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G.e.a.p. 08/09 1 Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2008/09 Presentazione del corso.

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1 g.e.a.p. 08/09 1 Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2008/09 Presentazione del corso

2 g.e.a.p. 08/09 1 Quante geometrie? Felix Klein, 1872, Programma di Erlangen S, insieme di punti G, gruppo di trasformazioni di S una teoria geometrica di S consiste nello studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo G

3 g.e.a.p. 08/09 1 Figure equivalenti rispetto a G Dati F, F sottoinsiemi di S, figure φ Є G, φ: S S bigettiva (trasformazione) diremo che F è equivalente a F rispetto a G, F G F se F = φ(F) Esercizio La relazione G è riflessiva, simmetrica, transitiva

4 g.e.a.p. 08/09 1 Dal programma di Klein segue: se la geometria dello spazio S dotato del gruppo G è la ricerca e lo studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo G, allora figure equivalenti rispetto a G hanno le stesse proprietà geometriche.

5 g.e.a.p. 08/09 1 Trasformazioni in natura: ombre Raggi del sole a perpendicolo: figura e ombra hanno lati e angoli uguali (isometria, trasformazione euclidea) Lampada sulla verticale: figura e ombra sono simili Figure da M. Menghini

6 g.e.a.p. 08/09 1 Altre ombre e trasformazioni Ombra prodotta dai raggi del sole: i quadrati diventano parallelogrammi, trasformazione affine Ombra da una lampada: i quadrati si proiettano in quadrilateri generici, proiettività –Figura da M. Menghini

7 g.e.a.p. 08/09 1 Perché la geometria proiettiva? E il modello matematico che spiega linsieme delle tecniche – la prospettiva - trovate dai pittori del Rinascimento –Leon Battista Alberti, De pictura, 1435 –Piero della Francesca, De prospectiva pingendi, 1482 –Albrecht Dürer, Larte della misura, 1525

8 g.e.a.p. 08/09 1 Pittura e geometria poiché la geometria è il giusto fondamento di ogni pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e principi a tutti i giovani che vogliono apprendere larte... (A. Dürer) Dürer è in Italia, dove, a Venezia nel 1505 viene stampata Ottica, di Euclide Gli studi sulla prospettiva trovano compimento nellopera di Desargues, La prospettiva, 1636 –http://www-groups.dcs.st- and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html

9 g.e.a.p. 08/09 1 Che cosa è la prospettiva? Per farcene unidea, cominciamo osservando alcuni quadri Molte fra le immagini che seguono sono tratte dal CD allegato al testo Le geometrie della visione di Catastini- Ghione Per i disegni, è stato usato un software di geometria

10 g.e.a.p. 08/09 1 Confrontate questo dipinto… Duccio da Boninsegna (ca ) Nozze di Canaan

11 g.e.a.p. 08/09 1 …con questo dipinto Raffaello Sanzio ( ) Sposalizio della vergine

12 g.e.a.p. 08/09 1

13 g.e.a.p. 08/09 1

14 g.e.a.p. 08/09 1 Il modello della piramide visiva (figura da E.Danti, )

15 g.e.a.p. 08/09 1 I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in un piano

16 g.e.a.p. 08/09 1 Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta

17 g.e.a.p. 08/09 1 Corrispondenza tra retta osservata e retta immagine Supponiamo che locchio segua un punto P che si muove lungo una retta… C:\Documents and Settings\daprile1\Documenti\geap0809\rett aguardata.figC:\Documents and Settings\daprile1\Documenti\geap0809\rett aguardata.fig La corrispondenza P P è una bigezione tra le due rette?

18 g.e.a.p. 08/09 1 Ci sono delle eccezioni Cè un punto I sulla retta guardata che non ha corrispondente sul quadro e cè un punto J sul quadro che non è immagine di nessun punto sulla retta osservata. Le eccezioni sono dovute allesistenza di rette parallele. Come vengono viste nel quadro due rette parallele del pavimento?

19 g.e.a.p. 08/09 1 incidenti Rette parallele sono viste incidenti

20 g.e.a.p. 08/09 1 Il punto di fuga

21 g.e.a.p. 08/09 1 Punti allinfinito Le immagini di due rette parallele si intersecano in un punto, il punto di fuga che si può pensare come immagine di un punto lontano, dove convergono le due rette parallele, il punto allinfinito delle due rette La proiezione dallocchio, corrispondenza quasi biunivoca tra una retta e la sua immagine, diviene bijettiva con lintroduzione dei punti allinfinito

22 g.e.a.p. 08/09 1 In linguaggio simbolico Siano: r la retta osservata dallocchio O r la retta sezione del piano del quadro con il piano di O ed r nel fascio di centro O, p la retta parallela ad r, p la parallela ad r I = r p, J =r p R il punto allinfinito di r R il punto allinfinito di r.

23 g.e.a.p. 08/09 1 Proiezione di centro O È lapplicazione O : r r, definita come segue se P r, P I, P R, O (P) = P, tale che O,P,P siano allineati se P = I, O (P) = R se P = R, O (P)= J O è una bijezione

24 g.e.a.p. 08/09 1 La proiezione, come funzione dallo spazio al quadro Ogni punto P, diverso da O, ha una immagine P sul quadro –se la retta OP è parallela al quadro, limmagine di P è un punto della retta limite, o orizzonte Ogni punto P del quadro è immagine di infiniti punti, appartenenti alla retta OP

25 g.e.a.p. 08/09 1 Da unapplicazione non iniettiva… Siano: S lo spazio, il piano del quadro, un piano che non passi per O. Lapplicazione non iniettiva proiezione da O O : S \ induce unapplicazione O| :, che è iniettiva se ai due piani si aggiungono i punti impropri

26 g.e.a.p. 08/09 1 La proiezione del pavimento Ogni punto P del quadro è immagine di un solo P del piano del pavimento: la proiezione da O è biunivoca tra pavimento e quadro Linea di terra: retta comune ai due piani; i punti della linea di terra hanno come immagine se stessi I punti allinfinito del pavimento hanno come immagine i punti di fuga, o punti della retta limite, o dellorizzonte

27 g.e.a.p. 08/09 1 Il pittore disegna su un semipiano Gli interessa la corrispondenza tra il pavimento al di là del quadro e il quadro Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua immagine nel quadro descrive un segmento

28 g.e.a.p. 08/09 1 Iniziare dal pavimento La raffigurazione del pavimento è un espediente per dare la sensazione di profondità Alle tecniche empiriche usate nelle botteghe del suo tempo, Piero della Francesca sostituisce una tecnica basata sullo studio di una trasformazione della geometria proiettiva, detta omologia

29 g.e.a.p. 08/09 1 Lomologia di Piero della Francesca

30 g.e.a.p. 08/09 1 Il pavimento e le alzate

31 g.e.a.p. 08/09 1 Il pavimento a piastrelle di Fra Lippi

32 g.e.a.p. 08/09 1 La città ideale (scuola di Piero della Francesca o L. B. Alberti ?)

33 g.e.a.p. 08/09 1 Scopo del corso Conoscere i fondamenti della geometria proiettiva Classificare le trasformazioni del piano proiettivo in sé, riconoscendo tra queste lomologia di Piero Studiare le geometrie affine ed euclidea come sottogeometrie della geometria proiettiva Costruire le classificazioni proiettiva, affine, metrica delle curve piane del secondo ordine (coniche)

34 g.e.a.p. 08/09 1 Indice indicativo Il piano proiettivo come ampliamento del piano della geometria elementare Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività, proiettività tra rette Spazi proiettivi, dualità Proiettività del piano, omologia Affinità, isometrie Polarità, coniche e quadriche –Classificazioni proiettive e affini

35 g.e.a.p. 08/09 1 Prequisiti al corso Geometria analitica elementare: –equazioni cartesiane e parametriche di rette e coniche nel piano, –di rette, piani, cilindri, sfere nello spazio. Sistemi lineari: –il teorema di Rouché-Capelli, autosoluzioni di un sistema lineare omogeneo. Algebra lineare: –spazi vettoriali, sottospazi, dimensioni, formula di Grassmann, –applicazioni lineari e matrici associate, nucleo e immagine di unapplicazione lineare, relazione tra rango della matrice e dimensioni del nucleo e dellimmagine dellapplicazione associata alla matrice; –autovalori e autovettori

36 g.e.a.p. 08/09 1 Testi Beltrametti, Carletti, Gallarati, Monti Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri, Torino, 2002 Catastini-Ghione, Le geometrie della visione, Springer, 2003, Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989 Stillwell, The four pillars of geometry, Springer, New York, 2005

37 g.e.a.p. 08/09 1 Siti utili Siti di storia: –http://www-groups.dcs.st- and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.htmlhttp://www-groups.dcs.st- and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html –http://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/HistTopics/Architecture.htmlhttp://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/HistTopics/Architecture.html Altri siti di geometria –www.treccani.it/site/Scuola/Zoom/prospettiva/scuola_zo om.htmwww.treccani.it/site/Scuola/Zoom/prospettiva/scuola_zo om.htm Appunti ed esercizi del corso e altri materiali

38 g.e.a.p. 08/09 1 Aiuti allo studio Un compito a casa ogni settimana (per sette volte, possibilmente) esercitazione scritta a metà corso influiscono sul voto finale Proposta, basata sullesperienza dellanno scorso: indicato con v il voto della prova intermedia, Se v < 18, non ha nessun effetto sul voto finale Se 18 v 26, viene aggiunto 1 punto al voto finale Se 27 v 30 con lode, vengono aggiunti 2 punti al voto finale. A chi consegna almeno la metà dei compiti, viene aggiunto un punto Se invece almeno quattro compiti a casa erano corretti, due punti

39 g.e.a.p. 08/09 1 Aiuti allo studio Ricevimento lunedì dalle alle 16, sesto piano (livello ponte carrabile) per appuntamento: tel. 0984/496452, posta el. Esame scritto e orale sugli argomenti svolti nelle lezioni. E obbligatoria la prenotazione https://didattica.unical.it/https://didattica.unical.it/ Tutor?


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