinistra, applicando lapprossimazione di Boussinesq e si ottiene - Nel caso di moto turbolento si può assumere che s = T =, diffusività turbolenta, in quanto nella turbolenza la diffusione è dovuta a vortici che mescolano alla stessa velocità sia il sale che il calore. Viene frequentemente adottato il valore s = T = =10 -2 m 2 /s. - Tale ipotesi non è valida se la diffusione è dominata da processi molecolari. Diffusività cinematica

28 28 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLENERGIA SEMPLIFICATA PER LACQUA Se s = T =, combinando lequazione dellenergia semplificata, con quella della salinità e quella di stato si ottiene unequazione per la variazione della densità, che sostituisce lequazione dellenergia. - Per laria la trattazione viene rimandata ad un corso più specialistico. - Come conseguenza dellapprossimazione di Boussinesq si ha che la densità viene sostituita dal suo valore medio 0 ovunque, eccetto che nel prodotto con laccelerazione di gravità e nellequazione dellenergia (variazione di densità). - Poiché nelle equazioni semplificate le variabili originarie e p non compaiono più, dora in poi si elimineranno gli indici e si indicheranno rispettivamente come e p, le deviazioni di densità e pressione. NB: lunica equazione in cui avremo ancora la pressione totale è quella di stato.

29 29 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER LACQUA EQUAZIONE DI CONTINUITA EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA

30 30 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER PER LARIA EQUAZIONE DI CONTINUITA EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA

31 31 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER LACQUA EQUAZIONE DI CONTINUITA EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DI STATO EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA EQUAZIONE DELLA SALINITA EQUAZIONE DELLENERGIA

32 32 RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER PER LARIA EQUAZIONE DI CONTINUITA EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONI DI STATO EQUAZIONE DELLUMIDITA EQUAZIONE DELLENERGIA EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA


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